2019学年高中数学北师大选修1-1同课异构练习：第2章圆锥曲线与方程2.3.2.1课时提升作业十五

1、温馨提示:此套题为 WordWord 版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合 适的观看比例，答案解析附后。关闭WordWord 文档返回原板块。课时提升作业十五双曲线的简单性质一、选择题（每小题 5 分，共 25 分）1.双曲线 x2 =1 的实轴长是（）3A.2B2;彪C.4D.1【解析】选 A.a2=1，所以 2a=2,即实轴长为 2.2.（2019 福州高二检测）经过点 P（2, -2），且与双曲线 C:-y2=1有【解析】选 A.设与双曲线 C: -y2=1 有相同渐近线的双曲线方程是 辭2.-y2=入（入工 0），又双曲线经过点 P（2, -2），所以入二-4=-2，即

2、双曲22线方程为-=1.243.（2019 赣州高二检测）已知双曲线 C: =1（a0, b0）的渐近线方程为 y= x,则 C 的离心率为（）相同渐近线的双曲线方程是（）【解析】选 C.因为双曲线 C:吕-=1（a0, b0）的渐近线方程为 y=x= x,得二，则 C 的离心率 e=-.a 2 a 2a X a/24.（2019 九江高二检测）已知双曲线 C:=1 的焦距为 10,点 P（2 ,包丄bz1）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为（）B. =1S 20C. =180 20屮y心D. -=120 80【解析】选 A.由 2c=10 得 c=5,h因为点 P（2，1）在直线 y= x

3、 上,a所以=1.a又因为a2+b2=25,所以=20, b2=5,故双曲线的方程为丁广1【补偿训练】等轴双曲线的一个焦点是 F1（-6，0），则它的标准方程是所以 a+a=6，所以 a=18.故双曲线方程为-=1.Io lo5.（2019 全国卷H）已知 A, B 为双曲线 E 的左、右顶点，点 M 在 E【解析】选 B.设等轴双曲线方程为y一弋-0).20 5()IS 1S8 88 &上, ABM 为等腰三角形，且顶角为 120,则 E 的离心率为（）A. 三B.2C. VD. . 2【解析】选 D.设双曲线方程为0, b0），如图所示,|AB|=|BM|，/ ABM=120，过点 M 作

4、 MNLx 轴，垂足为 N,在 Rt BMN 中，|BN|=a , |MN|=la,故点 M 的坐标为 M（2a,匚輕 a），代入双曲线方程得 a2=b2=c2-a2，即 c2=2a2，所以 e二關复二、填空题（每小题 5 分，共 15 分）6. （2019 陕西高考）若抛物线 y2=2px（p0）的准线经过双曲线 x2-y2=1的一个焦点，贝 S p=_.【解析】双曲线 x2-y2=1 的左焦点为（-誘玄,0），故抛物线 y2=2px 的准线为 x=- . 1,所以-二，所以 p=2 答案：2.2二 二7. 若双曲线-=1 的离心率 e=2,则 m二16 ir-【解析】c2=a2+b2=16

5、+m 又因为 e 蔦,所以 e=2= ，所以 m=48.答案：48【补偿训练】若双曲线二-=1（b0）的渐近线方程为 y= x，则 b 等于4 b*2【解析】双曲线一-一=1 的渐近线方程为 y= x,又渐近线方程为 y=4h22 x,故 b=1.2答案：18. 顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=fX,则双曲线的方程为 _ .【解题指南】根据渐近线方程表示出双曲线方程，由方程及两顶点间距离列方程，但要对参数分情况讨论.【解析】设以 y= X 为渐近线的双曲线方程为 0 时，a2=4 入，所以 2a=2.二=6,即入,4当入0 时，a2=-9 入，所以 2a=2勒=6，即入=-1.所以双曲线的

6、方程为=1 或-=1.36194答案：0, b0）.由题意知二二.D 3所以所求的双曲线方程为-=110. 焦点在 x 轴上的双曲线，它的两条渐近线的夹角为:，焦距为 12,求此双曲线的方程及离心率.【解析】由已知可设双曲线的方程为=1（a0，b0），所以两条渐近线为 y= x.IT因为两条渐近线的夹角为，故分两种情况,n n即 y= x 的倾斜角为或.HH当 y= x 的倾斜角为时，所以 =tan =亍，所以*=，即 a2=3b2.因为双曲线过点PC :，2），所以一-=1,a3盼24a2=-,3rb2= 3.解方程组；：得故所求双曲线方程为-y2-x2=1.43设所求双曲线方程为- =1

