数值分析杨大地_答案（第八章)

1、数值分析第8章 数值积分与数值微分 8.1 填空题（1）n+1个点的插值型数值积分公式abf(x)dxj=0nAjf(xj)的代数精度至少是 n ，最高不超过 2n+1 。【注：第1空，见定理8.1】（2）梯形公式有 1 次代数精度，Simpson公司有 3 次代数精度。【注：分别见定理8.1,8.3】（3）求积公式0hf(x)dxh2f0+fh+ah2f'0-f'(h)中的参数a= 1/12 时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 3 。解：令f(x)=1,x,x2带入有，h21+1+ah20-0=hh20+h+ah21-1=12h2h20+h2+ah20-

2、2h=13h3/注：x的导数=1解之得，a=1/12，此时求积公式至少具有2次代数精度。积分公式为：0hf(x)dxh2f0+fh+h212f'0-f'(h)令f(x)= x3带入求积公式有：h20+h3+h2120-3h2=14h4，与f(x)= x4的定积分计算值14h4相等，所以，此求积公式至少具有3次代数精度。令f(x)= x4带入求积公式有，h20+h4+h2120-4h3=16h5，与f(x)= x5的定积分计算值15h5不相等，所以，此求积公式的最高代数精度为3次代数精度。8.2 确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度。解题

3、思路：按照P149 中8.3式进行求解，根据求积公式中未知量n的数量决定代入多少f(x)，当积分公式代入求积节点xn的计算结果与定积分的计算结果一致，继续代入求积节点Xn+1,，若计算结果与对应的定积分计算结果不一致时，求积公式拥有最高n次的代数精度。（1）02hf(x)dxA0f0+A1fh+A2f(2h)解：令f(x)=1,x,x2代入有,【注：本例中需求解A0、A1、A2共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】A0+A1+A2=2hA1h+A22h=122h2A1h2+A22h2=132h3求解得A0=13h，A1=43h，A2=13h，求积公式为：02hf(x)dx13hf0+43

4、hfh+13hf(2h)该求积公式对3个相异节点1,x,x2均有余项Ef=0， /注：参见P149定理8.1该求积公式至少具有2次代数精度。令f(x)= x3，代入求积公式有：43hh3+13h2h3=4h4 函数f(x) = x3的定积分结果为：02hx3dx=142h4=4h4 ，与求积公式计算值相等，该求积公式具有3次代数精度。令f(x)= x4，代入求积公式有：43hh4+13h2h4=203h5函数f(x) = x4的定积分结果为02hx4dx=152h5-05=325h5，与求积公式计算值不相等，该求积公式的最高代数精度为3次代数精度。（2）-11f(x)dxAf-1+2fx1+3

5、f(x2)解：令f(x)=1,x,x2代入有,【注：本例中需求解A、X1、X2共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】A1+2+3=2A-1+2x1+3x2=0A-12+2x12+3x22=1313-13=23求解得A=13，x1=0.6899，x2=-0.1260，或A=13，x1=-0.2899，x2=0.5266求积公式为：求积公式1：-11fxdx13f-1+2f0.6899+3f-0.1260求积公式1：-11f(x)dx13f-1+2f-0.2899+3f0.5266该求积公式对3个相异节点1,x,x2均有余项Ef=0，/注：参见P149定理8.1该求积公式至少具有2次代数精度

6、。令f(x)= x3代入求积公式1有：13-13+20.68993+3-0.12603=-0.2245令f(x)= x3代入求积公式2有：13-13+2-0.28993+30.52663=-0.2928函数f(x) = x3的定积分结果为：-11x3dx=1414-14=0 ，与求积公式计算值均不相等，该求积公式的最高代数精度为2次代数精度。（3）-11f(x)dxA1f-1+A2f-13+A3f(13)解：令f(x)=1,x,x2代入有,【注：本例中需求解A1、A2、A3共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】A1+A2+A3=1-1=2A1-1+A2-13+A313=1212-12=0

