多值函数的单值化方法与技巧

1、多值函数wLnz的单值化方法与技巧1引言在复变函数中，多值函数是较为复杂的函数，也是较难理解的函数，对于多值函数、多值函数单值化以及在支点、支割线判定上对于教学者和初学者来说都是一个难点，初学者更不易掌握.所以系统的对多值函数单值化方法与技巧做一下研究是很有必要的.我主要是针对多值函数wLnz的单值化方法与技巧来做一下详细研究与总结.多值函数对我们来说是棘手的，然而我们经常不可避免地会遇到它，例如在研究代数函数时就会遇到，但前人在这方面已做了详细的研究.对于多值函数wLnz的单值化方法与技巧.我们有一些传统的方法，比如割破z平面法.其主要是在z平面上从原点z0起割破负实轴的区域D内，可以得到w

2、Lnz的无穷多个不同的单值解析分支函数.下面就针对这个课题详细进行探讨一下.2预备知识概念 1 支点设wfz是多值函数，a是z平面上一点，如果z在a点的充分小的邻域内绕a的任一简单闭曲线一周后，wfz从一支进入另一支，即，从它在曲线上一点的任一值连续变动到其他一值，则称a是wfz的一个支点.概念2支割线一一用来割破z平面，借以分出多值函数wfz的单值解析分支函数的割线，叫做fz的支割线.3多信函数wLnz的单值化方法与技巧3.1 割破平面法这个方法是很传统的方法，它的步骤是：首先确定多值函数的支点，再在复平面上以连接支点的曲线作支割线得一区域，然后在这一区域内多值函数分成了单值解析分支函数.w

3、Lnzlnziargz2kiInz2ki(kZ).(i)其中，lnzInziargz(lnz是Lnz的主值)(1)确定wLnz的支点在0或的充分“小”的邻域内，任作一简单连续曲线C围绕0或.根据Argz的连续变化情况，当一点z从C上一点乙出发沿C连续变动一周时，Lnz从它在zi的任一值连续变动到其他一值.这可以由(i)式看出，(任何不是零的复数有无穷多个对数，其中任意两个相差2的整数倍).所以由预备知识概念1,0或称为对数函数wLnz的支点.(2)对wLnz做支割线，确定区域一般在复平面上，取连接 0 及的任一条无界简单连续曲线K1作为割线隔开z平面.即由预备知识概念 2 可知K1为支割线.w

4、Lnz就是取这样的Ki作为支割线的，且通常是取负实轴.现在确定区域：设区域D1CK1,并且z1D1,则D1即为所确定区域.(3)将wLnz单值化在D1内任意取定一点z0,并指定z0的一个辐角值，则在D1内的每一点z,皆可由z0的辐角依连续变化而唯一确定z的辐角.若支割线从原点割破负实轴，C是D1内任一简单闭曲线，C不会穿过负实轴，它的内部不包含原点z0,当变点z从z0绕C一周后，这时argz又回到起点的辐角arg，而z的像点wkwkzInziargz2ki,(kZ)则画出一条闭曲线而回到原来的位置wkz0,(如图1).画出的闭曲线是包含在w平面上的宽为2的带形域Bk内Bk：2k1v2k1,kZ

5、这些带形域互不相交而填满w平面.因此，在D1内可得到的无穷多个单值解析分支函数，记作wkInzkInziargz2k,(kZ).同理，wLnz的支割线也可以取正实轴割破z平面，方法同上.例1将函数Lnz沿正实轴（包括原点）割破z平面，试在所得区域D内取定函数Lnz在正实轴上岸的点z1处取ln12i的一个解析分支，并求这一分支在z1处的值及正实轴下岸的点z1处的值（区域的边界可以看作是有不同两岸，上、下或左、右，且同一单值解析分支在两岸所取的值不同）.如图2解因ln12i,从而argl2,所以取定的单值解析分支函数为lnzlnziArgzL2i,zD.（ArgzL表示Argz在曲线L上的改变量，

6、如下同义），在D内逆时针作以正实轴上岸的点z1为起点、分别以z1和正实轴下岸的点z1为终点的简单曲线和12，则ArgzL,ArgzL2,ln1In1iArgzLi2i3i,ln1下ln1iArgzL2i4i.这里接下来简单介绍一下具有多个有限支点的对数函数，方法不是很难理解的，与wLnz的单值化方法基本相同.它也是先确定函数的支点，只不过是有多个支点，再适当连接支点作支割线来割破z平面，最后在z平面上以此支割线为边界的区域D内就能分出该函数的单值解析分支.因为，在D内变点z不能穿过支割线，也就不能单独绕任一个支点转一周，函数就不能在D内同一点取不同的值.看如下例题例2试证Ln1z2在割去线段1

