积分的运算技巧学习教案

1、会计学1积分积分(jfn)的运算技巧的运算技巧第一页，共52页。 一、不定积分(b dn j fn)的概念 二、基本积分(jfn)公式 三、不定积分(b dn j fn)的性质第1页/共52页第二页，共52页。 1原函数的概念(ginin)例例 因为因为1(ln )xx ，故，故lnx是是 1x的一个原函数；的一个原函数； 因因为为2()2xx，所所以以 2x是是2x的的一一个个原原函函数数，但但 222(1)(2)(3)xxx2x，所所以以 2x的的原原函函 数数不不是是惟惟一一的的 原 函 数 说 明(shumng)：第一， 原函数的存在问题： 如果第一， 原函数的存在问题： 如果( )f

2、 x在某区间连续，在某区间连续，那么它的原函数一定存在那么它的原函数一定存在( (将在下章加以说明将在下章加以说明) ) 定义定义 1 1 设设( )f x是定义在某区间的已知函数， 若存是定义在某区间的已知函数， 若存在函数在函数( )F x，使得，使得 ( )( )F xf x或或d ( )( )dF xf xx, 则称则称( )F x为为( )f x的一个原函数的一个原函数 第2页/共52页第三页，共52页。第第二二，原原函函数数的的一一般般表表达达式式：前前面面已已指指出出，若若( )f x 存存在在原原函函数数，就就不不是是惟惟一一的的，那那么么，这这些些原原函函数数之之间间有有 什

3、什么么差差异异？能能否否写写成成统统一一的的表表达达式式呢呢？对对此此，有有如如下下结结 论论： 定理定理 若若( )F x是是( )f x的一个原函数，则的一个原函数，则( )F xC是是 ( )f x的全部原函数，其中的全部原函数，其中 C为任意常数为任意常数 证证 由于由于( )( )F xf x， 又， 又 ( )( )( )F xCF xf x，所以函数族所以函数族( )F xC中的每一个都是中的每一个都是( )f x的原函数的原函数 另一方面另一方面, ,设设( )G x是是( )f x的任一个原函数，的任一个原函数， 即即( )( )G xf x，则可证，则可证( )F x与与(

4、 )G x之间只相差一个常数之间只相差一个常数. . 第3页/共52页第四页，共52页。这这样样就就证证明明了了( )f x的的全全体体原原函函数数刚刚好好组组成成函函数数族族 ( )F xC 所以所以( )( )F xG xC，或者，或者( )( )G xF xC，这就是说，这就是说 ( )f x的任一个原函数的任一个原函数( )G x均可表示成均可表示成( )F xC的形式的形式 事实上事实上, ,因为因为 ( )( )( )( )( )( )0F xG xF xG xf xf x， 第4页/共52页第五页，共52页。 2. 不定积分(b dn j fn)的概念定义定义 2 2 函数函数(

5、 )f x的全体原函数的全体原函数( )F xC叫做叫做( )f x的不的不定积分，定积分，记为定积分，定积分，记为 ( )d( )f xxF xC，其其中中( )( )F xf x, , 上式中的上式中的x叫做积分变量，叫做积分变量，( )f x叫做被积函数，叫做被积函数，( )df xx叫叫做被积表达式，做被积表达式，C叫做积分常数， “叫做积分常数， “”叫做积分号”叫做积分号 例 1 求下列(xili)不定积分：（1 1）2dxx； （2 2）sin dx x；（3 3）1dxx 解解 （1 1）因为）因为2331xx，所以，所以Cxxx3231d. . （2 2）因为）因为xxsin

6、)cos(，所以，所以Cxxxcosdsin. . （3 3）因为）因为0 x时，时，xx1)(ln，又，又0 x时，时， xxx11 )ln(，所以，所以Cxxx|lnd1. . 第5页/共52页第六页，共52页。例例 2 2 设曲线过点（设曲线过点（1 1，2 2）且斜率为）且斜率为x2，求曲线方程，求曲线方程 解解 设所求曲线方程为设所求曲线方程为)(xyy 按按xxy2dd，故，故Cxxxy2d2 又因为曲线过点 （又因为曲线过点 （1 1， 2 2） ， 故代入上式） ， 故代入上式C12， 得， 得 1C，于是所求方程为于是所求方程为12 xy. . 例例 3 3 设某物体运动速度

