2021年初中物理竞赛及自主招生专题讲义第八讲电路第五节复杂电路的简化与等效含解析

1、第五节复杂电路的简化与等效一般混联电路比较复杂，在题目中出现时，有时故意将电路图抽象化、隐蔽化，使我们不容易很快看出电阻的串并联关系，画“等效电路”就是对比较复杂的电路运用串并联电路的知识进行分析，画出简明的等效电路，这种科学方法即“等效替代”的方法。将比较复杂的电路画成简明的等效电路是电路计算中十分重要的一步。本节将介绍几种常见的简化电路的方法，为了下文的表述方便以及让读者能够更清晰地理解这些方法，需要先介绍一个重要的概念电势。一、电路中导线节点的电势众所周知，在地球表面附近，物体都有自己的髙度，物体受到的重力的方向都是竖直向下的(即沿着重力的方向)。电势就相当于是电路中的“髙度”，在电源外

2、部，电流从电源正极流出，经过用电器后流回到电源负极，电源正极处的电势最髙，电源负极处的电势最低，当电流经过用电器时，沿着电流方向电势逐渐降低。电势的减少量实际上等于用电器两端的电压，即当电流I流经阻值为R的电阻时，电势降低了U=IR。电压实际上是电势之差。电势和电压的单位都是伏特。*&*ABRRI<b>图S.12S在图&128(3)所示的电路图中，已知电源电压为U=12V,R=R=4Q,R=18Q,R=6Q，1 523R=12Q。从电源正极开始，依次用字母A，B，C，D标记电路中导线的连接处(即节点)，由4于导线没有电阻，电流经过导线时电势不降低，同一导线两端的电势

3、相等，可以用同一个字母标记。设电源负极D点处电势为0,由于电源电压为U=12V，则A点的电势为12V。根据串并联电路的规律，容易求出通过各个电阻的电流分别为I=1.2A，I=0.4A,I=0.8A,I=0.2A,I=0.6A。12345则从A到B，电势降低了U=IR=4.8V，所以B点的电势为7.2V；从B点到C点，电势降低了111U=IR=4.8V，所以C点的电势为2.4V;从C点到D点，电势降低了U=IR=2.4V(或333444U=IR=2.4V),因此D点电势为零，这和我们假设的D点电势为零相符。当然，也可以从电阻5 55R这条支路进行计算：从B点经R到D点，电势降低了U=IR=7.2

4、V，仍然得出D点电势为零2 2222的结论。我们也可以像图8.128(b)所示，将每个节点按照电势从髙到低画成一条条竖线，根据电阻两端的电势与哪两条竖线对应，将电阻放入对应的两条竖线之间，不仅电阻的连接情况一目了然，从电流的流向也能很方便地看出。二、几种常见的简化电路的方法1节点法节点是指电路中两根导线的连接点。我们只要知道各个用电器相当于连接在哪些节点之间，就可以判断出用电器的连接方式。由于导线的电阻为零，不论导线有多长，只要其间没有电源、用电器等，导线两端的电势就相同，两端点可看成同一个点。利用节点法化简电路时，可结合电流的流向，将电路中的各节点依次标为A,B,C,D等，然后将各元件连在相

5、对应的节点位置即可。同时，也要注意，若各电阻中通过同一电流，则这些电阻是串联的；若从某点起电流分开流过几个电阻后又汇合，则这些电阻是并联的。例1(上海第26届大同杯初赛)在如图&129所示的电路中,电流表A和A的示数分别为0.3A和0.4A。若将电路中的某两个电12阻的位置互换，电流表A和A的示数却不变，则电流表A的示数可12能为()。A.0.45AB.0.50AC.0.55AD.0.60A分析与解将电源正负极分别标记为A，B两点，由于电流表和导线电阻不计，将电路中其他各节点分别标记如图8.130(a)所示，显然,电阻R,R,R为并联。结合电流方向为从节点A流123向节点B，则电流表A

6、的读数I等于通过R,112R的电流之和，电流表A的读数I等于通过R,R3 2212的电流之和，即I=I+1,I=I+1。电流表A读数为I=I+1+1，等效电路图如图8.13021R2R3R1R2R1R2R35(b)所示。当将电路中的某两个电阻的位置互换时，电流表A和A的示数却不变，由于三个电阻12并联,说明互换的两个电阻必然阻值相等。若R=R，则I=I=°2AI=0.1A,故I=0.5A,则I=0.15A,例2在下列情况下将如图8.131所示的电路简化：R3选项B正确；若R=R,则必然会有I=I,与题给条件矛盾；若R=R,131223I=0.25A，故I=0.55A，选项C正确。本题

