多自由度体系的微振动

1、第六章多自由度体系的微振动教学目的和基本要求：正确理解线性振动的概念和力学体系平衡的分类；能运用拉格朗日方程初步分析两个自由度保守体系的自由振动问题；理解简正坐标的概念并了解利用简正坐标将复杂振动转化为简正振动的方法和意义。教学重点：掌握运用拉格朗日方程分析两个自由度保守体系的自由振动问题的方法和简正坐标的物理意义。教学难点：简正坐标的物理意义。§ 6.1 动的分类和线形振动的概念振动不仅在宏观领域大量存在（如单摆、弹性振子和地震等），在微观领域也是一种普遍现象（如晶体中晶格的振动、光学中分子的振动等）。振动的种类根据所依据的标准不同可有几种分类方法，下面将简单介绍。一：振动的分类1

2、 .按能量的转换来划分.自由振动一一系统的能量E为常数，即能量守恒。阻尼振动一一系统的能量E逐渐转化为热能Q。强迫振动一一系统不断从外界吸收能量并将其转化为热能Qo2 .按体系的自由度划分.单自由度振动一一体系的自由度S=1。有限多自由度振动和无限多自由度振动一一体系的自由度为大于1的有限值或无限大值。3 .按体系的动力学微分方程的种类划分.线性振动一一体系的运动微分方程为线性方程。有线性振动一一体系的运动微分方程为非线性方程。4 .本章研究的主要问题.以上我们按不同的标准将振动进行了归类，实际上这几种标准是相互交叉的，也就是说振动还可以按照以上两个或三个标准进行进一步的归类。如线性振动还可以

3、进一步分为单自由度线性振动、有限多自由度线性振动和无限多自由度线性振动。表6.1给出了同时按自由度和微分方程的种类对振动进行的分类。我们在本章研究的主要问题是有限多自由度的线性振动，所以有必要对线性和非线性振动做进一步讨论表6,1线性振动非线性振动单自由度IIV有限多自由度RV无限自由度mVI二：有限多自由度线性振动1,定义：体系的自由度为有限多个且体系的运动微分方程为线性方程。例如：单摆的运动微分方程为eT+9sine=o,方程为非线性的。但当e很小时有sine兔e,i方程变为线性方程或+9日=0。如果同时还存在有阻尼-Pe及强迫力f(t),则方程可写成i立+Pe,+ge=f(t),仍为线性

4、方程。i2,应用：一般情况下当力学体系在其平衡位置做微振动时，只要考虑它的最低级近似即可。这样的振动无论是自由振动、阻尼振动还是强迫振动，也无论自由度的个数是多少，其振动的运动微分方程均可看成是线性的，也就是属于线性振动。三：平衡位置及其分类.1 .平衡位置的定义及判定方法。(1)定义：如果力学体系在t=0时静止地处于某一确定位置，当t-时该体系仍能保持在此位置，那么该位置即为体系的平衡位置，我们说体系处于平衡态。(2)判定方法：在§2.4节中我们已指出保守力学体系处于平衡位置时，其势能应取极值(见第二章4.2式)，即以=o,i=1,2.s,这可以做为保守体系平衡位置的判据。2 .平

5、衡位置的分类及其判定方法.(1)平衡位置的分类：平衡位置按其性质不同可分为三类：O稳定平衡：力学体系受到扰动偏离平衡位置后将回到平衡位置或者在平衡位置的附近做微振动不稳定平衡：力学体系受到扰动后将逐渐远离平衡位置。随遇平衡：力学体系受到扰动后将在新的平衡位置下保持平衡。这三种平衡位置可用图6.1形象地表示出来，只不过图6.1是针对单自由度而言，针对多自由度也有类似的例子。（2）平衡位置种类的判据.上述三种平衡位置均能满足式=0,但只有稳定平衡才能引起体系的振动，因而我们为有必要找到各种平衡位置的区别或判据。参考图6.1可知，势能取极小值时才是稳定平衡。拉格朗日将托里拆利的这一思想推广到任意保守

6、体系，得到了关于体系平衡位置稳定性的拉格朗日定理如下：如果在某一位置保守体系的势能有严格的极小值，那么该位置为体系的稳定平衡位置。2，当s=i时，判据为：丝=o且粤0；dqdq当S=2时，判据为：2=空=0且（上一）2-0,乌。,再0。y二q2二qi二q2二qP2另外已证明的定理还有：如果力学体系的V取极大值，则体系处于不稳定平衡（逆定理还未证实）；如果V=C,则体系处于随遇平衡。四本节重点：掌握振动的分类特别是线性振动的概念，熟练掌握平衡位置的分类和平衡位置种类的判据。§ 6.2 个自由度保守体系的自由振动对于微振动的力学问题，用分析力学来讨论比较方便。设体系的自由度S=2,体系做