7、为设某物体运动速度为23tv， 且当， 且当 0t时，时，2s，求运动规律求运动规律)(tss 解解 按题意有按题意有23)(tts，即，即Ctttts32d3)(，再将，再将 条件条件0t时时2s代入得代入得 2C，故所求运动规律为，故所求运动规律为23 ts 积分(jfn)运算与微分运算之间的互逆关系：（1 1）)(d)(xfxxf或或；xxfxxfd)(d)(d (2)(2)CxFxxF)(d)(或或CxFxF)()(d 第6页/共52页第七页，共52页。 由于求不定积分(b dn j fn)是求导数的逆运算，所以由导数公 式可以(ky)相应地得出下列积分公式： (1)(1)Ckxxkd

8、( (k为常数为常数) )， (2)(2)Cxxx111d（1） ， (3)(3)Cxxxlnd1， (4)(4)e dexxxC， (5)(5)Caaxaxxlnd ， (6)(6)Cxxxsindcos， (7)(7)Cxxxcosdsin， 第7页/共52页第八页，共52页。(8)(8)Cxxxxxtandsecdcos122， (9)(9)Cxxxxxcotdcscdsin122， (10)(10)Cxxxxsecdtansec， (11)(11)Cxxxxcscdcotcsc， (12)(12)Cxxxarctand112， （1313）Cxxxarcsind112. . 第8页/共

9、52页第九页，共52页。 性质1 被积函数中不为零的常数因子可提到(t do)积分 号外，即 xxfkxxkfd)(d)( （0k）. . 性质2 两个(lin )函数代数和的积分，等于各函数积分 的代数和，即 xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. . 例 4 求下列(xili)不定积分：（1 1）；xxd12 (2)(2)xxxd； (3)(3)gxx2d 解解 （）（）CxCxxxxx112dd11222. . （）（）Cxxxxxx252352dd. . 第9页/共52页第十页，共52页。 （）（） xxggxxd212d ggxCxg2121121121 C 例 5 求下列(

10、xili)不定积分:（）（）xxxxd11； （）（）xxxd1122 解解（1 1）xxxxxxxxxd11d11 xxxxxxxxd1d1dd.2215221225Cxxxx第10页/共52页第十一页，共52页。（）（）xxxxxxxxd121d121d1122222 .arctan21d2d2Cxxxxx 例 6 求下列(xili)不定积分：(1)(1)xxdtan2； (2) (2)xxd2sin2 解解 (1) (1) xxdtan2xxd) 1(sec2 = =.tanddsec2Cxxxxx 21 cossindd2211sin.22xxxxxxC (2)第11页/共52页第十二

11、页，共52页。例例 7 7 设设,cossin22xxf求求 xf 解解 由于由于xxxf222sin1cossin， 所以所以 xxf1, ,故知故知)(xf是是x1的原函数的原函数 ， Cxxxxxf2d)1 ()(2. 得第12页/共52页第十三页，共52页。 思考题1 1在不定积分的性质在不定积分的性质 xxfkxxkfd)(d中中，为为何何要求要求0k？ 2思考下列(xili)问题：(1) (1) 若若 ,sin2dCxxxfx则则xf为何？为何？ (2) (2) 若若)( xf的一个原函数为的一个原函数为,cos x则则 xxfd 为何？为何？ 第13页/共52页第十四页，共52页

12、。 一、换元积分法 二、分部(fn b)积分法 三、简单(jindn)有理数的积分 第14页/共52页第十五页，共52页。 1第一(dy)换元积分法(凑微分法) 直接(zhji)验证得知,计算方法正确 例例 1 1 求求xxde3. . 解解 被积函数被积函数x3e是复合函数，不能直接套用公式是复合函数，不能直接套用公式 ，我们可以把原积分(jfn)作下列变形后计算：Cxxxedexuxxxx3)d(3e31de33令Cuuue31de31回代31Cx3e. . 例例 2 2 求求xxxde22 解解 注意到被积式中含有注意到被积式中含有 2ex项项, ,而余下的部分恰有而余下的部分恰有 微微

