初中数学相似三角形模型题型大全-值得收藏

1、初中数学相似三角形模型（题型）大全-值得收藏一、比的性质:特征：比的基本性质，合比性质，等比性质aca2bc2d例1：已知一一3,则bdbd例2:如果P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB,则下列各等式AB2=AP?PB,ap2=pb?ab,bp2=ap?pb,ap/ab=pb/ap中，正确的是（）例3:已知acLca_»k,则k的值为（bac二、平行A字型如图（1）DEBC,则ADEABC特征：ADEABC应用1:（求线段的长）ADAEDEABACBC10则AE的长为（）3如图（2）DE/BC,且DB=AE,若AB=5,AC=10,角度:DE/平行产生比例ABBCBDAC10

2、10ECAEEC10,AE例2.如图（3）ABC中，BC=a是AB边的五等分点;Ci,C2,C3,C4是AC边的五等分点，则B1clB2C2B3c3B4c4（2a）应用2：（证明比例线段）111例3.如图（4）,DE/BC/AF,求证：DEAFBC证明：分析：此题用了两个平行A字型在ABC中，DEBC,ADDE一一ABBC在ABF中，DE/AFDBDE小小/曰ADDB+得ABDEABAFDE1DE(1BC1BCAFDEBCAF应用3:（证明线段相等）例4.如图（5）,一直线与ABC的边AB,AC及BC的延长线分别交于F。求证：若王变，则D是AB的中点。ECCFD、E、证明：作ADCMCM/BA

3、与EF交于M,则ADEACMEAEAE+EC'ECBFCFADCMBFCM/BDCFBDBFCMCFADBD,，从而ADCMCMD是AB的中点。BD.例5.如图（6）已知如图，在4ABC中,/BCA=900BF,交AC于P,过P作PQ/BC,证明：rACEF为正方形CP/EFPCEFBPBF例6.如图（7）,此以直角边AC为一边向形外正方形ACEF,连接交AB于Q,求证：PC=PQBCPABEFBP又.,PQ/BC/FABFPQEFFAPCFAEF在ABC中,BPQABFAPQPCPQFA以边向外作矩形ACDE,BE于AC交于F,FG/CB交AB于G,如果CF=FG,证明：那么矩形CF

4、VCF/DEvDEvFG/AEFGAE：CFFGDEBFBEBFBEAEACDE具有什么特征?矩形ACDE是正方形例7：马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目，跷跷板支柱AB的高度为1.2米。（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板的PQ中点，狮子能否把公鸡送到吊环上？为什么？（2）若吊环的高度为3.6米，在不改变其他条件的情况下移动支点，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上?平行A字型的实际问题1。如图（1）测量小玻璃管口的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份。如果小管口DE正好对着量具上30份（DE平行AB）,那么小管口径DE的长是-5一毫米。5米的位置上

5、，则球拍击球的高度H应为2。如图2小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网2.7米.3、如图4已知BC是圆O的直径，线段MN/BC,A是MN上任意一点，AF与圆O相切于F,连结AB与圆O相交于Q,D是AB上一点，且AD=AF,DEAB与AC的延长线交于E。（1）求证：CD/BE（2）若MN与BC之间的距离为5,BC=4,求证：当点A变动时，ADE的面积是个定值(3)若AF:AE=1:2,AC:BC=J2:J3,求BCA的度数(1)证明：AF2=AQAB,AD=AF,AD2=AQABADAQAB-AD又因为QC/EFAQACAD-AEADACAB-AECD/BE（2）证明：SBCD=SD

6、ECBCDDEC所以ADE的面积是一个定值。SABC=S14ADE25=20(3)AC=限,QC="K,BC=3K,COSQCB='K=石/2所以3KBCQ=450,所以bca=750三、平行X字型如图（1）DE/BC,则AEDsMCB特征：ADEAACBAEADDEACABBC应用1:（证明比例线段）例1.已知，如图（2）一直线与四边形ABCD的AB、CD边交于E、H,与AC交于G,与AD、CB的延长线交于P、F,求证：GP-GH=EG-FG证明：（分析：此题应用两次X字型）/PA/CF,HC/AEPGGFPGAGAGGEGC,GCGHEGFGGHPGCHEGFG例2.如图

7、（3）GQ与。2外切于点P,外公切线AB切0Oi于点A,切0O2于点B,0Oi与。O2的一,AP2半径分别为r和R,求证：二BP2证明：RtABC构成三直角模型BP2AP-PCAP2BP2AP2APAPPCPCO2ABCBA900O2A/BC在力AO2P和小PCO2中,APPCAO2CO2AP2BP2例3、如图（4）DE是.ABC的中位线;F是DE的中点，BF的延长线交AH:HE等于（B）C1DG/AC3:2BHBDDGDFDG1BAAH例4、如图（求证：5）,已知点EH1EHAHM是矩形DGEHME*BF=BE*MF21ABCD点G,的边CD的中点，连BM与AC交于巳与AD的延长线交于F,i

