2019-2020年高中数学第二册(上)两条直线的夹角(I)

1、2019-2020年高中数学第二册（上）两条直线的夹角（I）教学目标1、理解两条直线11与12的夹角，11到12的角的概念2、掌握两条直线的夹角公式和到角公式，理解两公式之间的关系3、能正确使用夹角公式和到角公式教学重点两直线夹角公式和到角公式教学难点夹角公式和到角公式的应用教学过程一、复习引入1、平面几何中两直线夹角的定义2、在平面直角坐标系中，我们怎样来阐述两条直线所成的角呢？二、新课讲解1、l到l的角12两条直线l和l相交构成四个角，它们是两对对顶角，为了区分这些角，我们把直线12l按逆时针方向旋转到与l重合时所转过的角，叫做l到l的角。如图：12l到l的角是，l到l的角1221且9&g

2、t;0,9>0,9+0=兀1212问题：已知l：y=kx+bl：1112怎样确定l到l的角？12（师生共同讨论）2、l与l的夹角当l与l相交但不垂直时，若l到l的角为，12一个为l与l的夹角，则12当l丄l时，夹角为12l1121（1）12则l到l的角为，其中锐角那212）练习：已知直线l：y=-2x+3l：y=x-12求：（1）l到l的角（2）l到l的角（3）1221l与l的夹角123、已知直线l：Ax+By+C=0l：Ax+By+C=011112222（B丰0,B丰0,AA+BB丰0），直线l到l的角是，求证:12121212思考：若直线l与l中，有斜率不存在时，怎样确定它们的夹角？

3、12三、例题1、已知直线l与l的斜率是方程的两根，求这两直线的夹角。122三角形三边所在直线方程是AB：x-y+3=0,BC:y=1,CA:x+（2-）y-3=0,求三角形ABC的三个锐角。3、直角坐标系中，过点P（-3,4）的直线l与直线OP的夹角为45°,求直线l的方程。小结：2019-2020年高中数学第二册（上）两条直线的平行与垂直、教学目标（一）知识教学点掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直，能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数（二）能力训练点通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力（三

4、）学科渗透点通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣二、教材分析1重点：两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用2难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题3疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上课时要注意解决好这个问题三、活动设计提问、讨论、解答四、教学过程（一）特殊情况下的两直线平行与垂直这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时：（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°，互相平行；

5、（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直（二）斜率存在时两直线的平行与垂直设直线ll和12的斜率为ki和k2，它们的方程分别是l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征我们首先研究两条直线平行（不重合）的情形如果1112（图1-29）,那么它们的倾斜角相等：a1二a2-.tga1二tga2-即k1=k2图1-29反过来，如果两条直线的斜率相等，ki=k2，那么tga

6、i=tga2-由于O°Wa1<180°，O°Wa<180°，.a1=a2-两直线不重合,lll2.两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行,即eqx（）要注意,上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不存立现在研究两条直线垂直的情形如果li丄】2'这时aiHa2，否则两直线平彳丁.设a2<ai（图1-30），甲图的特征是li与12的交点在x轴上方；乙图的特征是li与12的交点在x轴下方；丙图的特征是11与12的交点在x轴上，无论哪种情况下都有

7、ai=90°+a2因为11、12的斜率是ki、k2，即aiH90°，所以a2工0°.'.tgCiJ=tg（90°+口2）=_.反过来，如果咕=-,即*k2=-1.不失一般性设kT<0,tga1=tga2=tg(90°+C12).可以推出ai=90°+a2li丄】2两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即eqx(三) 例题例1已知两条直线l1：2x-4y+7=0，L2：x-2y+5=0求证：lll2证明两直线平行，需说明两个要点：(1)两直线斜率相等；(

8、2)两直线不重合证明：把11、12的方程写成斜截式：两直线不相交.两直线不重合，1112.例2求过点A(1,-4)，且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程.解法1已知直线的斜率是因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是-£根据点斜式得所求直线的方程是即2x+3y+10=0解法2因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0,将A(l,-4)代入有m=10，故所求直线方程为2x+3y+10=0例3已知两条直线l1：2x-4y+7=0，l2：2x+y-5=0求证：li丄】2证明：I】的斜率12的斜率k2=-2.由于知k2=|x(-2)=-l.11丄I2.例

9、4求过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程.解法i已知直线的斜率ki=-2.所求直线与已知直线垂直，所求直线的斜率根据点斜式得所求直线的方程是就是x-2y=0.解法2因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0,将点A(2,1)代入方程得m=0,所求直线的方程是x-2y=0.(四) 课后小结(1) 斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；(2) 两斜率存在的直线垂直的等价条件；(3) 与已知直线平行的直线的设法；(4) 与已知直线垂直的直线的设法五、布置作业1(17练习第1题)判断下列各对直线是否平行或垂直：(1)y=3x+4和2x-6y+1=0；(2)

10、 y=x与3x十3y-10=0；(3) 3x+4y=5与6x-8y=7;(4) r层-y-1=0与+3y+6=0.解：(1)平行；(2)垂直；(3)不平行也不垂直；(4)垂直2. (1.7练习第2题)求过点A(2,3),且分别适合下列条件的直线方程：(1) 平行于直线2x+5-5=0；(2) 垂直于直线x-y-2=0；解：(1)2x+y-7=0；(2)x+y-5=0.3. (1.7练习第3题)已知两条直线11、12，其中一条没有斜率，这两条直线什么时候:(1)平行；(2)垂直.分别写出逆命题并判断逆命题是否成立.解：(1)另一条也没有斜率.逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果这两条直线平行，那么另一条直线也没有斜率；逆命题成立.(2)另一条斜率为零.逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果另一条直线和这一条直线垂直，那么另一条直线的斜率为零；逆命题成立.4. (习题三第3题)已知