1_利用求导法则构造函数

1、试卷第23页，总21页联想导数运算法则，巧设可导函数f (x) ” 等 g(x)以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有"f(x)±g(x)、f(x)g(x)、特征式、旨在考查导数运算法则的逆用、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的 一位“常客”，常以压轴题出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征 与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问 题.本文结合实例介绍此类问题的几种常见形式及相应解法，供大家参考.总结：常用的有：和与积联系f (x) +xf (x),构造 xf (x);2xf(x)+x2f (x),构造 x2

2、f(x)；22 f (x) +xf (x),同样构造 x f(x)；3 _ .3 f (x) +xf (x),构造 x f(x)；nf (x) +xf (x),构造 xnf (x)；f (x) + f(x),构造 ex f(x).等等.减法与商联系：f (x)如 xf (x) - f (x) >0 ,构造 F(x) 二一3 ；xxf (x) -2 f(x) >0 ,构造 F (x)=f"； xxf (x) -nf (x) >0 ,构造 F (x) =-f(x) .xf (x)-f(x),构造 F(x)=举，ef (x) -2f(x),构造 F(x)=f2xef (x

3、) nf (x),构造 F(x)= Ux) , e奇偶性结论：奇乘除奇为偶；奇乘偶为奇。(可通过定义得到)构造函数有时候不唯一，合理构造函数是关键。给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。(一)巧设“ y=f(x)±g(x)”型可导函数当题设条件中存在或通过变形出现特征式"f'(x)±g(x)"时，不妨联想、逆用"f'(x) ±g (x) = f (x) ±g(x)，构造可导函数y=f(x)±g(x),然后利用该函数的性质巧妙地解决问题.1 .若f(x)的定义域为R, f'(x)>

4、;3恒成立，f(1)=9,则f(x)>3x+6解集为()A. /)B. (-1,+°°)C.(_oo,_i)d. (1,十力【答案】D.【解析】令F(x) =f(x)3x6, F'(x) = f (x) 3>0恒成立，即F(x)在定义域上单调递增.又 F(1) = f (1)-9 =0 ,则 F(x) >0 = F(1),即 x >1 .故本题答案选 D .解法二：将题中的含导数不等式移项为一边为零：令g(x) = f(x)-3x变式1. 1.已知定义在实数集 R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f

5、(x)<2(xW R)，则不等式 ”*)<2乂+1的解集为()A.(1 ,+°° )B(q, -1 )C.(-1,1 )D.-1 以1,+0°)【答案】A【解析】令g(x) = f (x) 2x 1 , g'(x) = f'(x) 2 <0 ,所以g(x)在R上单调递减，又g(1) =0 ,所以 g(x) <0 的解集为(1 , +8),选 a .变式：1.2.已知函数f(x)的定义域为R, f (x)是f(x)的导函数，且f(2) =3, f'(x) <1 ,则不等式f (x) >x +1的解集为 .【

6、答案】(q,2).【解析】令 g(x) = f(x) -(x +1),因为 f (2) =3 ,且 f *() 4 ,所以 g(2) =0 , g '(x) <0 ,即 g(x) = f (x) -(x +1)在 R 上单调递减，且 f (x) >x +1 可化为 g(x) >g(2),则 x <2 , 即不等式f(x)>x+1的解集为(-8,2).点睛：本题考查利用导数研究不等式的解集.解决本题的关键是合理根据条件(f '(x) <1且f (2) =3)构造函数g(x) =f (x) _(x+1)和g(x) >g(0),再利用单调性进

7、行求解.2 .函数f(x)的定义域为 R, f(-2)=2018,若对任意的xW R,者B有f'(x)<2x成立，2则不等式f(x)<x +2014的解集为.【答案】(-2 ,)【解析】构造函数 g(x) = f (x) x2 2014 ,则g(x) = f'(x) 2x<0 ,所以函数g(x)在 定义域上为减函数， 且 g(-2) =f(-2) 22 2014 =2018 4 2014 =0,由 fx)4 2 24 有 f(x) -x2 -2014 <0 ,即 g(x)c0=g(-2),所以 x>2,不等式 f(x) <x2 十2014 的

8、解集为 (-2, +°°点睛：本题主要考查抽象不等式的解法，导数在求函数单调性中的应用，属于中档题.构造函数是解答本题的关键.变式：设定义在 R上的函数f (x)满足f(1)=2 , f'(x)v 1,则不等式f(x2)> x2+1的解 集为.答案：(1, 1).换元3 .设奇函数f(x)在R上的可导函数，当 x> 0时有f'(x)+cosxv 0 ,则当x<0时，有A.f(x)+sinx> f(0)B.f(x)+sinx< f(0)C.f(x)-sinx> f(0)D.f(x)-sinx< f(0)解析：联想f (

