2015年陕西省高考数学试题及答案(理科)及解析

1、2015年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分1.（5分）（2015陕西）设集合M=xlx2=x,N=xllgxW0，则MUN=（）A.0,1B.（0,1C.0,1）D.（-,12.（5分）（2015陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比C.137D.167133.（5分）（2015陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinm）的最大值为（）D.104.（5分）（2015陕西）二项式（x+1）n（nGN+）的展开式中x2的系数为15,则n=（）A.7B.6C.5D.45.（5分）（2015陕西）一个几

2、何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（2左视團主视團俯视團A.3nB.4nC.2n+4D.3n+46.（5分）（2015陕西）“sina=cosa”是“cos2a=0”的（）A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8.（2015陕西）根据如图框图,当输入x为2006时，输出的y=（5分）C.10D.289.（5分）（2015陕西）设f（x）=lnx,0<a<b,若p=f（lab）,q=f（），嗚（f（a）7.（5分）（2015陕西）对任意向量方、b,下列关系式中不恒成立的是（）A.-b-I-B.丨呂b|wl3llb|丨且一y<lH3l

3、-lb|C.fc-（且+b）2=|且+b|2D.（且十b）-二）=32-b2）C.q=r>pD.p=r>q+f（b），则下列关系式中正确的是（A.q=rVpB.p=rVq10.（5分）（2015陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元11.（5分）（2015陕西）设复数z=（x-1）+yi（x,yGR）,若IzIWl,则y>x的概率为

4、（）A.B.C.D.427127T271427T12.（5分）（2015陕西）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A.-1是f（x）的B.1是f（x）的极零点值点C.3是f（x）的极D.点（2,8）在曲值线y=f（x）上二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13.（5分）（2015陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为.14.（5分）（2015陕西）若抛物线y2=2px（p>0）的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.15.（5分）（2015陕

5、西）设曲线y=ex在点（0,1）处的切线与曲线y4（x>0）上点P的x切线垂直，则P的坐标为.16.（5分）（2015陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.三、解答题，共5小题，共70分b-17.（12分）（2015陕西）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量归（a,I3b）与r=（cosA，sinB）平行.（I）求A；_（口）若a=l7，b=2，求厶ABC的面积.18.（12分）（2015陕西）如图，在直角梯形ABCD中，ADIIBC,ZBAD,AB=BC=1,AD=2,E是A

6、D的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2.（I）证明：CD丄平面A1OC；（口）若平面A1BE丄平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值."di图1囲219.（12分）（2015陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T（分钟）25303540频数（次）20304010（I）求T的分布列与数学期望ET；（口）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.2220.(12分

7、)(2015陕西)已知椭圆E：+岂=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经a2b2过两点(c,0),(0,b)的直线的距离塢c.(I)求椭圆E的离心率；(口)如图，AB是圆M：(x+2)2+(y-1)2的一条直径，若椭圆E经过A、B两点,221.(12分)(2015陕西)设fn(x)是等比数列1,x,X2,.,xn的各项和，其中x>0,nN，n>2.(I)证明：函数Fn(x)=fn(x)-2在(寺1)内有且仅有一个零点(记为xn),且xn冷气x?+1；(口)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x),比较fn(x)和gn(X)的大

8、小，并加以证明.四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22.（10分）（2015陕西）如图，AB切OO于点B,直线AO交OO于D,E两点，BC丄DE,垂足为C.（I）证明：ZCBD=ZDBA；求OO的直径.23.（2015陕西）在直角坐标系xOy中，直线1的参数方程为*五、选修4-4：坐标系与参数方程屈（t为参数），以原y=-t52点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，OC的极坐标方程为p=2T3sin8.（I）写出OC的直角坐标方程；（口）P为直线1上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.六、选修4-5：不等式选讲24.

