(完整版)排列组合习题_[含详细答案解析]

1、I梦教育中心梦教育中心完美 WORD 格式专业整理分享排列组合专项训练1题 1（方法对比，二星）题面:（1）有 5 个插班生要分配给 3 所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？（2）有 5 个数学竞赛名额要分配给 3 所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？解析：“名额无差别”相同元素问题（法 1）每所学校各分一个名额后，还有 2 个名额待分配，可将名额分给 2 所学校、1 所学校，共两类：C2+Ci（种）33（法 2挡板法）相邻名额间共 4 个空隙，插入 2 个挡板，共：C2=6（种）4注意注意： “挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且每个位置至少分配一个元

2、素的问题.（位置有差别，元素无差别）同类题一同类题一题面：有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？答案：C69详解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成 9 个空隙。在 9 个空档中选 6 个位置插个隔板，可把名额分成 7 份，对应地分给 7 个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C6种分法。同类题二同类题二题面：求方程 X+Y+Z=10 的正整数解的个数。答案：36.详解：将 10 个球排成一排，球与球之间形成 9 个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 x、y、z 之值，故

3、解的个数为 C92=36（个）。2题 2（插空法，三星）题面：某展室有 9 个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有种； 如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有种.答案：60，48同类题一同类题一题面：6 男 4 女站成一排，任何 2 名女生都不相邻有多少种排法？答案：AbjA 舛种.详解：任何 2 名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中， 共有 A6A7种不同排法同类题二同类题二题面：有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的

4、不同坐法有（）A.36 种 B.48 种 C.72 种D96 种答案：C.详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共人3人4=3472 种排法，故选 C.3题 3（插空法，三星）题面：5 个男生到一排 12 个座位上就座，两个之间至少隔一个空位.1没有坐人的 7 个位子先摆好，(法 1插空)每个男生占一个位子，插入 7 个位子所成的 8 个空当中，有：专业整理分享A5=6720 种排法.8(法 2)15 个男生先排好：A5；52每个男生加上相邻的一个座位，共去掉 9 个位置，当作 5 个排好的元素，共有 6 个空，剩下的 3 个元素往里插空，每个空

5、可以插1 个、2 个、3 个元素，共有：C3+2C2+Ci种，666综上：有A5(C3+2C2+Ci)=6720 种.5666同类题一同类题一题面：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4 个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？答案：30。详解：记两个小品节目分别为 A、B。先排 A 节目。根据A 节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把 4 个球分成两堆，有种方法。这一步完成后就有 5 个节目了。再考虑需加入的 B 节目前后的节目数，同理知有 V 种方法。故由分步计数原理知，方法共有W=刃(种)。同类题二同类题二题面：(2013年开封

6、模拟)2位男生和 3位女生共 5 位同学站成排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()A.60B.48C.42D.36答案：B.详解：第一步选 2 女相邻排列C3A2， 第二步与男一女排列A2，第三步男生甲插在中间，1 种插法，第四步男一男生插空 C，故有 C3A2A2C4=48 种不同排法.4题 4(隔板法变形，三星)题面：15 个相同的球，按下列要求放入 4 个写上了 1、2、3、4 编号的盒子，各有多少种不同的放法？(1) 将 15 个球放入盒子内，使得每个盒子都不空；C3=36414(2) 将 15 个球放入盒子内，每个盒子的球数不小于盒子的编号数；

7、(3) 将 15 个球放入盒子内，每个盒子不必非空；(4) 任取 5 个球，写上 1-5 编号，再放入盒内，使每个盒子都至少有一个球；任取 10 个球，写上 1-10 编号，奇数编号的球放入奇数编号的盒子，偶数编号的球放入偶数编号的盒子.解析：(2)先将 2、3、4 号盒子分别放入 1、2、3 个球，剩下的 9 个球用挡板法，C3=568（3）借来 4 个球，转化为 19 个球放入盒子内，每个盒子非空，C3=81618（4）不能用“挡板法”，因为元素有差别.（法 1）必有一盒子有 2 个球，C2A4=240；54专业整理分享（法 2）先选 3 个球，分别排到 4 个盒子中的 3 个里，剩下的盒