8、口MFDMMC证明：YAF/BCMCMC/ABABFBMEBE例5、如图（6）,D是AC上一点,证明：方法一如图6DCABMFMEME*BFBE*MFFBBEF是CB延长线上一点，且AD=FB，连DF与AB交于E,求证：BC*EF=AC*DE。过D点作DM'，*DM/CB,/CB与AB交于MDMBCDMDE又BCACDEEFBC*EFADACAD=BF,AC*DE方法二如图6,过F点作FN/ACBFEFN(6)交AB的延长线于N,YFN/ACBFBCADFNACFNDE,vADBF,EFBCACDEEFBC*EFAC*DE例6、如图:在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于

9、O,则Saaob等于(已知如图(7),ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的。O相交与P,C两点，连结AC,AP,CP,并延长(1)求证：AEP-ACEA(2)求BH:HC分析：此题应用了双割线模型(1) 证明：由124AEPACEA(2) 解：丫OF/ABAOHF-ABHACP,AP分别交AB,BC,。于E,H,F三点，连结OFOHOFBHAB.AB=BC=2OFOH1BH2设OH=k,HB=2k,贝UOC=OB=OH+HB=3kA四、HC=4kBH:HC=2k:4k=1:2直角模型图（1）直角ABC直角ACDs直角BCDACBC,CDAB,则有AC2AD*AB;A

10、C*BCCD*AB（射影定理）BC2BD*AB;CD2AD*DB;例1、如图(2)在ABC中ACB=90：,CDAB于D,求证ce*ac=ad*bd证明：在RtAACD中，CD2=CE*AC,在ce*ac=ad*bdRtAACB中，cd2=ad*bd例2、如图（2）,在ABC,C=90：,CDAB于D,DEAC于E,垂足分别为D,E三直角模型求证：AC-BC2AECE证明：在RtABC中，AC2=AD*ABAC2bc2=bd*ab,2BC2ADBD又ED|BCAD_AEBDCEACAD2=AC*AF3、OA2=OD*OP(D)D、4个ABCA_2_ACAEBC2"CE例3、如图(3)

11、在ABC中，ADBC于D,DEAB于E,DFAC于F,求证：AB*AE=AC*AF证明：ADBC,DEABABD-ADEAD2=AB*AE又ADBC,DFACDAADF因止匕AB*AE=AC*AF例4、如图(4),BC是半圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A,ADBC于点D,求证；PD*PO=PC*PB证明：；PA为切线，PA2=pc*PB,在RtAAOP中，PA2=PD*POPD*PO=PC*PB例5、如图(5),点P是。O的直径BA延长线上一点,PC于。O相切于点C,CDAB,垂足为D,连接AC,BC,DC,那么下列结论中：1、PC2=PA*PB2、PC*OC=OP*

12、CD4、OA(CP-CD)=AP*CD正确的结论有A、1个B、2个C、3个分析：3、OC2=OA2=OD*OP4、OA(CP-CD)=PC*OA=OP*CD,OP=OA+APPC*OA=(OA+AP)*CD例6、如图(6),在RtABC中,CD是斜边上的高，DEBC于E,则图中与4相似的三角形(不包才ABC)共有(B)A、5个B、4个C、3个D、2个分析：ABC4ACD4CDE4CDB4DEB例7、如图3已知AB是圆O的直径，圆O过AC的中点D,DEBC,E,求证(1)DE是圆O的切线(2)CD2=CDCBOD/BC所以/CED=(1)连结OD，jD是AC的中点，O是AB的中点,/ODE=90

13、°,DE是圆O的切线。(2)连结DB,RtCDBCD2=CECB。例8。已知：如图5ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，连结DE并延长交BC的延长线于点F,连ZDC,BE,若BDE+BCE=18°°(1)写出图中三对相似三角形(注意：不得加字母和线)(2)请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由。(1) ADEACB,AEBADC,CEFDBF,FEBFCD(2) BDE+BCE=18°°,BDE+1=8°°，1=ACB=»ADE相似ACB例9。如图6以ABC的边AB为直径作圆O交BC与D,过D作