9、（2015陕西）已知关于x的不等式Ix+alVb的解集为xl2VxV4（I）求实数a,b的值;（口）求+1五t的最大值.2015年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分1. （5分考并集及其运算.占八、专集合.题：分求解一元二次方程化简M,求解对数不等式化简N,然后利用并集运算得答析：案.解解：由M=xlx2=x=0,1,答：N=xllgx<0=（0,1,得MUN=0,1U（0,1=0,1.故选：A.点本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题.评：2. （5分）考点：收集数据的方法.专题：计算题；概率与统计.分析：利用百分

10、比，可得该校女教师的人数.解答：解：初中部女教师的人数为110x70%=77；高中部女教师的人数为40xl50%=60,该校女教师的人数为77+60=137，故选：C.点评：本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础.3. （5分）考由y=Asin（x+«）的部分图象确定其解析式.占：八、专三角函数的图像与性质.题：分由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值.析：解解：由题意可得当sin（x+e）取最小值-1时，答：函数取最小值ymin=-3+k=2，解得k=5， y=3sin（x+R）+5，6当当sin（x+e）取最大值1时，6函数取最大值ymax=

11、3+5=8，故选：C.点本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题.评：4. （5分）考占：八、专题分析:解答:二项式定理的应用.二项式定理.由题意可得C驚笃1）=15，解关于n的方程可得.解：T二项式（x+1）n（nCN+）的展开式中x2的系数为15， =15，即=15，解得n=6，f2故选：B.占八、本题考查二项式定理，属基础题.评：5. （5分）考由三视图求面积、体积.占：八、专计算题；空间位置关系与距离.题：分根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面析：积.解解：根据几何体的三视图，得；答：该几何体是圆柱体的一半，-该几何体的表面积为S

12、几何祁12+兀小2+星2=3n+4.故选：D.点本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目.评：6. （5分）考必要条件、充分条件与充要条件的判断.占：八、专简易逻辑.题：分由cos2a=cos2a-sin2a,即可判断出.析：解解：由cos2a=cos2a-sin2a,答：“sina=cosa”是“cos2a=0”的充分不必要条件.故选：A.点本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题.评：7. （5分）考占：八、专题分析:解答:平面向量数量积的运算.平面向量及应用.由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得.解：选项A正确，.|Db|=l；allb

13、|cosV&,b>|,I-I-»I-I-I-又IcosVb>lwl,.|且'blwl；3llbl恒成立；选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得：-方列刊-甬l；选项C正确，由向量数量积的运算可得（呂+b）2=l呂+仪2；选项D正确，由向量数量积的运算可得（呂十b）（且-二単-陀.占八、故选：B本题考查平面向量的数量积，属基础题.评：8.（5分）考程序框图.占：八、专图表型；算法和程序框图.题：分模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=-2时不满足条件x>0,计析：算并输出y的值为10.解解：模拟执行程序框图，可得答：x=20

14、06,x=2004满足条件x>0,x=2002满足条件x>0,x=2000满足条件x>0,x=0满足条件x>0,x=-2不满足条件x>0,y=10输出y的值为10.故选：C.点本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题.评：9.(5分)考占：n八、专题：分析：不等关系与不等式.不等式的解法及应用.由题意可得p_2（lna+lnb）,q_ln（）>山（丁）=P，r-（lna+lnb）,可得大小关系.解答：解：由题意可得右p_f(JS)_ln(JS)乜lnab书(lna+lnb),q_f)_ln()>ln_p,Laalur丄(f(a)+f(b)J-(ln

15、a+lnb),22p_r<q,故选：B点评：本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题.10.（5分）考点：简单线性规划的应用.专题：不等式的解法及应用.分析：设每天生产甲乙两种产品分别为x,y顿，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值.解答：解：设每天生产甲乙两种产品分别为x,y顿，利润为z元，则卄2,严0,y>0目标函数为z=3x+4y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域.由z=3x+4y得y=-务违,平移直线y=-弓由图象可知当直线y=-弓x诗经过点B时，直线y=

16、-弓x+号的截444444距最大,此时z最大,解方程组即B的坐标为x=2,y=3,zmax=3x+4y=6+12=18.即每天生产甲乙两种产品分别为2,3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D.20点评：本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键.11.（5分）考点：几何概型.专题：概率与统计.分析：由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得.解答：解：T复数z=（x-1）+yi（x,yCR）且lzlW1,I切=-1）2+异<1，即（x-1）2+y2<1,点（x,y）在（1,0）为圆心1为半径的圆及其内部,而y