7、,i,1,i,及射线x0,y1的区域内可取出单值分支？并求z0时等于零的那一支在z2的值解（1）Ln1z2的支点为z1及12因ln1zln1zln1z,当变点z单绕1或+1 一周时，ln1z2的值就改变2i（沿正向）或2i（沿负向），即ln1z2从一支变成另一支；当变点z同绕+1 及1一周时，ln1z2共改变4i（沿正向）或4i（沿负向），即ln1z2也从一支变成另一支.将z平面沿题中要求割破后（如图2）,变点z既不能单绕1或+1 转一周，也不能同绕1及+1 转一周.于是，在这样割破了的z平面上任一区域D内，Ln1z2就能分出无穷多个单值解析分支.（2）当z从z0沿D内一条简单曲线C变动到z2

8、时，由图3图3arg1z2arg1z1zCCarg1zCarg1zC0已知此指定分支在z0的值为0,从而此初值的虚部为零，故由公式lnfz2lnfz2iargfziargf乙C可知该分支在z2的值为2_In1ziln3i.z23.2 给定某点函数值法多值函数wLnz有支点z0,z,适当割破z平面后(如沿着负实轴割破z平面，相当于限制z的辐角范围为：argz),多值函数wLnz可分出如下无穷多个单值解析分支wklnzklnziargz2k(zD,kZ)(1)割破z平面后的区域)，一般是选取从z0开始沿着z的射线来割破z平面，随着割破z平面的射线选取不同，z的辐角范围也不相同.于是，有下面在给定某

9、点zz0函数值wwz0时，单值解析分支确定的具体方法：(2)确定z的辐角范围.设割破z平面的射线与x轴正向夹角为(02)则z的辐角范围为z:argz2(3)确定wLnz的带形区域为argw2，并由此得出argwz0的值(3)确定各个单值解析分支Wk所在的带形:2kargwk2k1并由2kargwz2k1来求出k值，从而可得所求单值解析分支.Lnz是在沿上半虚轴割破了的z平面上,并且wi左(上半虚轴左岸i点的值)，现试在所得区域内取定函数Lnz在正实轴取正实值的一个解析分支, 及求wi右的值.解所求的解析分支是lnziargzargz-这里argz3-argw又因为所以argw2k解得k故所求得

10、单值解析分支为Lnzlnrz2kLni右lni右iargi右Lnz是在沿正实轴割破了的z平面上，并且i,现试在所得区域内取定函数Lnz在正实轴上沿取实值的一个解析分支,及求在正实轴下沿的值.解所求的的解析分支是lnziargz0argz2这里0,于一、za取TELnab在z0D的值，即得Ln-aab的一个单值分支.又因为w1i,所以argw1一.再由22k-2k1kZ,2解得k0,于是在正实轴下沿zx处的值是wx下wox下Lnx下Inx下iargx下0Inx2i3.3 取单值域法相关概念为了确定多值函数的单值域和单值分支，所以要先引入一些概念.设多值函数Fz在a点的空心邻域上定义，环绕a作一简

11、单闭曲线C,取定一点z0C和多值函数Fz在zo的值.让动点z从zo出发沿C绕行，同时使Fz的值连续地变化.若动点z不管绕C多少周，Fz总不回到原来的值，则称a是Fz的一个对数支点；若动点z绕行n周后，Fz回到原来的值，则称a为一个代数支点.因此将复平面沿连接支点的曲线（可以是一条或几条）切开，得到区域D（可以是单连通域或多连通域），只要动点z沿D内任一简单闭曲线绕行一周时，函数Fz总是回到出发点时的值，则D即为多值函数Fz的一个单值域.取定多值函数Fz在一点zoC的值，即取定它在D内的一个单值分支函数.例 5 求多值函数Lnzaab的支点与单值域.zb解多值函数Ln=aab在a点的空心邻域内定

12、义，动点沿环绕za的充分小闭曲线一周zb时，函数虚部增加2,绕行n周时，虚部增加2k，所以za是一个对数支点.同理zb,也是Lnz的对数支点.的充分小简单闭曲线C绕行一周后，因为这时函数在C上的该变量为所以z不是支点.用一曲线或直线段连接za,zb这两支点，记此曲线为则DC即为LnJaab的单值域.zb4总结多值函数单值化方法与技巧，前人已经做了大量的研究，但大多都是对根式函数的单值化方法与技巧进行了详细的研究，而对数函数的单值化方法与技巧却研究者甚少，大多也只是在判定其支点，支割线的方法上.因LnLnzaCLnzbC000，此，针对多值函数 wLnz 的单值化方法与技巧可以仿照根式函数单值化方法进行，比如 3.1 割破平面法；但其本身还是有一些巧妙的方法，比如 3.2 给定某点函数值法、3.3取单值域法，读者可以多加注意一下.由于这方面内容本身对初学者就是一个难以解决的问题，所以要能熟练掌握对数函数单值化方法与技巧还需要大量的练习来巩固，所以希望我的课题能给好学的人带来一点帮助.我暂时只能对多值函数wLnz的单值化方法与技巧做这几点研究，也希望好学的读者还能提供一些更好的方法与技巧.参考文献1方企勤.复变函数教程M.北京：北京大学出版社，20032余家荣.复变函数M.第三版.北京：高等教育出版社，20043路可见，