14、圆O的切线交AC与E,要使得DE垂直AC,则ABC的边必须满足的条件是-AB=AC连ZAD-例10。如图7,圆0与圆02相交于D,E两点，A是圆02上一点，AE的延长线和AD的延长线分别交圆02于B,C,DE=2,AC=12,BC=6,则AB二3AD五、格点模型例1.如图（1）在正方形网格上有五个三角形，其中与三角形ABC相似（不包括ABC本身）的三角形有（A）A1个B2个C3个D4个例二在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，在如图（2）5*5的方格纸中，作格点ABC与4OAB相似（相似比不能为1）,则C点坐标是（4,4）或(5,2)例2如图（3）由边长为1

15、的25个小正方形组成的正方形网格上有一个ABC,在网格上画一个与ABC相似且面积最大的AB1C1使它的三个顶点都落在小正方形的顶点，则A1B1C1的最大面积（5）（1）YAABC中，AB=夜，AC=寸而,BC=2,且S&ABC1,依题意A1B1C1中最长边AC1的长度不大于572,图（1）图（2）5短,AABCsABiC,则AB=J2,BC=2眄,这时两三角形的相似比为1：卮面积比图（3）例4、如图（4）,在大小为4*4的正方形方格中，画一个AB1G，使A1B1clsABC（相似比不为ABC的顶点A,B,C在单位正方形的顶点上，请在图中1）,且点Ai,Bi,Ci都在单位正方形的顶点上分

16、析：由图可知ABC中BC=2,AB=姓ABC135,以135角为突破口，所以要画出与之相似的三角形，必使AB1C1135,jAlBl幽也,单位为1的正方形对角线为旄,所以一格为一边，一对角线BGBC2为一边画出AB1C1图（1）所示另外还有两种方法如图（2）,图（3）所示例5在方格纸中每个小格的顶点叫做格点。以格点连线为边的三角形叫做格点三角形。请你在的10*10的方格纸中画两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明。要求：所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母。分析：（1）正确画出两个相似但不全等的钝角格点三角形（如图所示）（提示：先画出一个钝角三角形，分别作各边平行线，或利用三条对应变成比例

17、画出另一个与之相似的三角形）证明：设AB=1贝UBC=J2,AB12,C12衣，AB1BCA1B12B1cl从图中可知BB,135ABCsAB1C1(1)求出每个格点三角形的边长(2)证出三对对应边成比例(3)结论：此题答案不唯一.例6已知图(1)和图(2)中的每个小正方形的边长都是1个单位。1,图(1)中的格点ABC先向右平移3个单位再向上平移2个单位得到AB1C1请你在图中(1)画出在A1B1cl2,在图(2)中画出一个与格点DEF相似但相似比不等于1的格点三角形。分析：(1)考生沿着网格线不难完成作图(2)需要把DEF放大，DEF的三边长度之比是1:75:272而格点间线段的最大长度为6

18、72,所以可以把DEF放大&倍，2倍,2&倍,3倍均可，所以本题答案不唯一。图(1)DE图(2)六、利用方程探究相似三角形问题例1、如图1,梯形ABCD中，利用方程探究A90,AD8,CD2,ABm(m0)(1) 当BPC90时，求证：ABP-ADPC(2) 当m为何值时，能使BPC90的点P分别有两个，一个，或不存在？(3) 是否存在合适的m的值和P点的位置，使得ABP,APDC,PBC者防目似？如果不存在，说明理由；如果存在，求出解：(1)13,AD90：,AABP-ADPC(2)假设存在合适的m值，使得ABP-ADPC,则-PA空设PA=x,DCPD则乙m,即x28x2m

19、0户648m8(8m)28x当m<8时，>0,方程有两个不相等的实数根，相应P点有两个。当m=8时，=0,方程有两个相等的实数根，相应P点有一个。当m>8时，<0,方程没有实数根，相应的P点不存在。(3)假设存在符合条件的m值和合适位置的P点(图2)由ABP,PDC,4PBC者防目似，所以ADBPC90：m的值和P点的位置。APB与4PDC必定相似，只需考虑APB与4PBC假设4APB4PBC12取BC中点Q,连结PQ,可证得PQ/AB/DCP为AD中点，PAAB4m.一.,-,m8.因此，当m=8,且P为AD中点时,DCPB24ABP,PDC,PBC都相似例2、如图（3）,已知梯形ABCD中，AD/BC,A90,AB=7,AD=3,BC=2,试在腰AB上确定点P的位置，使得以P,A,D为定点的三角形与以P,B,C解:x3假设APD'BCP2yxyy=1例3,P点放在PA=6的位置。如图4,矩形ABCD,AD=a,DC=b,在AB上找一点E,使E点与C,三角形相似，设AE=x，问这样的E点是否存在?点有几个？请说明理由。的连线将矩形分成的三个若存在，这样的ADE!似BEC?目似0D