13、分分关关系系：22 dd()x xx于于是是类类似似于于例例 1,可可作作如如下下变变 换和计算： 第15页/共52页第十六页，共52页。.eede)(dede222222CCuxuxxxxuuxx回代令上述解法的特点是引入新变量上述解法的特点是引入新变量)(xu, ,从而把原从而把原积分化为关于积分化为关于u的一个简单的积分，的一个简单的积分，再套用基本积分公再套用基本积分公式求解式求解, ,现在的问题是，在公式现在的问题是，在公式 Cxxxede中，将中，将 x换成了换成了)(xu, ,对应得到的公式对应得到的公式Cuuuede是否是否 还成立?回答是肯定的,我们(w men)有下述定理：

14、 定理定理 如果如果CxFxxf)(d)(，则，则 .)(d)(CuFuuf其中其中)(xu是是x的任一个可微函数的任一个可微函数 证证 由 于由 于CxFxxf)(d)(, , 所 以所 以xxfxFd)()(d根据微分根据微分形式不变性形式不变性, ,则有：则有： uufuFd)()(d其中其中)(xu是是x的可微函数，由此得的可微函数，由此得 第16页/共52页第十七页，共52页。 .)()(dd)(CuFuFuuf 这个定理非常重要， 它表明： 在基本积分公式中，这个定理非常重要， 它表明： 在基本积分公式中， 自变量自变量x换成任一可微函数换成任一可微函数)(xu后公式仍成立后公式仍

15、成立 这就大大扩充了基本积分公式的使用范围应用这一这就大大扩充了基本积分公式的使用范围应用这一结论，结论，上述例题引用的方法上述例题引用的方法, , 可一般(ybn)化为下列计算程 序： )()(d)(d)()(xuxxfxxxf令凑微分 .)()(d)(CxFCuFuuf回代 这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫第换一元积分法，也称凑微分法第换一元积分法，也称凑微分法 第17页/共52页第十八页，共52页。例例 3 3 求求xxxdsincos2. . 解解 设设,cos xu 得得xxudsind, , .cos3131ddsincos332

16、2CxCuuuxxx方法较熟悉后方法较熟悉后, ,可略去中间的换元步骤可略去中间的换元步骤, ,直接凑微直接凑微分成积分公式的形式分成积分公式的形式 例例 4 4 求求xxx2ln1d 解解 222d1d1d ln1ln1ln1lnarcsin ln.xxxxxxxxxC 例例 5 5 求求xxxdsin 解解 Cxxxxxxcos2dsin2dsin 第18页/共52页第十九页，共52页。凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把哪一部分凑成哪一部分凑成)(dx, ,这需要解题经验这需要解题经验, ,如果记熟下列一如果记熟下列一些微分式些微分式, ,

17、解题中则会给我们以启示解题中则会给我们以启示 ，)(d1dbaxax ，)(d21d2xxx ，)(d2dxxx ，)e (ddexxx ，|)|(lndd1xxx ，)(cosddsinxxx ，)(sinddcosxxx ，)(tanddsec2xxx ，)(cotddcsc2xxx ，)(arcsind1d2xxx )(arctand1d2xxx 下面的例子,将继续展示(zhnsh)凑微分法的解题技巧第19页/共52页第二十页，共52页。 例 6 求下列(xili)积分： (1)(1)；)0(d22axax (2) (2)；22dxax (3) (3)；xxdtan (4)(4)；xxd

18、cot (5) (5)；xxdsec (6) (6).dcscxx axaxxaxaxaxd11d11d2222 解 （1）= =.arcsinCax 类似得类似得(2)(2) .arctan1d22Caxaxax 第20页/共52页第二十一页，共52页。(3)(3).|cos|lncos)(cosddcossindtanCxxxxxxxx 类似得类似得(4) (4) .|sin|lndcotCxxx (5) (5) xxxxxxxxxxxxxxdsectantansecsecdsectan)tan(secsecdsec2 .|tansec|ln)sec(tand)sec(tan1Cxxxxx

19、x类似得类似得(6)(6)Cxxxx|cotcsc|lndcsc 本题(bnt)六个积分今后经常用到，可以作为公式使用 第21页/共52页第二十二页，共52页。 例 7 求下列(xili)积分：(1)(1)；xaxd122 (2) (2)；xxxd432(3)(3)1d1exx； (4)(4)；xxdsin2 (5)(5)；xxdcos11(6)(6)xxxd3cos5sin 解 本题积分(jfn)前，需先用代数运算或三角变换对被 积函数做适当变形 xaxaxaxaxd1121d1122dd21axaxaxaxaCaxaxalnln21.ln21Caxaxa第22页/共52页第二十三页，共52