7、A1-12+A2-132+A3132=1313-13=23求解得A1=12，A2=0，A3=32，求积公式为： -11f(x)dx12f-1+32f(13) 该求积公式对3个相异节点1,x,x2均有余项Ef=0，/注：参见P149定理8.1 该求积公式至少具有2次代数精度。令f(x)= x3，代入求积公式有：12-13+32133=-0.4444 函数f(x) = x3的定积分结果为：-11x3dx=1414-14=0，与求积公式计算值不相等， 该求积公式的最高代数精度为2次代数精度。（4）-11f(x)dxA1fx1+A2f0+A3f(1)解：令f(x)=1,x,x2,x3代入有,【注：本例

8、中需求解A1、A2、A3、X1共4个未知量，故需4个相异求积节点f(x)】A1+A2+A3=2A1x1+0+A3=0A1x12+0+A312=23A1x13+0+A313=0 求解得A1=13，A2=43，A3=13，x1=-1求积公式为： -11f(x)dx13f-1+43f0+13f(1)该求积公式对4个相异节点1,x,x2,x3均有余项Ef=0，/注：参见P149定理8.1该求积公式至少具有3次代数精度。令f(x)= x4，代入求积公式有：13-14+0+1314=23 函数f(x) = x4的定积分结果为：-11x4dx=1515-15=25，与求积公式计算值不相等， 该求积公式的最高

9、代数精度为3次代数精度。（5）02f(x)dxfx1+fx2解：令f(x)=1,x,x2代入有, 1+1=2x1+x2=2x12+x22=83 求解得x1=1-33x2=1+33 或x1=1+33x2=1-33求积公式为： 02f(x)dxf1-33+f1+33该求积公式对3个相异节点1,x,x2均有余项Ef=0，/注：参见P149定理8.1该求积公式至少具有2次代数精度。令f(x)= x3，代入求积公式有：1-333+1+333=142404=4 函数f(x) = x4的积分结果为：02x3dx=142404=4 ，与求积公式计算值相等，该求积公式具有3次代数精度。令f(x)= x4，代入求

10、积公式有：1-334+1+334=6.2222函数f(x) = x4的积分结果为：02x4dx=152505=6.4 ，与求积公式的计算结果不相等，该求积公式的最高代数精度为3次代数精度。8.3 分别用复化梯形公式，复化Simpson公式，复化Cotes公式计算下列积分：解题要点：复化梯形公式【Tn，Un】-P154P155，复化Simpson公式【Sn】-P155P156，复化Cotes公式【Cn】-P156。若在积分范围内划分的小区间数n=2k,则直接用对应的公式从T1、U1开始计算，然后按照T2n、T4n的公式利用前面计算的数据进行计算，若n2k，在直接利用梯形求积公式8.7直接计算Tn

11、和Un，再利用Tn、Un求解Sn、Cn。（1）01x4+x2dx， n=8解：由题，设f(x)=x4+x21）用复化梯形公式求解有 /因为n=8=23，本题从T1、U1开始计算，然后按照T2n、T4n的公式利用前面计算的数据进行计算得到T10 T1=12f0+f(1)=0.1 ， /见P154 公式8.7，n=1 U1=f12=0.11764706 /见P154 Un的计算公式，n=1T2=12T1+U1=0.10882353 /见P155 公式8.8 U2=12f14+f(34)=0.11296096T4=12T2+U2=0.11089224 U4=14f18+f(38)+f(58)+f(7

12、8)=0.11191244T8=12T4+U4=0.111402352）用复化Simpson公式求解有：Sn=4T2n-Tn3/见P155 公式8.12S8=4T16-T83/由此可知，要求出S8，必须先求出T16，进而得先求出U8 U8=18i=17f(xi+1/2)=18f116+f(316)+f(516)+f(716)+f(916)+f(1116)+f(1316)+f(1516)=0.11165540T16=12T8+U8=0.11152888S8=4T16-T83=0.111571063）用复化Cotes公式求解有： Cn=16S2n-Sn15/见P156 公式8.14 C8=16S1