7、自飞,打、打十放一（二）T-十二-二0由微振动，广义坐标为Xi,X2。由拉格朗日方程可得：W2?；，接下来关史（）-T=0出：x2;x2二x2键就是设法将动能T、势能V表示成关于Xi,X2的函数，再将其代入上述方程中即可得到体系的线形运动微分方程。一：动能T、势能V的表达式.1 .动能T、势能V的一般表达式.2由§2.7的结论可知当体系受稳定约束时，T=T2=-XAjjXit,其中Ai,j=m。由2i,j二'FXifXj于体系在平衡位置附近的微振动均可看成是受稳定约束，所以有：1,-，2_2、T=2(A11Xi+2Ai2X1X2+A22发)(2.2)因势能V仅与X1,X2有关

8、，与X1,X2无关，因而可得V=V(X1,X2)。下面就是设法将动能T、势能V的一般表达式化简为所需的形式即可。2 .动能T、势能V表达式的化简.取平衡位置为广义坐标为出的零点，将V、T在平衡位置展开成泰勒级数可得：.2N.21；：2V(2.3)V(X1，X2)=V(°，0)J小Xi：("Xj()2:AAi,j(X1,X2)=Ai,j(0,0)“(_jbx.i4%(1)势能V:对于(2.3)式，令V(0,0)=0且因体系在平衡位置时有(°V1=0,略去(*)；X等X的高次项后可得：V(x,X2)=Z1(；V)0XjXj=；(44)0X2+(:2V)0为*2+(-r

9、V2)0X25苴2cxicXj2出1出1cx22cx2(2.5)122、二V(X1,X2)二一(屈X12b12X1X2b22X2)2二2/其中Dj=(£V)0=bjj=C,(2.5)式即为所求的势能V化简后的表达式。(2)动能T:对于(2.4)式，考虑到x,x应为同阶小量，而(2.2)式中T已为二次式,所以打.。*2)只要取零次式即可，即有A,j(x1x2)=AiJ(0,0)=aij,这样动能可表示为:(2.6)1,''1,，2_uc2、T(X1,X2)=1ZajXXj="(anX1+22X1X2+222X2)2i,j12其中即向2启22均为常数，(2.6)

10、式即为所求的动能T化简后的表达式:体系的运动微分方程及其解1 .运动微分方程：将(2.5)、(2.6)式代入(2.1)式化简后可得(2.(7)(2.(8)anXi812X2bnXi%乂2=0a21X1a22X2b21x1b22X2=02或者化简为“，(adbjXj)=0i=1,2j1该方程为二阶常系数常微分方程组，可用高等数学中关于微分方程组的相应理论求解。2 .方程的解.X1=-Asin(t；二：)2X2-Afsin(ty)(1)试探解及久期方程：对于(2.7)式在物理学中常用取试探解的方式求解，即令方程的试探解为广=A1smet"(2.9),两端对时间求导后可得x2=A2sin(

11、cot+a)_2_1_A/J一一2'c将以上两式代回(2.7)式得：a1')阳源-%2)=0(2.10)j%(b21-a22«2)+A2(b22a22)=02或写成”(Aj(bj-a。2)=0i=1,2(2.11)j1要使(2.10)有解，首先应使AvA2有实数解，这要求的系数所构成的行列式必须为零，h2.2(2.12)即如a2&2、=0=(b1-a1视2)(b22-a22。2)-(b12-七。2)2=ob21a22Wb22a22(2.12)式被称为久期方程或频率方程，它是关于82的一元二次方程。(2)久期方程的两个正根：可以证明久期方程必有两个正根，只有这样

12、求出的切为实数才有实际的物理意义证明：因V(0,0)=0,当MX不同时为零时，应有V(X1,X2)>V(0,0)=0。122由V(x1,x2)=-(匕的+2bl2x1x2+b22x2)>0,令X1=0=b22A0,同理可得b11A0,21ccc另外可将V表达式改与为V(X1,X2)=(b12X1+b22X2)+(b11b22-b12)X1,2b12要使上式恒大于零，必须有卜也2-显0(2.13)同理因T(x；,X2)A0可以证明3M>0,a22>0且31e22a；2>0(2.14)接着可做出f(co2)。2的函数图象，其中f(2)=(bii阚佚2)"?2

13、a2282)(624202)2,当切2=0时，f(0)=biib22b22>0；02T+=C时，f()=04(aii322a22)A0;当切2=曳时，MbxYbiz队3)。；当。2=些时，可3)=<02-a12b22)2<0。aiiaiiaiia22a22a22由以上讨论可知，函数f(co2)在CO2=0及+的之间有两次穿过横轴，也就是方程(2.i2)必然有两个正根。其实，从(2.i3)、(2.i4)出发，利用xi+x2=-b>0,xi，X2=£>0就可aa直接判定该方程有两个正根。(3)运动微分方程的特解和通解设方程的两个根分别为鬲意2,分别将他小；代