20、页。（）xxxxxxxxd44d3d43222 224d4212arcsin3xxx.42arcsin32Cxx（）（）xxxxxxxxxde1e1de1ee1de11 xxxe1de11d.e1lnCxx第23页/共52页第二十四页，共52页。（）（）xxxxxxxd2cos21d21d22cos1dsin2 xxx2d2cos4121.2sin4121Cxx（）（）2d2cos12cos2ddcos1122xxxxxx .2tanCx第24页/共52页第二十五页，共52页。（）（）xxxxxxd2sin8sin21d3cos5sin （积化和差）（积化和差） xxxx2d2sin218d8

21、sin8121.2cos418cos161Cxx第25页/共52页第二十六页，共52页。例例 8 8 计算积分计算积分2dxxx 解一解一 222121d22141ddxxxxxxx .12arcsin12112d2Cxxx解二解二 因为因为,d2dxxx所以所以 .arcsin2)(1d21dd22Cxxxxxxxxx 本题(bnt)说明，选用不同的积分方法，可能得出不同形式 的积分结果第26页/共52页第二十七页，共52页。 第二(d r)换元积分法第一换元积分方法是选择新的积分变量第一换元积分方法是选择新的积分变量 ,xu但但对有些被积函数则需要作相反方式的换元，即令对有些被积函数则需要

22、作相反方式的换元，即令 ,tx把把 t作为新积分变量，才能积出结果，即作为新积分变量，才能积出结果，即 dxtfxx换元 11d.txftttF tCFxC积分回代这种方法叫第二换元法这种方法叫第二换元法 使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数 ,tx 对于对于 ,tx要求其单调可导，要求其单调可导， , 0 t且其反函数且其反函数 xt1存在存在下面通过一些例子来说明下面通过一些例子来说明 第27页/共52页第二十八页，共52页。 例例 求求xxxd1. . 解解 为了消去根式，可令为了消去根式，可令,02ttx则则.d2dttx 于是于是 tttttt

23、txxxd12d21d12ttttttd1112d11122222ln 1tttC22ln 1.txxxxC回 代第28页/共52页第二十九页，共52页。例例 求xxxd1313 解解 令令,133tx即即, 1313tx则则ttxdd2代入后，得代入后，得 34521111d2d315331xxtttttCx .2135132Cxx由以上二例可以看出由以上二例可以看出：被积函数中含有被开方因式被积函数中含有被开方因式 为一次式的根式为一次式的根式nbax时时, ,令令tbaxn可以消去根号，可以消去根号， 从而求得积分从而求得积分下面重点讨论被积函数含有被开方因式下面重点讨论被积函数含有被开

24、方因式 为二次式的根式的情况为二次式的根式的情况 第29页/共52页第三十页，共52页。例例 求求.d22xxa 解解 作三角变换，令作三角变换，令sin,22xatt 那么那么 ,dcosdcos22ttaxtaxa且于是于是 ttattaxxad22cos1dcosd22222 22sin2.24aattC为把为把t t回代成回代成 x 的函数，可根据的函数，可根据axt sin, , 作辅助直角三角形（如右图） ，作辅助直角三角形（如右图） ， 得得 axat22cos 所以所以 Cxaxaxaxxa2222221arcsin2d. . x a a 2 x 2 - 第30页/共52页第三

25、十一页，共52页。 例例 求求0d2322axax. . 解解 令令2tandsec d22xattxat t ，则 所以所以 Ctattattataxaxsin1dcos1dsecsecd233322322 由由右图所示的直角三角形，得右图所示的直角三角形，得 ,sin22xaxt故故 .d2222322Cxaaxxax x a a 2 x 2 + t 第31页/共52页第三十二页，共52页。 一般地说，当被积函数(hnsh)含有(1)(1)22xa ，可作代换，可作代换taxsin； (2)(2)22xa ，可作代换，可作代换taxtan； (3)(3)22ax ，可作代换，可作代换tax