7、（a0，b0） .計bz因为 e=，所以 e= =1二，3包亠所以二a 3（2 = $解方程组. 得9一49.b2=4.a2又 2c=12，所以 c=6.由 c2=a2+b2, 得 b2=9, a2=27.所以双曲线方程为 =1,27 9c 62 0, b0）的右焦点为 F,左、右顶点为 A, A,过 F 作AA的垂线与双曲线交于 B, C 两点，若 AB 丄 AC,则该双曲线的渐近线斜率为()A. 士B. 士2 2C. 士 1D. 士 厲【解析】选 C.由题意知 F(c , 0), A(-a ,0) , A(a ,0)，其中 尸淼齐卜护. 联立忖_幺.可解得 B?斗 I，C ：， 所以您:说

8、匕亍，啟二二一.：j又因为 AB 丄 AC,L4所以 J_ 二-=(c+a)(c-a)-=0,包厶解得 a=b,所以该双曲线的渐近线斜率为士 1.二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3._ (2019 吉安高二检测)已知双曲线的渐近线方程为 y= x，且实轴长 为 2,则双曲线的标准方程为.【解析】(1)当焦点在 x 轴上时，由题意知 2a=2,所以 a=1,又因为-二？b-,3.丄所以双曲线的标准方程为 X2- L=1.4当焦点在 y 轴上时，由题意知 2a=2,所以 a=1,又因为 u ?百,所以双曲线的标准方程为 y2-亍=1.2習2综上可得双曲线的方程为 X2- =1 或 y2-

9、=1.49答案：x2-=1 或 y2-宁=14g【误区警示】易对双曲线的概念和渐近线之间的关系理解不全而漏掉一解.【补偿训练】若双曲线二-=1（a0）的离心率为 2,则 a=_【解析】因为 b= 2，所以 c=.畔.|黑r-rprC vS2+3所以二-=2，a a所以 a=1.答案：14.（2019 广州高二检测）双曲线-=1（a0,b0）的离心率为 2,则一a2ba3的最小值为_ .【解析】双曲线=1（a0, b0）的离心率为 2,包亠b*则 c=2a,匚b和1 c2-aa+l 3a2+l 1、2唐所以=a+ .3a 3a 3a 3a 3当且仅当 a=，即 a=时，一的最小值为3a33a三、

10、解答题（每小题 10 分，共 20 分）5.已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆 x2+y2=10 相交于点 P（3，-1），若此圆过点 P 的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程【解析】切点为 P（3，-1）的圆的切线方程为 3x-y=10，因为双曲线的一条渐近线平行于此切线，且双曲线关于两坐标轴对称 所以双曲线的渐近线方程为 3x 士 y=0.当焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为 一一=1（a0, b0）, 则其渐近线方程为 y= x,即=3,aa则双曲线方程可化为 一=1，a39a2因为双曲线过点 P（3，-1），所以-=1，所以 a2二二，b2=80,所以所求双曲线方程为 E-=1

11、.T80当焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为-=1（a0，b0），则渐近线方程为 y=?x，即二=3，b则双曲线方程可化为-=1，9b2b2因为双曲线过点 P（3，-1），所以-=1,得-亠 1 无解.综上可知所求双曲线方程为 刖-=1.80g【一题多解】切点为 P（3，-1）的圆的切线方程为 3x-y=10.因为双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称. 所以双曲线的两条渐近线方程为3x y=0，设所求的双曲线方程为 9x2-y2二入（入工 0），因为点 P（3, -1）在所求双曲线上，所以入=80.2 2所以所求双曲线方程为 P-=1.806.设 F1， F2分别为双曲线一

12、-=1 的左、右焦点，A，A 分别为这个双 曲线的左、右顶点，P 为双曲线右支上的任意一点，求证：以 A1A2为直 径的圆既与以 PF2为直径的圆外切，又与以 PF 为直径的圆内切.【解题指南】设 N M 分别是 PF, PF2的中点，只要证明|0M|=a+|PF2| , 并且|0N|= |PFi|-a 即可.注意点 P 在双曲线的右支上，Fi, F2是双曲线 的两个焦点，满足了使用定义的条件特征，故应从双曲线的定义入手 去探索证明的途径.【证明】如图，以 AA 为直径的圆的圆心为 0,半径为 a，令 M N 分 别是PF2，PF 的中点，由三角形中位线的性质，得|0M = |PFi|.又根据双曲线的定义，得|