7、正确选项为BC。R12R1R21)电键S断开；2)电键S闭合。分析与解当电键S断开时，可将电键S所在的导线去除，并将电阻R所在的导线拉长，如图4(2)当电键S闭合时，结合采用节点法，将各个节点标上字母，注意同一段导线两端电势相等,应标上同一个字母，如图8.134所示。由于电阻R两端节点所标是同一个字母，说明R两端电压为55零，即没有电流通过R，可将R这一支路除去，其余电阻与节点间的关系如图8.135所示，显然,55各个电阻之间的连接关系应如图8.136所示。RAC&R,ACRB图8.136图8.1342利用电路的对称性化简电路一些电路虽然连接情况复杂，但是存在某种对称性，即电路中某些对

8、称的节点的电势相同，这些节点之间即使用导线相连，导线上也没有电流，反过来，电路中的某些节点可以分成两个电势相同的节点，这并不会影响电路的连接方式，但却给我们简化电路带来了很大的方便。例3如图8.137所示,9个阻值为4的电阻连成的电路，现在A,B两点间加上8V的电压，问：(1) A，B间的总电阻为多少欧姆？(2) 流过直接接在E，B两点间的电阻上的电流为多少安？分析与解(1)观察可知，图8.137所示电路关于E，F连线对称，不妨将E点分成如图8.138(a)所示的E，G两个点，则显然E，G两点电势相同，分开后并未影响到原电路电阻的连接情况，因此，CDABB图8.138可将电路简化为图8-138

9、(b)所示的电路则可求得间的总电阻为rab=40仪(2)直接接在E,B两点间的电阻就是在简也图8.138(b)中标记为R的电阻，则通过它的电流为/=1A。R例4(上海第29届大同杯初赛)在如图8.139所示的电阻网格中，AB，BC，CD，DA四根电阻丝的阻值均为r，其余各电阻丝的阻值都相等，但阻值未知，测得A，C两点之间的总电阻为R，若将AB，BC，CD，DA四根电阻丝皆换成阻值为2r的电阻丝，则两A，C点之间的总电阻为(2rRB. 辿2r+R團&139分析与解题中电阻网格关于AC连线有很好的对称性，可将B点和D点像图8.140(a)所示这样分开，则分开后并不影响原电阻的等效阻值，同时

10、注意到，图8.140(a)中的E点和F点、G点和H点分别关于AC连线对称，因此E点和F点电势相等，G点和H点电势相等，即导线EF，GH无电流通过，可以去掉。电路可初步转化为8.140(b)所示。进一步观察，从图8.140(b)中已经能够看出各个电阻丝的连接关系了。将&140(b)等效为&140(c)所示电路，其中，AB，BC，CD，DA四点之间的电阻的阻值为r，其余的电阻阻值均相同，设为，则由电阻的串并联知识可得A，C间的等效电阻R满足BBH(a)A图£140A4亠1111121=+=+R5r2r2r5r5rr000将AB,BC,CD,DA四根电阻丝皆换成阻值为2r的

11、电阻丝后，A,C间的等效电阻R满足:1111121=+=+-R5r4r4r5r5r2r000由以上两式消去2,可解得丄=丄丄，即R二上d。选项A正确。5rRR2r2rR03将立体电路转化为平面电路立体电路图是指电路中各电阻为空间结构，构成了某一立体图形，这类电路不容易看出电阻的连接方式，要将其沿某一方向“压扁”，使其变为平面电路，再结合对称性等，进行简化与等效。例5三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连接成如图8.141所示的网络。已知每一个金属圆圈的电阻都是R，试求图中A，B两点间的等效电阻R。AB分析与解求解两点间的等效电阻，应把立体电阻网络先“压扁”使之变为平面电阻网络。如图8.142（a）

12、所示，由对称性可知，E，E为等势点，将1 2电阻网络沿E，E连线方向压扁，使E，E重合为一个新的点E，三维金属线品S1411212圈成为一个在AB弧线所在平面内的平面网络，如图8.142（b）所示。容易看出，压扁后，AE与AE12并联成为AE，BE与BE并联成为BE，CE与CE并联成为CE，DE与DE并联成为DE，由于121212原电路中每个1圆周的电阻均为£，则压扁后的AE，BE，CE，DE的电阻均为f。图&142（b）具有明显的对称性，可将E点断开如图8.142（c）所示，则各段导线之间的连接关系一目了然，可画出如图&142（d）所示的等效电路图，据此求出Rab=