13、6-S815/由此可知需先求出S16，由复化Simpson公式可知需先求出T32，进而得知需先求U16。 U16=116i=115f(xi+1/2)=116f132+f(332)+f(532)+f(732)+f(932)+f(1132)+f(1332)+f(1532)+f(1732)+f(1932)+f(2132)+f(2332)+f(2532)+f(2732)+f(2932)+f(3132)=0.11159294T32=12T16+U16=0.11156091S16=4T32-T163=0.11157159C8=16S16-S815=0.11157163（3）01e-x2dx， n=10解：

14、由题，设f(x)=e-x21）用复化梯形公式求解有 /因为n=102n，故本题直接用复化梯形公式直接计算得到T10Tn=h2fa+fb+2i=1n-1f(xi) ， h=b-an=110 T10=120f0+f1+2i=19f(xi)，其中xi=a+ih=0.1iT10=120f0+f1+2f0.1+f0.2+f0.3+f0.4+f0.5+f0.6+f0.7+f0.8+f0.9=0.746210802）用复化Simpson公式求解有：Sn=4T2n-Tn3/见P155 公式8.12S10=4T20-T103/由此可知，要求出S10，必须先求出T20，进而得先求出U10 U10=110i=17f

15、(xi+1/2)=110f0.05+f(0.15)+f(0.25)+f(0.35)+f(0.45)+f(0.55)+f(0.65)+f(0.75)+f(0.85)+f(0.95)=0.74713088T20=12T10+U10=0.74667084S10=4T20-T103=0.746824193）用复化Cotes公式求解有： Cn=16S2n-Sn15/见P156 公式8.14 C10=16S20-S1015/由此可知需先求出S20，由复化Simpson公式可知需先求出T40，进而得知需先求U20。 U20=120i=119f(xi+1/2)=120f0.025+f(0.075)+f(0.1

16、25)+f(0.175)+f(0.225)+f(0.275)+f(0.325)+f(0.375)+f(0.425)+f(0.475)+f(0.525)+f(0.575)+f(0.625)+f(0.675)+f(0.725)+f(0.775)+f(0.825)+f(0.875)+f(0.925)+f(0.975)=0.74690079T40=12T20+U20=0.74678581S20=4T40-T203=0.74682414C8=16S20-S1015=0.746824138.4 利用Romberg公式计算以下积分：解题要点：其主要内容仍为复化梯形公式，复化Simpson公式，复化Cotes

17、公式3个公式，利用前一步骤的计算数据进行递推计算，具体参见P159 公式8.1。注意：例如计算出T03后，就直接用Simpson公式计算出T12，然后用复化Cotes公式计算出T21、T30，若满足要求则停止计算，不用事先花时间去计算无用的T04。（1）201e-x2dx ,精度要求=10-5解：由题，设f(x)=2e-x2按照Romberg积分法求解：在a,b上，由梯形公式计算有T00=b-a2fa+f(b)=12f0+f(1)=0.77174333U00=b-af(a+b2)=f(12)=0.87878258 T01=12T00+U00=0.82526296T10=4T01-T004-1=

18、0.84310283T10-T00=0.07135950> ，不满足停止条件，需继续计算；按公式U0，i-1=b-a2i-1j=12i-1fa+2j-1b-a2i、T0i=12T0，i-1+U0,i-1 和Tmk=4mTm-1,k+1-Tm-1,k4m-1,m=1,2,i,k=i-m 进行计算，当Ti0-Ti-1，0<时停止计算，则有：U01=12f14+f(34)=0.85147260T02=12T01+U01=0.83836778T11=4T02-T014-1=0.84273605T20=42T11-T1042-1=0.84271160 T20-T10=0.00039123> ，不满足停止条件，继续计算：U02=14f18+f(38)+f(58)+f(78)=0.84487067T03=12T02+U02=0.8416192