17、>x表示直线y=x左上方的部分，（图中阴影弓形）所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，121127T牛皿十-护1><1所求概率P=7T-12故选：D.点评：本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题.12.(5分)考点：二次函数的性质.专题：创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用.分析：可采取排除法.分别考虑A,B,C,D中有一个错误，通过解方程求得a,判断是否为非零整数，即可得到结论.解答：解：可采取排除法.若A错，则B，C,D正确.即有f(x)=ax2+bx+c的导数为f(x)=2ax+b,即有f(1)=0,即2a+b=0,又f(1)=3,即a+b+c=3，又f(

18、2)=8,即4a+2b+c=8,由解得，a=5,b=-10,c=8.符合a为非零整数.4ac-百'若B错，则A,C,D正确，则有a-b+c=0,且4a+2b+c=8，且=3，解得4aa，不成立；若C错，则A,B,D正确，则有a-b+c=0,且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=-不为非零整数，不成立；-14acb'若D错，则A,B,C正确，则有a-b+c=0,且2a+b=0，且=3，解得a=4a-弓不为非零整数，不成立.4故选：A.点评：本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力,属于中档题.二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13.

19、(5分)考点：等差数列.专题：等差数列与等比数列.分析：由题意可得首项的方程，解方程可得.解答：解：设该等差数列的首项为a,由题意和等差数列的性质可得2015+a_1010x2解得a=5故答案为：5点评：本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题.14.（5分）考占：n八、专题：分析：解答：抛物线的简单性质.计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.先求出x2-y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值.解：双曲线x2-y2=1的左焦点为（-伍，0），故抛物线y2=2px的准线为x=-V2,，二P=2，故答案为：22.点评：本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物

20、线方程y2=2px中p的意义.15.（5分）考占：n八、专题：分析：利用导数研究曲线上某点切线方程.导数的概念及应用.利用y-ex在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标.解答：解：f（x）-ex，二f（0）-e0-1.y-ex在（0,1）处的切线与y4（x>0）上点P的切线垂直点P处的切线斜率为-1.又y'=-土，设点P（x0，y0）亠x0±1，vx>0，x°-1y0-1点P（1，1）故答案为：（1,1）点评：本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中.16.（5分）考占：八、专题：分析

21、：直线与圆锥曲线的关系.创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程.建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果.解答：解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y-ax2，因为抛物线经过（5,2），可得a葆，所以抛物线方程：y嶋MS横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：25o等腰梯形的面积为：=16，当前最大流量的横截面的面积16-音,cLi原始的最大流量与当前最大流量的比值为:故答案为：1.2.点评：本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键.三、解答题，共5小题，共70分17.（12

22、分考点：余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示.专题：解三角形.分析：（I）利用向量的平行，刃J出方程，通过正弦定理求解A；解答:（口）利用A,以及a=W，b=2,通过余弦定理求出c,然后求解厶ABC的面积.解：（I）因为向量归（a,13b）与门=（cosA，sinB）平行,所以asinB-3加口sA=0,由正弦定理可知：sinAsinB-v3sinBcosA=0,因为sinBO,-TT-所以tanA=l3,可得A=p；（口）a=lT,b=2，由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosA,可得7=4+c2-2c,解得c=3,ABC的面积为：*busi-点评：本题考查余弦定理以及宰相

23、肚里的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力.18.（12分）考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质.专题：空间位置关系与距离；空间角.分析（I）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD丄平面AQC；（口）若平面A1BE丄平面BCDE,建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.7T证明：（I）在图1中，TAB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，ZBAD=,BE丄AC,即在图2中，BE丄OA,BE丄OC,则BE丄平面AQC；CDIIBE,CD丄平面AOC；（口）若平面A1BE丄平面BCDE,由（I）知BE丄OA1,BE丄OC,.厶AQC为二面角A1-BE-C

24、的平面角,.ZAiOC岭,如图，建立空间坐标系,C(0,0),TAB=AE=BC=ED=1.BCIIED.B(,0,0),E(-竺，0,0),A(o,o,1CD=BE=(-品0,0)ID-BC=0则r一ID直1C=0I1设平面A1BC的法向量为n=（x,y,z）,平面A1CD的法向量为n=（a,b,c）,令x=1,则y=1,z=1,即it=(1,1,1),nAtC=0由T上,n-CD=0取n=(0,1,1),则，n>=_,平面A1BC与平面A1CD为钝二面角,.平面a1BC与平面A1CD夹角的余弦值为-弓.点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是