13、R848(82丿(a)(c)(d)图斗212例6如图8.143所示，12根长度相等、阻值均为R的金属棒焊接成一个正方体框ABCDABCD，试求：1111（1）A，A两点之间的电阻值；1（2）A，B两点之间的电阻值。1ClB两点为等势点。分析与解（1）先设法将立体电路转化为平面电路。若将A，A两点分别与电源的正、负极相连，根据电路的对称性，易得B，D两点为等势点，D，如图&144（a）所示，可将B,D两点“捏”在一起成为一个新的节点E，将D,B两点“捏”11在一起成为一个新的节点F，则原来的金属棒AD与AB，CD与CB，BB与DD，AD与AB以111111及CD与CB均为并联关系，如图8

14、.144（b）所示。进而可得到简化后的平面电路如图8.144（c）1111容易得出AA间的总电阻为R=R。1AA112所示，两根金属棒并联后的阻值为2R,CEEAA4A(c)图8.144（2）求解A，B两点之间的电阻值时可以将四边形DDCC压到四边形AABB之内，如图8.14511111（a）所示。假设A，B分别与电源的正、负极相连，则结合电路的对称性，可知A，D两点为等1势点，B，C两点为等势点，因此金属棒AD，BC中不会有电流流过，可将这两根金属棒去除，1111如图8.145（b）所示，则容易看出电路最终简化为图8.145（c）所示的平面电路，可求得A，B两1点之间的电阻值R=3R。A1B

15、4(a)(c)图S145练习题1. （上海第31届大同杯初赛）在如图8.146所示的电路中，总电流I=1.0A，R=2R=2R，123则下列对通过R的电流的判断正确的是（）2A.大小为0.20A，方向向右B.大小为0.20A，方向向左C.大小为0.40A，方向向右D.大小为0.40A，方向向左2. （上海第28届大同杯初赛）在如图8.147所示的电路中，电流表A和A的示数分别为3A和122A。若将R，R，R中的某两个电阻互换，其他条件不变，发现电流表的示数不变。则通过R的2341电流为（）。A.3.5AB.4.0AC.4.5AD.5.0A<$3. （上海第24届大同杯初赛）图8.148为

16、复杂电路的一部分，电阻R,R,R的阻值之比为1231：2：3,通过这三个电阻的电流之比为4：1：2。则电流表A，A的示数之比为（）。12A. 1：1B.2：1C.3：1D.4：14. （上海第22届大同杯初赛）阻值都是R的五个电阻连接如图&149所示，则A，B之间的A.0B.Rc.RD.11图8.14S等效电阻值为（）。5. （上海第17届大同杯初赛）在图8.150所示电路中，电流表和电压表均为理想电表，则下列判断中正确的是（）。A.R=R，且R最大，R最小ABBDBCACC. R=R，且R最大，R最小ACCDBCADB. R=R，且R最大，R最小ABCDBCACD. R=R，且R最大

17、，R最小ACBDBCAD6. （上海第16届大同杯初赛）图8.151所示为某复杂电路的一部分，电阻R，R，R的阻值123之比为1：2：3，则通过这三个电阻的电流之比有可能为（）。C.4：2：1R=3Q，电流I=0.2A，317. 图8.152所示为某电路中的一部分，已知R=5Q，R=1Q，12I=0.1A，则通过电流表A中的电流强度是（）。2A.0.2A，方向向左B.0.1A，方向向右C.0.1A，方向向右D.0.3A，方向向左8. （上海第22届大同杯初赛）AB，BC，AC，AD，BD，CD六根阻值均为R的电阻线连接成如图8.153所示电路，则A，D之间的等效电阻为（）。ABR2RD9. （

18、上海第15届大同杯初赛）图8.154为某均匀金属薄板，现测得接线柱A,B之间的电阻为R。如果将该电阻板均匀地分成9块，并挖去其中一小块，则此时A，B之间的电阻变为（）。a.8Rr9RC. d.6R10.（上海第13届大同杯初赛）如图8.155所示，每个电阻都是3000，则a，b间的总电阻是）。A.3000B.4000C.4500D.600011.（上海第12届大同杯初赛）如图8.156所示，R=R=R=30，则电键K断开和闭合时,123M，N间的电阻分别为（）。A.90，30B.90，00C.10，00D.10，9012.（上海第10届大同杯初赛）如图8.157所示，将一个阻值为6R的电阻丝围