8、子自然放 2 个球.C3A3=240；54（法3）A4C1=480,会重！需要除会重！需要除 2!2!54重复原因：1 号盒子放 1、5 号球，先放 1 后放 5 与先放 5、后放 1 是一样的！（5）（法 1）每个球都有 2 种选择，共有210种方法；（法 2）奇数号的球有 1、3、5、7、9，共 5 个，可以在 1、3 号两个盒子中选一个放入，共有：C5+C4+C3+C2+C1+C0=25种放法，555555同理放偶数号的球也有25种方法，综上共有210种方法.同类题一同类题一题面：某车队有 7 辆车，现要调出 4 辆按一定顺序出去执行任务要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有种不

9、同的调度方法（填数字）答案：120.详解：先从除甲、乙外的 5 辆车任选 2 辆有 C2种选法，连同甲、乙共 4 辆车，排列在一起，先从 4 个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有 C2种，最后，安排其4他两辆车共有人乡种方法，故不同的调度方法为C2C2A2=120 种.同类题二同类题二题面：我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架舰载机准备着舰,如果甲、 乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有（）A12B18C24答案：C.详解：分三步:把甲、乙捆绑为一个元素A，有A2种方2法;A与戊机形成三个“空”，把丙、丁两机插入空中有A种方法;考虑A与

10、戊机的排法有A2种方法由乘法原理可知共有A2A2A2=24种不同2232的着舰方法.故应选 C5.题 5（相同与不同，三星）题面：某同学有同样的画册 2本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有（）A.4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种同类题一同类题一题面：（2013北京高考） 将序号分别为 123,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是答案：96.详解：按照要求要把序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券分成4 组，然后再分配给 4 人，

11、连号的情况是 1 和 2,2 和 3,3 和4,4 和 5,故其方法数是 4Ay=96.4专业整理分享同类题二同类题二题面：3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排， 若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.360B.288C.216D.96答案：288 种.详解：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先从 3 个女生中选两位，有C2种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有A2种32方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有A，中不同的排法，然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插

12、入 4 个位置中。有A2种不同的排法，共有4A2C2A3A2种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两2334端的情况排除掉。甲可能站左端，也可能是右端，有Ci种不同的方2法，然后其他两个男生排列有A2种排法，最后把女生2在剩余的三个位置中排列，有A.种不同的排法。共A2C2C1A2A2种不同的排法，故总的排法为23223A2C2A3A2一A2C2C1A2A2=288 种不同的方法。233423223题 6（组合数的性质，二星）题面：5 个男生 3 个女生，分别满足下列条件，各有多少种方法？选出3人参加A活动；（2）选出 5 人参加B活动；（3）选出 4 人参加一项活动，女生甲必须参加（4）选出 4

13、 人参加一项活动，女生甲不能参加.完美 WORD 格式题面：从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A.70 种 B.80 种 C.100 种 D.140 种答案：A.详解：分为 2 男 1 女，和 1 男 2 女两大类，共有C2-C1+C1-C2=70 种5454同类题二同类题二题面：男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 人.选派5 人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员 3 名，女运动员 2 名；（2）至少有 1 名女运动员；（3）队长中至少有 1 人参加；（4）既要有队长，又

14、要有女运动员.答案：（1）120 种（2）246 种.详解：（1）第一步：选 3 名男运动员，有 C3种选法.6第二步：选 2 名女运动员，有 C2种选法.2）至少 1 名女运动员包括以下几种情况：1 女 4 男，2女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男.由分类加法计数原理可得总选法数为题 7（选和排，二星）题面：从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人，分别从事三项不同的工作， 若这 3 人中有且只有 1 名女生， 则选派方案共有多少种？36C有共C2=120 种选法.644C+26C34C+36C24C+46C14CC1=246 种.答案：法一：先选后排，C1C2A3343同类题一同

