初中几何模型费马点最值模型

1、几何模型：费马点最值模型费马尔问题思考：如何找一点P使它到ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PCM小?BPAPCP=BPPQQEBE当B、P、Q、E四点共线时取得最小值费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：1 .如果三角形有一个内角大于或等于120。，这个内角的顶点就是费马点；2 .如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。费马点的性质：费马点有如下主要性质：1 .费马点到三角形三个顶点距离之和最小。2 .费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。费马点最小值快速求解：费尔

2、马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换.秘诀：以ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值典题探究启迪思维探究重点例题1.已知：4ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。/AGC=/AGB=/BGC=120.求证：GA+GB+GC的值最小.证明：将ABGC逆时针旋转60°,连GP,DB.则ACGBACPD;/CPD=/CGB=120,CG=CP,GB=PD,BC=DC,/GCB=/PCD./GCP=60,/BCD=60,GCP和BCD都是等边三角形。/AGC=120,/CGP=60.A、G、P三点一线。/CPD=1

3、20,/CPG=60.G、P、D三点一线。AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点变式练习>>>1 .如图，P是边长为1的等边ABC内的任意一点，求解：将BPC绕点B顺时针旋转60。得到BP'C',易知BPP'为等边三角形.从而PAPBPCPAPP'P'C'AC'（两点之间线段最短），从而t.'3.过P作BC的平行线分别交AB、AC于点M、N,易知MNANAM.因为在BMP和PNC中，PBMPBM，PCPNNC。又APMA

4、NMAMN，所以PAAM.+可得tAMBMMPNPNCABMNNCtPAPBPC的取值范围1ANNC2,即t2.综上，tPAPBPC的取值范围为J3t2.例题2.已知正方形ABCD内一动点E至ijA、B、C三点的距离之和的最小值为贬J6,求正方形的边长.解如图2,连接AC,把4AEC绕点C顺时针旋转60°,得到AGFC,连接EF、BG、AG,可知EFC、4AGC都是等边三角形，则EF=CE.又FG=AE,AE+BE+CE=BE+EF+FG.,点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）.线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上.

5、设正方形的边长为a,那么BO=CO=a,GC=>/2a,GO=a.BG=BO+GO=二a+2,6a.2点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为J2J6.J6,解得a=2.注本题旋转AEB、BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试.变式练习>>>2 .若P为锐角4ABC的费马点，且/ABC=60°,PA=3,PC=4,求PB的值.【解答螭：(1)尸/H+/尸耳二180。一/后=60。,ZPB-ZABC-60"f3/P/1招=占t又,/尸8=/»取=120口，而一正.PS2=PPC-2,例题3.如图，矩形ABCD是一个长为1000米，

6、宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站台H,设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为1,求l的最小值.【解答】600500石，线段AiE为最短.变式练习>>>3 .如图，某货运场为一个矩形场地ABCD,其中AB=500米，AD=800米，顶点A,D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P,在BC边上（含B,C两点）开一个货物入口M,并修建三条专用车道PA,PD,PM.若修建每米专用车道的费用为10000元，当M,P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）40CU/3连接AM,DM,将4AD

7、P绕点A逆时针旋转60°,得APD',由（2）知，当M,P,P',D在同一条直线上时，AP+PM+DP最小，最小值为D'N, M在BC上， 当DMLBC时，D'M取最小值，设D'M交AD于E,.ADD是等边三角形，EM=AB=500,400/3BM=400,PM=EM-PE=500皿，3 .de="ad=400V3,2DM=400/3+500,，最少费用为10000X(400+500)=1000000(4仃+5)元;M建在BC中点（BM=400米）处，点P在过M且垂直于BC的直线上，且在M上方（500米处，最少费用为1000000（4

8、>/3+5）元.领悟提升强化落实达标检测1.如图，已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为.F【分析】依然构造60。旋转，将三条折线段转化为一条直线段.分别以AD、AM为边构造等边ADF、等边AMG,连接FG,易证AMDAGF,，MD=GFME+MA+MD=ME+EG+GF过F作FH，BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值4343.2.如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2,则AP+BP+CP的最小值为（【解答】解：如图将4ABP绕点A顺时针旋转60°得至iJAEF,当E、F、P、C共线

9、时，PA+PB+PC最小.理由：AP=AF,ZPAF=60°,.PAF是等边三角形,PA=PF=AF,EF=PB,PA+PB+PC=EF+PF+PC,当E、F、P、C共线日PA+PB+PC最小，作EM，DA交DA的延长线于M,ME的延长线交CB的延长线于N,则四边形ABNM是矩形，在RT4AME中，./M=90°,ZMAE=30°,AE=2,ME=1,AM=BN=VS,MN=AB=2,EN=1,EC=4eM+NCJ也卜他42)7时函=(证】2.而近+(&)2&)2=V&+V2.PA+PB+PC的最小值为V6+V2,故选：B.3.如图，四边形

10、ABCD是菱形，AB=4,且/ABC=/ABE=60°,M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM,则AM+BM+CM的最小值为4j_.【解答】解：如图，连接MN,ABE是等边三角形，.BA=BE,ZABE=60°. ./MBN=60°, /MBN-/ABN=/ABE-/ABN.即/MBA=/NBE.又,.MB=NB,AMBAENB(SAS),AM=EN, ./MBN=60°,MB=NB, .BMN是等边三角形.BM=MN.AM+BM+CM=EN+MN+CM.根据两点之间线段最短"，得EN+MN