矩阵概念的引入

1、2.1 矩矩 阵阵一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111. 线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于系数系数aij和和常数项常数项bj ( i =1, 2, , n, j =1, 2, , m ). mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张数表的研究这张数表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 2. 某航空公司在某航空公司在A, B, C, D四城四城市之间开

2、辟了若干航线市之间开辟了若干航线, 如图所示表如图所示表示了四城市间的航班图示了四城市间的航班图, 如果从如果从A到到B有航班有航班, 则用带箭头的线连接则用带箭头的线连接A与与B.ABCD四城市间的航班图情况常用表格来表示四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站发站到站到站ABCDABCD其中其中 表示有航班表示有航班. 为了便于计算为了便于计算, 把表中的把表中的 改成改成1, 空白地方填空白地方填上上0, 就得到一个数表就得到一个数表:1111111000000000这个数表反映了四城市间交通联接情况这个数表反映了四城市间交通联接情况.mnmmnnaaaaaaaaa21222211121

3、1二、矩阵的定义二、矩阵的定义 定义定义: 由由m n个数个数 aij ( i =1, 2, , m; j =1, 2, , n )排成的排成的 m 行行 n 列的数表列的数表:称为称为m行行n列的矩阵列的矩阵. 简称简称 m n 矩阵矩阵. 记作记作 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211简记为简记为: A = Am n = ( aij )m n = ( aij ). 这这m n个数个数aij称为称为矩阵矩阵A的的(第第 i 行第行第 j 列列)元素元素. 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵, 元素是复数的矩元素是复数的矩阵称为阵称为复矩阵复矩阵.例如例如

4、: 34695301是一个是一个2 4实矩阵实矩阵; 2222222613i是一个是一个3 3复矩阵复矩阵; 421是一个是一个1 4(实实)矩阵矩阵; 9532是一个是一个3 1(实实)矩阵矩阵; 4是一个是一个1 1(实实)矩阵矩阵.例如例如: 2222222613i是一个是一个3 阶方阵阶方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵 (1) 行数与列数都等于行数与列数都等于n的矩阵的矩阵A, 称为称为n阶方阵阶方阵. 也可记作也可记作An, n 00000021的方阵的方阵, 称为称为(2) 形如形如(或或), 其中其中 1, 2, , n不全为零不全为零. 记作记作diag( 1, 2, , n)

5、(3) 如果如果En= diag( 1, 2, , n) = diag(1, 1, , 1), 则称则称En为为(n阶阶)单位矩阵单位矩阵, 或简称或简称单位阵单位阵. 简记为简记为E. (4) 只有一行只有一行(列列)的矩阵称为的矩阵称为行行(列列)矩阵矩阵(或或行行(列列)向量向量). ,21naaaA ,21 naaaB (5) 元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵, m n 阶零矩阵阶零矩阵记作记作Om n或或O. (6) 设设A = ( aij )为为 n 阶方阵阶方阵, 对任意对任意 i, j, 如果如果aij = aji都成立都成立, 则称则称A为为对称矩阵对称矩

6、阵; 如果如果aij = aji 都成立都成立, 则称则称A为为反对称矩阵反对称矩阵; 例如例如: 643452321A 043402320BA为对称矩阵为对称矩阵, B为反对称矩阵为反对称矩阵.,131,213321 zyxBA例例1: 设设解解: 由于矩阵由于矩阵A =B, 则由矩阵相等的定义则由矩阵相等的定义,已知已知A =B, 求求x, y, z.x=2, y=3, z=2.得得: 2. 两个矩阵两个矩阵A = ( aij )与与B = ( bij )为同型矩阵为同型矩阵, 并且并且对应元素相等对应元素相等, 即即 aij = bij ( i =1, 2, , m; j =1, 2,

7、, n )则称则称矩阵矩阵A与与B相等相等, 记作记作A=B.同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念1. 两个行列数对应相等的矩阵称为两个行列数对应相等的矩阵称为同型矩阵同型矩阵.例如例如:为为同型矩阵同型矩阵. 9101735,642531BA(1) 矩阵的概念矩阵的概念: m行行n列的数表列的数表 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211(2) 特殊矩阵特殊矩阵 方阵方阵 ;nm 行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵单位矩阵;零矩阵零矩阵.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00000021矩阵与行列式有何区别矩阵与行列式有何区别? 矩阵与行列式有本质的区