19、成一个等边三角8形ABC，D，E，F分别为三条边的中点，它们与A，B，C三个顶点共同构成6个接线柱，其中D，F接线柱用导线连接，从而构成一电阻器。则利用该电阻器可获得不同的电阻值（不包括零电阻），其最大值和最小值分别是（）。3RR3R3RRA.B.C.3R，22T243R4D.3R，FREB图8.15813.图&158中有一个半径为r、总电阻为R的均匀导体圆环，环上放置两根平行直导线a，b，直导线电阻不计，直导线间的距离等于圆的半径r。现将直导线a，b在环上自由移动，移动过程中导线始终保持相互平行，距离仍为r,并始终与导体环有良好接触，贝，b间电阻的最小值与最大值分别是（）。A.B.昱

20、,R124121514. （上海第8届大同杯复赛）如图8.159所示，把6个阻值均为R的相同电阻连接成一个正六边形的电阻器，这个六边形的每个顶点都有一个接线柱，其中1，4接线柱用导线相连接。则利用这个电阻器可获得的不同电阻值（不包括00）的总个数和最大电阻值分别是（）。A.2个，¥C.4个,3R2B.3个，3D.5个，6R15. 在如图8.160所示的电路中，各个电阻的阻值已标出,则端点A,B间的等效电阻为0。16. （上海第24届大同杯复赛）在图8.161（a）所示的电阻网络中，每一个电阻的阻值均为R。某同学用如图&161（b）所示的装置去测量网络中任意两节点之间的电流。设

21、电源的电压恒为E,则最大电流为，最小电流为。图8.160©8,16117. （上海第17届大同杯复赛）将电阻丝制成半径大小不同的两个圆环和一个正方形，按图8.162所示的方法连接，若各接触点都导电良好，大圆环的总电阻等于1600，现用导线在a，b两点间连接电压为6V的电源，此时电路中的电功率为1.8W，则a，b两点间的电阻等于0;若用导线截面直径为原电阻丝两倍的电阻丝替换大圆环上a，b间1/4圆环电阻丝，则电路中的电功率将变为W。18. （上海第9届大同杯复赛）在如图8.163所示的电路图中，已知R=270，R=R=300，123R=150，R=600，则电路的总电阻R=0，R消耗的

22、电功率与R消耗的电功率之45AB23比P:P为。23图S.162图a.16319. （上海第5届大同杯复赛）如图8.164所示，已知R=R，R=50，安培表A，A示数2 4512分别为3A和7A。若A，B间的电压一定，且安培表的电阻不计，则R两端的电压为。A爲图R.165图a,16420. 在图&165所示的电路中，电压表V,V,12,V都相同，第一个电压表的示数U=9.6V,501第一个电流表的示数为I=9.5mA，第二个电流表的示数I=9.2mA，则所有电压表的示数之和为12V。21. 如图&166所示，电路中共有100个电阻，其中：R=R=R=R=2Q，R=R135992

23、4=R=R=4Q，R=2Q，则电路中A，B间总电阻为R=Q，若在A，B间加698100AB10V的电压，则流过电阻R的电流为A。10022. (上海第11届大同杯复赛)在如图8.167所示的电路中，R为50，R和R为100，A，12B间的电压U为10V。则A，B间的总电阻为0，电阻R消耗的电功率为W。23.(上海第26届大同杯复赛)如图8.168所示，六个电阻完全相同，阻值都是R，将电压为U的电源接在C，D两点之间，则B，C两点间的电阻R的功率为;若将电源接在线路中的4A，C两点，则(选填“R”“R”“R”“R”“R”“R”或“所有电阻”)中无电流流123456过。24. 12根阻值均为r的电

24、阻丝连接成如图8.169所示的电路，问：(1) A，D间的总电阻是多少？(2) A，E间的总电阻是多少？(3) A，F间的总电阻是多少？N图乩1血ES.16?25. 由12根完全相同的电阻丝组成如图8.170所示的“田”字形电路。每根电阻丝的阻值均为R，试求：（1）B，C两点间的电阻值；（2）E，F两点间的电阻值；（3）E，H两点间的电阻值。26. （上海第25届大同杯复赛）在如图8.171所示的电路中，电源电压E=6V,R=2Q；S为电键；其他8个电阻中有一个未知阻值，设为R。剩下的7个电阻的阻值均为1Q。若闭合电键S以x后，电源的总功率为12W，则R的阻值为多少？通过R中的电流为多少？xx