9、x)+sin x'= f'(x)+cosx ,可知函数 g(x) = f (x)+sinx在(0,+°0)在上为 减函数，又f(x)为奇函数，故g(x)也为奇函数，所以g(x)在(-°0, 0上也为减函数，故当 x < 0 时，g(x) > g(0),即 f (x) +sin x > f(0) + sin0 = f (0).答案：A .4 .定义在(0, +8)上的函数f(x)满足xf'(x) 1 <0 ,且f(1)=1,则不等式 f (2x -1 )>ln (2x -1 )+1 的解集是 .【答案】(2,1)【解析】F

10、 (x) = f(x) -ln x ,则 F '(x) = f '(x) - = xf (x)1，而 xx()10< ，且 x>0, x xF (x) <0 ,即F(x)在(0 ,十00)上单调递减，不等式 f(2x _1ln(2x _1)+1可化为 f (2x _1 )_ln(2x -1 )>1 =1 -ln1 ,即 F (2x -1 )>F (1 ),故 士；：；,解得：g <x<1 , 故解集为：(1,1).(二)巧设“ f(x)g(x)”型可导函数当题设条件中存在或通过变形出现特征式“(x)g(x)+f(x)g，(x)”时，可联

11、想、逆用"f'(x)g(x) + f (x)g (x) = f (x)g(x)r ”，构造可导函数，然后利用该函数的性质巧妙解决 问题.5 .设函数f(x), g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'(x)g(x)十 f (x)g (x) >0 且 g(3) = 0 ,则不等式 f (x)g(x) A0的解集是()A. (4,0)U(3,+8)B. (_3,0)U(0,3)C. (q,-3)U(3,+8)d. (-oo, -3)U(0, 3)答案：A.解析：联想f (x)g(x)'= f (x)g(x) + f (x)g (x)

12、,可知函数F(x) =f (x)g(x)在(8,0)内递增,又f(x), g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，F(x)为奇函数，则F(x)在(0, +8)内也为增函数.又 g(3) = 0 ,F(7) =F(3) =0 .不等式 f(x)g(x) >0的解集是(4, 0)U(3, +00).变式5. 1.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)+xf'(x)<0 ,若 f(2) =0,则不等式xf(x)A0的解集为()A.x-2<x<0 或 0 <x <2)B,xx<-2或 x >2)C.x -2<x

13、<0 或 x >2D.xx<-2或 0<x<2【答案】D.【解析】令F(x)=xf(x),则F(x)为奇函数，且当x<0时，F (x) = f (x)+xf'(x) <0恒 成立，即函数F(x)在(q,0 ), (0, +8)上单调递减，又 f(2) =0 ,则F(2) =F(2) =0 , 则 xf(x) A0 可化为 F(x)AF(2)或 F(x)>F(2),则 x<2或 0<x<2 .故选 D.点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性及导数与函数的单调性；本题的易错点在于利用函数F(x)在(_8,0)上单调递减”得到 函

14、数F(x)在R上单调递减”，忽视了下(-2) =F(0) =F(2) =0"，即函数F(x)在R上不可能单调递减.变式5. 2.已知y = f (x)为R上的连续可导函数，且 xf *(x) + f (x) > f *(x),则函数一 1 .g(x) =(x _1)f (x) +或在(1, +8。的零点个数为 .【答案】0.【解析】令函数 F (x) =xf (x) _ f (x),因为F <x) =x(x) + f (x) _r(x) >0 ,所以函数 F(x) =xf (x) f(x)在(1, +00)上单调递增，则函数 g(x)=(x 1)f (x) +/ 在

15、(1,+8)上也单 调递增，且g(1)=(1 1)f(1)+g =1 A0,故该函数在(1, +8)上无零点，应填答案 0.点评：解答本题的关键是构造函数F (x) =xf (x)-f(x),然后借助导数的有关知识判定函数g(x) =(x-1)f (x)+1的单调性，从而确定函数g(x) =(x-1)f(x)+与x轴没有一个交点，即函数的零点的个数是0.点睛：本题的求解是先借助题设条件构设函数F(x)=xf(x) f(x),然后求导借助导数值域函数单调性之间的关系判断出其单调递增函数，进而确定函数g(x) =(x -1)f (x) + 是单调递增函数，最后依据 g(1)=(1-1)f(1)+：

