工程振动3——自由度系统频响函数

1、1. 复习模态分析理论1.1 单自由度系统频响函数(幅频、相频、实频与虚频、品质因子等)系统的脉冲响应函数h(t)与系统的频响函数H(®)是一对傅里叶变换对，与系统的传递函数H(s)是一对拉普拉斯变换对。即有：H(o)=JXh(t)e-iOtdth律丁®H(O)e-iOtdoH(s)书h(t)e-stdth(t)=：jg盥H(o)eF22i复频率响应的实部ReH(o爪1-(o/«n)2l-(o/on)22+(2go/on)2复频率响应的虚部ImH(o)=-2go/On1-(o/on)22+(2go/on)2单自由度系统频响函数的各种表达式及其特征“()1，对频响函

2、数特征的H(w)=2k-mw2+jT|k描述采用的几种表达式1) 幅频图：幅值与频率之间的关系曲线2) 相频图：相位与频率之间的关系曲线3) 实频图：实部与频率之间的关系曲线4) 虚频图：虚部与频率之间的关系曲线5) 矢端轨迹图(Nyquist图)1.2 单自由度结构阻尼系统频响函数的各种表达形式频响函数的基本表达式：H(o)=1=丄1=1.1k-mo2+jqkmo02-o2+jqo#k1-Q2+jn频响函数的极坐标表达式：H(o)=|H(o)，阮)=丄/1幅频特性，kf2丿+q2mt一相频特性。申=arctanII11-Q2丿频响函数的直角坐标表达式H(o)=HR(o)+jH1(o)HR(o

3、)=丄(_Q2)2hq2实频特性，Hl(o)=丄虚频特性频响函数的矢量表达式：H(o)=HR(o)i+H1(o)j1.3 单自由度结构阻尼系统频响函数各种表达式图形及数字特征幅频特性：固有频率：®0=®D阻尼比：“嗨斗Am11一m0m0相频特性实频特性：|H（蚁-固有频率由零点M确定阻尼=gKAmm0m0正负极值点水平距离反映阻尼大小虚频特性：比较虚频曲线与幅频曲线，二者形状相同不过一为负峰一为正峰，但虚频曲线半功率带宽内的点较幅频曲线多，故用虚频曲线作参数识别较幅频曲线要好。Nyquist图作参数识别较好。Nyquist图：无论阻尼多大，半功率点总位于水平直径两端，半功率

4、点之间的曲线范围相当大，共振区在Nyquist图上最易反映出来，故用对数幅频图：Bode图不仅能在很宽频段内反映系统的幅频特性而且能将低频段和高频段内幅2.Z：/I1M频特性用最突出的特征反映出来。2. 预习多自由度系统振动响应2.1实模态分析对一个有n个自由度的振动系统，需用n个独立的物理坐标描述其物理参数模型。在线性范围内，物理坐标系中的自由振动响应为n个主振动的线性叠加,每个主振动都是一种特定形态的自由振动（简谐振动或衰减振动），振动频率即系统的主频率（固有频率或阻尼固有频率），振动形态即系统的主振型（模态或固有振型），对应每个阻尼系统的主振型有相应的模态阻尼。本节用模态坐标法研究模态参

5、数模型和非参数模型。坐标变换法的基础是求解系统特征值问题。特征值与模态频率和模态阻尼有关（不一定就是模态频率）特征矢量与模态矢量相联系（不一定就是模态矢量）。对无阻尼和比例阻尼系统，表示系统主振型的模态矢量实数矢量，故称实模态系统，相应的模态分析过程是实模态分析。2.2实模态坐标系中的自由响应根据特征矢量的正交性，n个线性无关的特征矢量j构成一个n维矢量空间i的完备正交基，称这一n维空间为模态空间或模态坐标系。对于实模态系统，模态矢量构成的模态空间是实线性空间。设物理坐标系中的矢量x在模态坐标系中的模态坐标为y（i=l,2,n）,则x=n%=”。它是以j为变换矩阵的线性变换，i=1ii反映了物

6、理坐标系与模态坐标系的关系，也称为模态展开定理。nx=工y疔申yi=1代入到振动方程中，左乘亦，注意模态矢量的正交性，得到微分方程。写成正则形式dir+dik。可见，在模态坐标系中，无阻尼自由振动方程变成一组解耦的振动diagm,y+diagkjy=0其中Y'=y+diag応y=0考虑初始条件y0=diagm?TMx0i1ty0=px0=dlagpMx0mi得模态坐标系中的自由响应y,=Y,sin（®/+0.），ii0ii0=arctan零为与初始条件有关的常量。0.arctany0.2.3 物理坐标系中的自由响应=片mt+0)_片D”+0)式中D=pY(.12)如果系统以某

7、阶固有频率«x=工®iYsin(o.t+0.)-工D.sin(o.t+0.)D.=*%(.=1,2，,n)0.=1.=1振动，则振动规律D,(t0)(.12)无阻尼系统的主振动。由于Yl是与初始条Xj=D.sin(Wg.t+0.)(=1,2，,n)l件有关的常量，因此，系统以某阶固有频率“做自由振动时，振动形态D.与主振型m完全町19相同，这就是主振型的物理意义。进一步讨论主振型的性态。考察主振动下各个物理坐标的振动情况，写出Xi=Djsin(°f+i)(i=12,n)中每个元素Xki=Dkisin(®Oit+0;-)=kiYisin(®Qi-

8、t+0;-)(k=1,2，-,n)在第i个主振动中，0为与初始条件有关的常值，与物理坐标k无关。i2.4 多自由度系统的复模态分析具有一般粘性阻尼和一般结构阻尼振动系统的模态矢量是复矢量，有关的模态分析基本理论称为复模态分析。复模态矢量不具备实模态系统中模态矢量那样关于M、K、C的正交性。一般粘性阻尼系统以某阶主振动做自由振动时，每个物理坐标的初相位不仅与该阶主振动有关，还与物理坐标k有关，即各物理坐标的初相位不同。因而，每个物理坐标振动时并不同时到达平衡位置和最大位置，即主振型节点和（线）是变化的。不具备模态保持性，主振型不再是驻波形式，而是行波形式，这是复模态系统的特点。从物理模型到模态模型的转换，是方程Mx+Cx+Kx=f(t)解耦的数学过程。从物理意义上来认识，这是一种从力的平衡方程变为能量平衡方程的过程。方程Mx+Cx+Kx=f（t）是根据达朗贝尔原理和虎克定律建立的，在物理坐标系统中，其质量阵、刚度阵中一般有一个，有时两个都是非对角阵，使运动方程不能解耦。在模态坐标系统中，模态坐标yi代表在位移向量中第i阶固有振型（模态振型）所作的贡献，方