(完整版)切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

1、1切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段以及与圆有关的比例线段学习目标学习目标1.1. 切线长概念切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。（PA 长）2.2. 切线长定理切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，

2、切线的夹角与过切点的两个半径的夹角直线 AB 切 00 于 P,PC、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.4. 弦切角定理：弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5.5. 弄清和圆有关的角：弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7.与圆有关的比例线段与圆有关的比例线段已知结论00 中，AB、CD 为弦，交 PAPB=PCPD.于 P.定理图形证法连结 AC、BD，证：APCsDPB.相交弦定相交弦定理的推论理的推论厂、00 中，AB 为直径，CD 丄 ABPC2=PAPB.于 P.0（特殊情

3、（特殊情L丿用相交弦定理.3.3.弦切角弦切角：顶点在圆上顶点在圆上，一边和圆相交一边和圆相交，另一边和圆相切的角另一边和圆相切的角。相交弦定相交弦定理理B2OO 中， 割线 PB 交 OO 于 PCPD=r2延长 PO 交 OO 于 M,延 A,CD 为弦 OP2长 OP交 OO 于 N,用相交PAPB=OP2r2弦定理证；过 P 作切线用r 为 OO 的半径切割线定理勾股定理证8.圆幂定理圆幂定理：过一定点 P 向 OO 作任一直线，交 OO 于两点，则自定点 P 到两交点的两条线段之积为常数 1FR（R 为圆半径），因为OP2-R2叫做点对于 OO 的幕，所以将上述定理统称为圆幕定理。解

4、解：由切线长定理知：AF=AB=1,EF=CE 设 CE 为 x,在 RtAADE 中，由勾股定理(1+工二(1-x)3+1x=lDE=-=-AE=+-=-4444 4 ,:.DExAE=-.-=3：544PT2=PAPB连结 TA、TB,证：PTBspAT圆幂定理圆幂定理切割线定切割线定理理OO 中，PT 切 00 于 T,割线 PB 交 O0 于 APB、PD 为 OO 的两条割线，PAPB=PCPD 交 O0 于 A、Cn【典型例【典型例3AEBE=CEDE.AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,DB=CD-CE=1-CEn n 二纲了二纲了- -作）作）,即-7+12=0.*.CE

5、=3cm 或 CE=4cm。故应填 3 或 4。点拨点拨：相交弦定理是较重要定理,例例 3.3.已知 PA 是圆的切线，PCB 是圆的割线，则解解: :VZP=ZPZPAC=ZB，.PACSPBA,AB_PB忑,AB2_PB2AGPBPC-PC ,HnABAC2=PB.FC即，故应填 PC。点拨点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。结果要注意两种情况的取舍。又 TPA 是圆的切线,PA1mFCPCB 是圆的割线，由切割线定理，得ABPBFE4.PB=4PA又.PC=12cmpr*a-PA*PR由切割线定理，得.12a=FA*4PA 尸才二充尸才二充,.PA=& &am

6、p;（亡痰）（亡痰）.PB=4X6=24(cm).AB=246=18(cm)设圆心 O 到 AB 距离为 dcm,由勾股定理，得卫=J1Q2_阳=厕屈故应填后。证明：证明：（1）连结 BEBdQO的切线=ZA=乙乙CBEOA=OEA=OEAZOEA=ZDEC5证明：证明：连结 BD,VAE 切 00 于 A,.ZEAD=ZABDVAE 丄 AB，又 ABCD,.AE 丄 CDVAB 为 00 的直径.ZADB=90.ZE=ZADB=90.ADEs&AD.ADA=AB*DE.CDABAD=BC,UDE6点悟：点悟：由结论 ADBC=CDAB 得药云，显然要证PADSPBA和厶 PCDPB

7、C 证明：证明：VPA 切00 于 A,.ZPAD=ZPBA又 ZAPD=ZBPA,.PADSPBA出_一上同理可证PCDSPBC口竺TPA、PC 分别切 00 于 A、CPA=PC土_匸：.ADBC=DCAB点悟：点悟：由要证结论易想到应证 0E 是厶 ABC 的中位线。而 0A=0B，只须证 AE=CE。证明：证明：连结0D。VAC 丄 AB,AB 为直径 AC 为 00 的切线，又 DE 切 00 于 D EA=ED,0D 丄 DEV0B=0D,AZB=Z0DB在 RtAABC 中，ZC=90ZBVZ0DE=90. .乙乙 SDUSDU 二亦二亦-厶DDE ZC=ZEDC ED=EC A

8、E=EC7 0E 是厶 ABC 的中位线 BC=20E8o例 9如图 8,在正方形 ABCD 中，AB=1,月口月口是以点 B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧。点 E 是边 AD 上的任意一点（点 E 与点 A、D 不重合），过 E 作川 D 所在圆的切线，交边 DC 于点 F,G 为切点。当 ZDEF=45。时，求证点 G 为线段 EF 的中点；解：解：由 ZDEF=45，得.ZDFE=ZDEF.DE=DF又 VAD=DC.AE=FC因为 AB 是圆 B 的半径，AD 丄 AB,所以 AD 切圆 B 于点 A；同理，CD 切圆 B 于点 C。又因为 EF切圆 B 于点 G,所以 AE=E

9、G，FC=FG。因此 EG=FG，即点 G 为线段 EF 的中点。【模拟试题】【模拟试题】（答题时间：40 分钟）-、选择题1.已知：PA、PB 切 00 于点 A、B,连结 AB,若 AB=8，弦 AB 的弦心距 3,则 PA=（）2025D.82.下列图形一定有内切圆的是（）A.平行四边形 B.矩形C.5图94.圆内两弦相交，一弦长 8cm 且被交点平分，另一弦被交点分为 1：4,则另一弦长为（）二、填空题7.AB、CD 是 00 切线，ABCD,EF 是 00 的切线，它和 AB、CD 分别交于 E、F,则 ZEOF=。&已知：00 和不在 00 上的一点 P,过 P 的直线交

10、00 于 A、B 两点，若 PAPB=24,0P=5,则 00 的半径长为。9._ 若 PA 为 00 的切线，A 为切点，PBC 割线交 00 于 B、C,若 BC=20,刊=1馅，则 PC 的长为。10.正厶 ABC 内接于 00,M、N 分别为 AB、AC 中点，延长 MN 交 00 于点 D,连结 BD 交 AC 于 P,PC_则山。三、解答题B.10cm5. 在ABC 中，D 是 BC 边上的点，聊，BD=3cm,DC=4cm，如果 E 是 AD 的延长线与ABC 的外接圆的交点，那么 DE 长等于（）叨B32cmCcmD6. PT 切 00 于 T,CT 为直径， D 为 0C点，

11、 直线 PD 交 00 于 B 和 A,B 在线段 PD 上， 若 CDBD=4，则 PB 等于（A.8cmC.12cmD.16cm=2,AD=3,A.20B. 10C.5D.10AE0 图AB0NC图12.如图 3,已知 P 为 00 的直径 AB 延长线上一点，PC 切 00 于 C,CD 丄 AB 于 D,求证：CB 平分ZDCPo13.如图BM=MN=NC,已知 AD 为 00 的直径，AB 是 00 的切线，过 B 的割线 BMN 交 AD 的延长线于 C,且若AB=，求 00 的半径。11【试题答案】-、选择题1.A2.C3.A4.B5.B6.A二、填空题、解答题:11.由切线长定理得厶 BDE 周长为 4,由厶 BDEsBAC，得 DE=lcm12.证明：连结 AC,则 AC 丄 CBTCD 丄 AB,AACBsACDB,ZA=ZlPC 为