25、E8170S.171参考答案1. D。提示：沿着电流方向电势降低，且同一导线两端的电势相等，可知R右端的电势髙于左2端的电势，通过R的电流反向向左。三个电阻为并联关系，根据并联分流可得R的电流为总电流的222，即0.4A。52. AB。略，可参孝本节例1的解法。3. B。设通过R的电流I方向向右，由于R两端电压等于R，R两端电压之和，根据题给数据11123关系，可知通过R的电流I方向向左，通过R的电流I方向向上，则A的示数为I+I，A的示22331132数为I+1,故A，A的示数之比为（I+1）:（I+1）=2:1。231213234. C。提示：采用节点法，用同一个字母标记相同电势的节点，则

26、可知最左边两个电阻并联，最右边两个电阻并联，这两个并联部分串联起来后，再与中间的电阻并联。5. C。提示:理想电流表可视为导线，理想电压表可视为断路，各点间的阻值R=R=R，ABBDR3R二R二，R=_R，R二0。ACCD2BC2AD6. D。提示：根据电阻间的电压关系，可得IR=IR+IR或IR=IR-IR。2233112233117. A。设通过R的电流为I,方向向下，则R，R的电压之和等于R的电压，有IR+IR=IR，3 3132113322且通过电流表A的电流I的方向应向右，有I=I+1,解得I=-0.3A，I=-0.2A，可见实际AA233A上I方向向上，I的方向向左。3A8. Ao

27、提示：设A，D两点分别接电源的正负极，则B，C两点为等势点，B，C之间没有电流通过，可将其除去。9. Bo提示：将原来的整块金属竖直方向均匀分成三大块，这三大块串联成为原来的整块金属，则每一大块的电阻为1R。每大块又由三个小块并联而成，因此每个小块的电阻为R，当某一大块3被拿去一个小块之后，该大块剩余部分的电阻为-R，这样，A，B之间的电阻变为21117R二一R+R+R二一R。AB332610. B。提示：本题各电阻的连接方式是：三个电阻并联后，再与靠近电源的那个电阻串联。11. Co提示：电键K闭合时，M，N之间被短路，电阻为零；电键K打开时，三个电阻并联。12. A。提示：A，F间的电阻最

28、小，A，E间的电阻最大。13. D。提示：a，b导线外侧的圆弧没有电流，a，b两点间的电阻R等于a，b两导线之间ab的两段圆弧并联后的阻值。当a，b导线有一根与圆弧相切时，R最大；当a，b两导线关于圆心ab对称时，R最小。ab14. A。提示：3与5,2与6连接时，总电阻均为4R；1与2,2与3,3与4,4与5,5与6,36与1连接时，总电阻均为2R。315. 3。提示:对角线上两个60的电阻中没有电流通过，可以去掉。所示，R=11R,R=10R,RAB18AC9(=5R,R=4R，则最大电流为I=AD6DE9maxRDE16.9E,4RZ。提示：该电路为三角形对称电路，各节点间的电阻只有四种

29、情况，如图8172518为I=minR10R17.20，AC4.5oa,b两点间的电阻RU262U-=-0=200。设大圆上a,b两点间的电阻为R,abP1.8则R=1x1600=400，再设其余部分的总电阻为R'，有1+丄=丄，解得R'=400。用导线截4RR'Rab面直径为原电阻丝两倍的电阻丝替换大圆环上a,b间1/4圆环电阻丝后，大圆上a,b两点间的电阻变为1R=100，则a,b两点间的总电阻R'满足丄=亠+丄，解得R=80。电路中的电4abR'1DR'ababR功率变为P'=U2=62Q=4.5W。R'8ab18. 13.

30、5,1：1。提示：电阻R与R并联，电阻R与R并联，这两部分串联后，再与电阻R并23451联。19. 50。提示，R，R，R，R四个电阻并联，由于R=R，A的读数也等于R，R的电123424134流之和，则通过R的电流等于A与A的读数之和，即10A，所以R两端电压为50V。512520. 304。设各电流表的读数分别为I,I,I，电压表的读数分别为U,U,U，电压表A1A2A501250的内阻设为R，则有U=(!-1)R，U=(II)R，U=(II)R,V1A1A2V2A2A3V3A3A4VU=(II)R，U=IR，以上各式相加，可得各个电压表示数之和为U-U+U49A49A48V50A50V总12+U+U=IR，由于R=1=3.2x104Q，因此可得U=304V。350A1VVII总A1A221.4，4.44x10-15。提示：不难求得R两端的总电