数字信号处理复习要点

1、数字信号处理复习要点数字信号处理主要包括如下几个部分1、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析2、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换3、数字滤波器的设计一、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析1、离散时间信号：1)离散时间信号。时间是离散变量的信号，即独立变量时间被量化了。信号的幅值可以是连续数值，也可以是离散数值。2)数字信号。时间和幅值都离散化的信号。(本课程主要讲解的实际上是离散时间信号的处理)3)离散时间信号可用序列来描述4)序列的卷积和(线性卷积)y(n)x(m)h(nm)x(n)*h(n)m5)几种常用序列a)单位抽样序列(也称单位冲激序列)(n),(n)d)实指数序列，

2、x(n)anu(n)6)序列的周期性所有n存在一个最小的正整数N,满足：x(n)x(nN),则称序列x(n)是周期序列，周期为No(注意：按此定义，模拟信号是周期信号，采用后的离散信号未必是周期的)7)时域抽样定理：一个限带模拟信号xa(t),若其频谱的最高频率为F。，对它进行等间隔抽样而得x(n),抽样周期为T,或抽样频率为Fs1/T；只有在抽样频率Fs2FO时，才可由4(t)准确恢复x(n)1,n00,n0b)单位阶跃序列u(n),u(n)1,n00,n0c)矩形序列，RN(n)1,0nN10,n其它2、离散时间信号的频域表示(信号的傅立叶变换)X(j)x(n)ejn,X(j(2)X(j)

3、n1jnx(n)X(j)ed23、序列的Z变换X(z)Zx(n)x(n)znn1) Z变换与傅立叶变换的关系，X(j)X(z)zej2) Z变换的收敛域收敛区域要依据序列的性质而定。同时，也只有Z变换的收敛区域确定之后，才能由Z变换唯一地确定序列。一般来来说，序列的Z变换的收敛域在Z平面上的一环状区域：Rx|z|Rxx(n)N1nN20|z|0其它x(n)左序列：x(n)0(|z|0时：00|Z|Rx+;吵00时：0|Z|Rx11、稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：|h(n)|,h(n)0,nn或：H(z)的极点在单位园内H(z)的收敛域满足：|

4、z|Rx,Rx112、差分方程线性移不变系统可用线性常系数差分方程表示(差分方程的初始条件应满足松弛条件)akynkb,xnik0i013、差分方程的解法1)直接法：递推法2)经典法3)由Z变换求解|x(n)|,则循环卷积：x3(n)x(n)x2(n)xp3(n)R(n)xp1(m)xp2(nm0m)RN(A)离散傅立叶变换、快速傅立叶变换1、周期序列的离散傅立叶级数(DFSN1j土knxp(n)eNn0其中：WN=ej2/N应当注意，虽然x(n)和X(k)都是长度为N得有限长序列，但他们分别是由周期序列xp(n)和Xp(k)截取其主周期得到的， 本质上是做DFS或IDFS,所以不能忘记它们的

5、隐含周期性。尤其是涉及其位移特性时更要注意。3、离散傅立叶变换与Z变换的关系X(k)X(j)12kX(z)|j2kNkz4、频域抽样定理对有限长序列x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔抽样，抽样点数为N,或抽样间隔为2/N,当NM时，才可由X(k)不失真恢复X(j)。1zNN1X(k)NkO1WNkz15、周期卷积、循环卷积N1周期卷积：xp3(n)xp(m)xp2(nm)m06、用周期（周期）卷积计算有限长序列的线性卷积Xp(k)DFSXp(n)N1knxp(n)WNn0Xp(n)IDFSXp(k)XPk2jknNknXPkWNO2、有限长序列的离散傅立叶变换(DFT)X(k)DFTx(

6、n)DFSx(nN)RN(k)N1x(n)WN；n,0kN1n0 x(n)IDFTX(k)IDFSX(kN)RN(n)N11X(k)WN,0nN1Nk0内插公式:X(z)对周期要求：NN1N21（N1、N2分别为两个序列的长度）7、基2FFT算法1）数据要求：N2M2 ）计算效率（乘法运算次数：1NM，加法计算次数：NM）（复数运算）2（DFT运算：乘法运算次数：N2,加法计算次数：N2）（复数运算）8、快速卷积（采用FFT计算）9、分辨率三、数字滤波器的设计(一)FIR滤波器的设计1、特点：可实现严格的线性相位特性、系统是稳定的、因果的、阶数较高2、实现线性相位的条件(1) h(n)为实数(

7、2) h(n)=h(N-1-n)做一般意义下的FIR滤波器，N是偶数，不适合做高通滤波器或h(n)=-h(N-1-n)对称中心：(N-1)/2适于做希尔伯特变换器，微分器和正交网络。3、主要设计方法1)窗函数法2)频率抽样设计频率抽样内插公式设计。特点：频率特性可直接控制。若滤波器是窄带的，则能够简化系统若无过渡带样本，则起伏较大。改进办法是增加过渡带样本，采用过渡带的自由变量法，通常使用优化方法求解。可得到较好的起伏特性，但是会导致过渡带宽度加大，改进办法是增加抽样点数。抽样点的获得采取两种办法：I型抽样及II型抽样。若要满足线性相位特性，则相位要满足一定要求。(二)IIR滤波器的设计1、特

8、点?阶数少、运算次数及存储单元都较少?适合应用于要求相位特性不严格的场合。?有现成的模拟滤波器可以利用，设计方法比较成熟。?是递归系统，存在稳定性问题。2、主要设计方法先设计模拟滤波器，然后转换成数字滤波器。设计过程：1)先设计模拟低通滤波器Ha(s):butterworth滤波器设计法等，有封闭公式利用2)将模拟原型滤波器变换成数字滤波器(1)模拟低通原型先转换成数字低通原型，然后再用变量代换变换成所需的数字滤波器；模拟低通原型先转换成数字低通原型：HaL(S)HL(Z),主要有冲激不变法、阶跃不变法、双线性变换法等。将数字低通原型滤波器通过变量代换变换成所需的数字滤波器。_1_1HL(Z)

9、HD(Z),zG(Z)(2)由模拟原型变成所需型式的模拟滤波器，然后再把它转换成数字滤波器；将模拟低通原型滤波器通过变量代换变换成所需的模拟滤波器。HaL(S)HaD(S1),SF(S1)模拟滤波器转换成数字数字滤波器：HaD(S)HD(Z),主要有冲激不变法、阶跃不变法、双线性变换法等(3)由模拟原型直接转换成所需的数字滤波器直接建立变换公式：HaL(s)HD(Z),SG(Z1)3、模拟数字转换法(1)冲激不变法H(Z)ZL1Ha(S)|tnT单阶极点情况NAkNAkA,STHa(S)H(Z)一上 F,AkAk,Pkesk1SSkk11PkZ(2)阶跃不变法Z11W)ZLHa(s)/S|tnTZ冲激不变法和阶跃不变法的特点:?有混叠失真?只适于限带滤波器?不适合高通或带阻数融滤波器的设计(3)双线性变换法SCgr1Z常数C的计算：1)Cccot(j)2)C=2/T2特点:(i)稳定