26、sec 通常称以上代换为三角代换，它是第二换元法的重通常称以上代换为三角代换，它是第二换元法的重 要组成部分，但在具体解题时要组成部分，但在具体解题时, ,还要具体分析还要具体分析, ,例如，例如， xaxxd22 就不必用三角代换，而用凑微分法更为方就不必用三角代换，而用凑微分法更为方 便便 第32页/共52页第三十三页，共52页。设函数设函数)(xuu , ,)(xvv 具有连续导数，根据乘积微分具有连续导数，根据乘积微分 公式有公式有 ,ddduvvuuv移项得移项得 ,d)(dduvuvvu 两边积分得两边积分得 ,dduvuvvu 该公式称为分部积分公式，它可以将求该公式称为分部积分

27、公式，它可以将求vud的积分问题转化的积分问题转化为求为求uvd 的积分，当后面这个积分较容易求时，分的积分，当后面这个积分较容易求时，分部部积分积分公式就起到了化难为易的作用公式就起到了化难为易的作用 第33页/共52页第三十四页，共52页。例例 1313 求求.dcosxxx 解解 设设),(sinddcosd,xxxvxu 于是于是,sin,ddxvxu代入公式有代入公式有 xxxdcos= =xxsind= = xxxxdsinsin .cossinCxxx注注：本题若设：本题若设,dd,cosxxvxu则有则有xxudsind及及 221xv ，代入公式后，得到，代入公式后，得到 x

28、xxdcos= =221xxcos 21xxxdsin2, , 新得到积分新得到积分xxxdsin2反而比原积分更难，说明这样设反而比原积分更难，说明这样设vu d,是不合适的，由此可见，运用好分是不合适的，由此可见，运用好分部部积分关键是恰积分关键是恰vu d,当地选择好当地选择好u和和vd，一般要考虑如下两点：，一般要考虑如下两点： （1 1） v要容易求得（可用凑微分法求出） ；要容易求得（可用凑微分法求出） ； （2 2） uvd要比要比vud容易积出容易积出 第34页/共52页第三十五页，共52页。例例 1414 求求xxxdln. . 解解 xxxdln= =2dln2xx= =x

29、xxxlnd2ln2122 .41ln2d21ln2222Cxxxxxxx当熟悉分部积分法后，当熟悉分部积分法后，vu d,及及uv d,可心算完成，不可心算完成，不 必具体写出必具体写出 例例 1515 求求xxxde2. . 解解 xxxde2= = 222deeedxxxxxx 22e2e de2d exxxxxxxxxCxxxxxxxxxxxe2e2edee2e22.e222Cxxx第35页/共52页第三十六页，共52页。例例 1616 求求xxxdsine. . 解解 xxxxxxxxxxdcosesineedsindsine 将再次出现的将再次出现的xxxdsine移至左端，合并后

30、除以移至左端，合并后除以 2 2 得得 所求积分为所求积分为 .cossine21dsineCxxxxxx .dsinecosesineedcossinexxxxxxxxxxx第36页/共52页第三十七页，共52页。小结小结：下述几种类型积分，均可用分：下述几种类型积分，均可用分部部积分公式求解，积分公式求解， 且且vu d,的设法有规律可循的设法有规律可循 (1) (1) xxaxnde，xaxxndsin，xaxxndcos，可设，可设nxu ； ( (2) 2) xxxndln，xxxndarcsin，xxxndarctan， 可设可设xuln，xarcsin，xarctan； (3)

31、(3) xbxaxdsine，xbxaxdcose，可设，可设bxusin，bxcos. . 说明说明： （： （1 1）常数也视为幂函数）常数也视为幂函数 （2 2）上述情况）上述情况 nx换成多项式时仍成立换成多项式时仍成立 第37页/共52页第三十八页，共52页。例例 1717 求求xxdarctan. . 解解 先换元，令先换元，令2tx 0t, ,则则ttxd2d 原式原式 = = 2darctand2arctanttttt = =tt arctan2- -ttarctand2 tt arctan2- -tttd122 = =tt arctan2- -ttd1112 = =tt ar

32、ctan2Cttarctan C xxx-arctan) 1(. . 第38页/共52页第三十九页，共52页。例例 1818 求求xxxd1arcsin32. . 解解 换元，令换元，令txsin，则，则ttxdcosd 及及xtarcsin 原式原式32dcos dd tancoscosttt tttttt Ctttttttcoslntandtantan Cxxxx221ln1arcsin. . 第39页/共52页第四十页，共52页。例例 1919 用多种方法求用多种方法求xxxd1. . 解一 分项，凑微分(wi fn)xxxd1= =xxxxxxx1dd1d111. . 解二解二 令令u