15、类题一完美 WORD 格式专业整理分享法二：边选边排，(C31A31)A42同类题一同类题一题面：将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少 1名教师，则不同的分配方案共有()A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种答案：C.详解：先分组再排列：将 4 名教师分成 3 组有 C4种分法,4再将这三组分配到三所学校有 A3种分法，由分步乘法计3数原理，知一共有 C24同类题二同类题二题面：甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是()A.258B.306C.336D.296答案：C.详解：根据题意

16、，每级台阶最多站 2 人，所以，分两类：第一类，有 2 人站在同一级台阶，共有 C?A7种不同的37站法；第二类，一级台阶站 1 人，共有 A3种不同的站法.根据分类加法计数原理，得共有 C3A3不同的站法.3题一(合理分类，二星)题面： 若从 1,2,3,， 9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种同类题一同类题一题面：只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A.6 个 B.9 个 C.18 个D.36 个答案：C.详解：注意题中条件

17、的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有 Ci=3(种)选3法，即 1231,1232,1233,而每种选择有 A?xC3=6(种)排法，所以共有 3x6=18(种)情况，即这样的四位数有18 个.同类题二同类题二题面：由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是()A.72B.96C.108D.144答案：C.详解：分两类：若 1 与 3 相邻，有人乡-勺人乡人舟二 72(个)，若 1与 3 不相邻有人3小3=36(个)故共有 72+36=108 个.题 8题面：5 个男生 3 个女生,分别满足下列条件,各有多少种

18、方法？(1) 选出 4 人参加一项活动,女生甲必须参加；(2) 选 3 人参加数学竞赛,至少有一名男生.(法 1)分类：1 名、2 名、3 名男生：C1C2+C2C1+C3=55；53535（法 2）间接法C3-C3=C3-1=55.838A336 种不同分配方案.A3=336（种）完美 WORD 格式专业整理分享（法 3）1先取 1 名男生；2再在剩下的 7 人中取 3人;7x6C1C2二5x二105？572同类题一同类题一题面：将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为A.18B.24C.30D.36答案：C.详解

19、：用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 C2,顺序有 A3种，而甲乙被分在同一个班的有 A3433种，所以种数是 C2A3-A3=30433题 9（组合数性质，三星）某班分成五个小组，分别有5,6,7,8,9 名同学，现从该班挑选 2 名同学参加比赛，且这两名同学必须来自同一小组，共有多少种不同的方案？同类题一同类题一题面：将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（）A.18B.24C.30D.30答案：C.详解：将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有C2种不4同的分法，然后三组进行全排列共 A；种

20、不同的方法；然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，共 A3 种不同的排法。所以总的排法为C2A3-A3=30 种不同的排同类题二同类题二题面：甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有（）A.6B.12C.30D.36答案：C.详解：可以先让甲、乙任意选择两门，有C2-C2种选择方法，44然后再把两个人全不相同的情况去掉，两个人全不相同，可以让甲选两门有C2种选法，然后乙从剩余的两4门选，有C2种不同的选法，全不相同的选法是C2C2种242方法，所以至少有一门不相同的选法为C2-C2一C2C2=30 种不同的选法。4442同类题二同类题二题面：

21、将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则不同的分配方案有（A）30 种（B）90 种（C）180 种（D）270 种答案：B.详解：将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则将 5 名教师分成三组，一组 1 人,C1.C2另两组都是2人，有54二15种方法，再将 3 组分A22到3个班，共有15-A;=90种不同的分配方案，选 B.题 10（组合的识别，四星）题面：“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数（如 1458）,则四位“渐升数”共有多少个？（2）5 个男生 3 个女生排成一排，自左至右，男、女生分完美 WORD 格式专业整理分享别都从高到矮排（任意两人身高不同），有多少种不同排（法 1）8 个位置中选 5 个排男生，剩下 3 个位置排女生，C5=C3，88注意：男生位置选定以后，女生顺序一定，只对应一种排法.A8（法 2除序）=C5.A5A3853（3）3,3,3,4,4,5