14、入(2.i0)式中的任一个可得：(i)2Alb22-a22iA22)aii12-biiI(2)AP=b22-a222=2(2.i5)即有A2D二町以，A2)=吗2)(。令为A(i),A分别为试探解(2.9)式中”的振幅,则运动微分方程的特解为："丁：，1t9及户设:叱©2)0x2=比么sin(s1t+cc)x2=鹿)Asin®2t+ct)根据线性微分方程的理论，方程的通解应是两组特解的线性组合，即有x=Gxc2xi(2)=ciA)(i)sin(t二二1)c2A2)sin(2t:二2)=x=人(15小('4，工1)A(2)sin(2t，2)同理可得x2=亭久

15、sin。4二0)+:；2久(2)sin(,.2t，)式中人人，%，%为常数，由初始条件xi(0),x2(0)及%(0)名(0)决定。(4)久期方程有两个相等正根时运动方程的解.久期方程(2.12)还可能有两相等的正根，例如当班=旦=星时，函数aiia22ai2f(02)=f(且)=Ybi2-ai2虬)2=0,f(m2)S2的函数曲线与横轴只有一个交点。方程aiian可切2)=0的解为切2=里=皖=奥，也就是方程(2.10)中AA的系数均为零，AA取41a2242任何他都可以。此时久期方程的两组特解为(2)X?=Asin(©2t+«2)°方程的通解仍是两组特解的线性

16、组合，即有x1=Asin(0t+豆1)x2=Aisin(8t+c(2)(2.18)x(1)=Asing1t+%),x21)=0;为(2)=0,四个常数a,A2,%,%由初始条件决定三.例题（从略）四.本节重点：2个自由度力学体系做微振动时的通解和特解§6.4简正坐标和简正振动我们知道一个力学体系的广义坐标的选取是任意的，如果广义坐标选取的合适，可以使微分方程的求解非常容易，具体可见下例。：双单摆的振动研究，一、，一,一一.1.1一一.在双单摆中如果取=61+力4,q2=4力%为厂义坐标，可得4=（q1+q2）/2,4=（。-q2）/*2。将其代入T、V的表达式（见178页）化简后可得

17、:1c1c1c1L/l(1+&)q1+”/q2,Vmgly将两式代入拉格朗日方程可得:ga/2q1+ilV2+1g2q2l.2-1q1=0q2=0,求解两方程可得:q1=Asin(e1t+a1)©2=A2sin(82t+口2)(4.5)%2=g（2-*5）其中1_,将（4.6）代回（4.2）式可得A-2A2-吒=：（2+$万）sin(1t；f)sin(2t)Asin(1t,，1)sin(2t工2)2这与上节直接选4包为广义坐标的所求结果完全一致，但求解的过程要简便的多:简正坐标1.定义：在处理线性振动时如果选取的广义坐标能使动能T、势能V同时表示成广义速度q和广义坐标q的平方

18、和形式，即1Z-2.-2.12、T=二(&1。+a22q2+.+annqn)2,则该坐标为广义坐标。、，1Z.2.,2.,2、V=2(bi1q1+b22q2+.+bwqn)将T、V的以上表达式代入拉格朗日方程可以很方便的得至上aiiqibnqi=0a22q2-b22q2=0q1=A1sin(必t+«1)在在刀4q2=A2sin(co2t+口2)其解为,1=bi1.a11''2=b22,a22annqn-bnnQn=。qnAnSin(-nt-：n)'''''n=bin：ann2.物理意义.一,一e人(0)=00在上例双单摆

19、中如果令°及削0)=0仇(0)=十万仇仇(0)=0，代回(4.7)式可得A=咨0,A=0,0tl=n/2,%任意，方程的通解为q1=200cos®1tq2=0其中；=g.l1二l-<2)ll=一一=1.7l、夕(0)=0、日(0)=2%的单摆的运动。2-.2,e/、，也(0)=同理，如果令初始条件为31(0)售(0)=0rI-"2(0)=一"2"0,代回(4.7)式可得A=0,A2=双,%(0)=0%任意，%=n/2,方程的通解为,§2q1-0,其等效于l2=210cos2tl.一一=0.3l、8(0)=0、2、2>(0)

20、=2%的单摆的运动。从上例可以看出，简正坐标的物理意义可总结如下：(1)当选择某个坐标为广义坐标使力学体系在振动过程中该坐标只以一个频率振动，其余频率为零或者说没有被激发出来，那么用来反映这种振动模式的坐标即为简正坐标，相应的振动模式为简正振动或本征振动。或者说如果选取的广义坐标可以使体系的振动只以某种与此坐标对应的频率振动，该坐标为简正坐标。(2)对于体系的任意振动状态，都可以看成是各种简正振动的线性叠加。(3)简正坐标的合适选取不仅有利于方程的求解，而且还可以反映体系振动的物理本性,因此在处理微振动时应尽量选取简正坐标三简正坐标的简单求法理论上可通过坐标的变换消去T、V的二次项，从而得到简正坐标；还有一种方法就是通过物理直觉直接判定出简正坐标，但是这两种方法都不好掌握。下面我们来介绍当体系的自由度S=2、3时，可以采用的一种简单容易掌握的方法。1 .自由度S=2.