33、x 1，则，则,ddux xxxd1= =uuuuuuuddd1. . 解三解三 令令x1= =2u, ,则则,d2duux xxxd1= =.d12d2122uuuuuu 第40页/共52页第四十一页，共52页。解四解四 令令tx2tan,dsectan2d2tttx ，则 xxxd1= =tttttdsectan2sectan22 ttsecd1sec22. . 解五 分部(fn b)积分xxxd1= =xx12d = =xxxxd1212. . 第41页/共52页第四十二页，共52页。有理分式是指两个多项式之比，即有理分式是指两个多项式之比，即 xQxPxR， 这里这里)(xP与与)(x

34、Q不可约当不可约当)(xQ的次数高于的次数高于)(xP的次的次 数时，数时，)(xR是真分式，否则是真分式，否则)(xR为假分式为假分式 利用多项式除法，总可把假分式(fnsh)化为一多项式与真 分式(fnsh)之和，例如 ,12212521232224xxxxxxxx 多项式部分可以逐项积分，因此(ync)以下只讨论真分式的积 分法 一般真分式的积分方法： （一般真分式的积分方法： （1 1）将分母）将分母)(xQ分解为分解为 一次因式（可能有重因式）和二次质因式的乘积一次因式（可能有重因式）和二次质因式的乘积 （2 2）把该真）把该真分分式按分母的因式，分解成若干简单分式式按分母的因式，分

35、解成若干简单分式 （称为部分分式）之和 （称为部分分式）之和 （3 3）简单分式的积分）简单分式的积分. . 第42页/共52页第四十三页，共52页。 化真分式为部分(b fen)分式之和举例说明： （1 1） 分母分母)(xQ含有单因式含有单因式ax 时，这时分解式中时，这时分解式中 对应有一项对应有一项axA，其中，其中A A为待定系数为待定系数 例如例如 )(xR= =21213223223xCxBxAxxxxxxxx 为确定系数为确定系数CBA, ,我们用我们用)2)(1(xxx乘等式两边，乘等式两边， 得得 ) 1()2()2)(1(32xCxxBxxxAx, 因为这是一个恒等式，将

36、任何因为这是一个恒等式，将任何 x值带入都相等值带入都相等. .故可令故可令 0 x , ,得得A23, ,即即32A 类似地，令类似地，令 1x, ,得得B35 ， 即即 B B= = 35；令令2x, ,得得C61，即即 16C . . 第43页/共52页第四十四页，共52页。于是得到于是得到)(xR= =2132xxxx= =26113523xxx. . (2)(2)当分母当分母)(xQ含有重因式含有重因式nax)( 时，这时部分分式时，这时部分分式 中相应有中相应有 n 个项：个项： axAaxAaxAnnnn111. . 例如例如 111121222232xCxBxAxxxxxxx.

37、 . 为确定系数为确定系数 A，B，C，将上式两边同乘以，将上式两边同乘以21xx得得 11122xCxBxxAx, , 令令0 x, ,得得1A；再令；再令1x, ,得得2B；令；令2x, ,得得 CBA225 代入已求得的代入已求得的 A，B 值值，得得 0C . . 所以所以 223212121xxxxxx. . 第44页/共52页第四十五页，共52页。（3 3）当分母）当分母)(xQ中含有质因式中含有质因式qpxx2，这时部，这时部 分分式中相应有一项分分式中相应有一项qpxxBAx2. . 例如例如 32244231313xxABxCxxxxxxxx. . 为确定待定系数，等式两边同乘以为确定待定系数，等式两边同乘以312xxx， 得得 Ax 432 xx) 1)(xCBx, , 令令1x得，得，A55 , ,即即1A；再令；再令0 x, ,得得CA 34, ,即即1C；令；令2x, ,得得CBA296, ,即即1B 所以所以 311132423xxxxxxx. . 第45页/共52页第四十六页，共52页。（4 4）当分母）当分母)(xQ含有含有nqpxx)(2因式时，这种情因式时，这种情 况积分过于繁复，我们略去不讨论了况积分过于繁复，我们略去不讨论了 有理真分式的积分：有理真分式的积分大体(dt)有下面 三种形式: 221d2d3d40