25、解决空间角的常用方法.19.（12分）考离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.占八、专题分析:概率与统计.解答:（I）求T的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数一样本容量，数学期望ET=25x0.2+30x0.3+35x0.4+40x0.1=32（分钟）；（口）设T1，T2分别表示往、返所需时间，事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”，先求出P（A）=P（J=35,T2=40）+P（T1=40,T2=35）+P（T1=40,T2=40）=0.09，即P（A）=1-P（我）=0.91.解（I）由统计结果可得T的频率分布为T（分钟）25303540频率0.20.30.

26、40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1占八、评:从而数学期望ET=25x0.2+30x0.3+35x0.4+40x0.1=32（分钟）（口）设T1,T2分别表示往、返所需时间，T1,T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，设事件A表示"刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于"刘教授在路途中的时间不超过70分钟”P（真）=P（T+T2>70）=P（T1=35,T2=40）+P（T1=40,T2=35）+P（T1=40,T2=40）=0.4x0.1+0.1x0.4+0.1x0.1=0.09故P（

27、A）=1-P（A）=0.91故答案为：（I）分布列如上表，数学期望ET=32（分钟）（口）0.91本题考查了频率=频数一样本容量，数学期望，对学生的理解事情的能力有一定的要求,属于中档题.20.（12分）考点：直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程.专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：（I）求出经过点（0,b）和（c,0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（口）由（I）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3,即可得到椭圆方程.解答：

28、解：（I）经过点（0,b）和（c,0）的直线方程为bx+cy-bc=0,brI则原点到直线的距离为d=三c,即为a=2b,2（口）由（I）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,_由题意可得圆心M（-2,1）是线段AB的中点，则IABI=.0,易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1,代入可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2-4b2=0,设A（x1,y1）,B（x2,y2），,-8k1+乐)4(l+2k)2-贝yX+x2二.XX2-业(1+弧)由x1+x2=-4，得=-4,解得从而x1x2=8-2b2，于是IABI=：j+(吉)？=10(谀-2)=10解得b

29、2=3，22则有椭圆E的方程为*+冷=L点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系,以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题.21.(12分)考占n八、专题数列的求和；等差数列与等比数列的综合.综合题；创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列.(I)由Fn(x)=fn(x)-2=l+x+x2+.+xn-2，求得Fn(1)>0,Fn(£)<0.再由导数判断出函数Fn(x)在,1)内单调递增，得到Fn(x)在分析24内有且仅有一个零点xn，由Fn(xn

30、)=0，得到春誌谆叮T(口)先求出运口葢)二一f-，构造函数h(x)=fn(x)-gn(x)=1+x+x2+.+xn-5心1时宀，当x=1时，fn(x)=gn(x).当xH1时，利用导数求得h(x)在(0，1)内递增，在(1,+b)内递减，得到fn(X)Vgn(x).解答:证明：(I)由Fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+.+xn-2，则Fn(1)=n-1>0，Fn中=1-二Fn(x)在(g，1)内至少存在一个零点,又叮工)二屮廿+门严Fn(x)在(寺1)内单调递增,-Fn(X)在(*,1)内有且仅有一个零点Xn,xn是Fn(x)的一个零点，Fn(Xn)=0,故廿(口)由题设，务(

31、十1)C1+F)设h(x)=fn(x)-gn(x)=1+x+x2+.+xn-(n+1)(1+2x>0.当x=1时，fn(x)=gn(x).当xH1时，h；若0VxV1，h(x)>n+2xn_1+-+nn(n+1)/J2n(nH)"L_n(n+l)22n-1若x>1，h(x)<n+2xri_1+-+nxn_1nMl)J"n(n+1)1_二0.22 h(x)在(0,1)内递增，在(1,+b)内递减， h(x)<h(1)=°，即fn(x)<gn(x).综上，当x=1时，fn(x)=gn(x)；当xH1时，fn(x)<gn(x).点评：本题考查了函数零点的判定方法，考查了等比数列的前n项和，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化与化归等思想方法，是中档