16、2=2>0,确点函数的零点个数使得问题获解.变式5. 3.已知定义域为 R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f'(x),当x#0时，f'(x)+f >0,若 a=f(1), b=2f(2) , c = (lnj )f 0nj ),则 a, b, c 的大小关系正 xNN确的是()A. a <c<bB. b<c<aC. a<b<cD. c<a<b【答案】D.【解析】试题分析：设 h(x)=xf(x),所以h'(x)= f (x)+xf'(x),因为y=f(x)是定义 在R上的奇函数，所以h(x)是定义在R

17、的偶函数，当x>0时，hx) = f(x) +xf x) >0 ,此 时函数 h(x)单调递增.因为 a=f(1)=h(1), b = 2f(2) =h(2),c =( ln 1 开(ln2 )=h(ln 1 ),又 2 >1 >ln：,所以 b>a >c .故选 D.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、导数在研究函数中的应用.【思路点晴】本题是函数的奇偶性、单调性、导数在函数研究中的应用等方面的综合应 用问题，属于难题.解决本题的基本思路是通过构造函数h(x) =xf (x),并对h(x)进行求导，可以发现a, b, c就是h(x)的三个函数值，

18、再根据h(x)的单调性，就可以比较出a, b, c 的大小，进而得出结论.6.设函数f(x)是奇函数f(x)(xw R )的导函数，当x>0时，lnx|_|f'(x)<_1 f(x),则 x使得(x2 -1 )f(x) >0成立的x的取值范围是()A.(1,0 以0,1)B._1以 1, +8)C.(-1,0 )U(1, +°°)D.(-OO, -1)U(0,1 )【答案】D.【解析】设 g(x) =lnx f (x),当 x >0 时，g'(x)=f(x)十Inxf'(x) <0 , g(x)在(0,十°&#

19、176;) x上为减函数，且 g(1) =0 ,当 xw(0,1 p寸，g(x) >0 ,lnx <0 , ，f(x)<0, (x2 -1) f (x) >0 ；当 xw(1,+oo)时，g(x) <0, -.lnx>0 , f(x) <0 , (x2-1)f(x)<0, f(x)为奇函数, 当 xW(1,0，寸，f(x)A0, (x21)f(x)<0 ；当 xW (oo, _1 )时，f(x)0, (x21 )f(x)>0.综上所述：使得(x2-1 )f(x) <0成立的x的取值范围是(“°, 一1 )U(0 , 1

20、)【点睛】构造函数，借助导数研究函数单调性，利用函数图像解不等式问题，是近年高考热点，怎样构造函数，主要看题目所提供的导数关系，常见的有x与f(x)的积或商，x2与f(x)的积或商，ex与f(x)的积或商，lnx与f(x)的积或商等，主要看题目给的已知条件，借助导数关系说明导数的正负，进而判断函数的单调性，再借助函数的奇偶性和特殊点，模拟函数图象，解不等式.7. f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，(x2+1 )f (x)+2xf(x) <0,且f(2)=0, 则不等式f (x) <0的解集是()A.-2 )U(2, +2B. (-2, 0以0, 2 )C. (-2,

21、0 )U(2, +oojD.2)U(0,2)【答案】C.【解析】构造函数 g(x) =(x2+1 )f(x),则 g (x) =(x2+1 f(x).又f(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x) =(x2 +1 )f(x)为奇函数，且当 x>0 时，g(x)=(x2 +1 )f'(x) +2xf(x)<0, g(x)在(0, +8)上函数单减，f (x) <0= g(x) <0 .又 g(2) =0 ,所以有 f (x) <0 的解集(N, 0 )U(2, +8).故选C.点睛：本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则及构造函数解不等式，属于难题.求

22、解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、 抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的形状”变换不等式 形状”以构造恰当的函数；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造合适的函数.8.已知函数f(x)的导函数f'(x)满足2 f (x)+xf'(x) >x2(xW R),则对寸xW R都有() 22 .A. x f (x) > 0B. x f(x) < 0C, x2f (x) -1> 0D. x2f (x) -1< 0【答案】A

23、【解析】构造函数 F(x)=x2f(x),贝U F (x) =2xf (x) +x2 f (x) =x(2 f (x) +xf (x),当 x>0 时，F (x) >x3 >0 , F(x)递增；当 x<0时，F'(x)<x3<0, F(x)递减，所以F (x) =x2 f(x)在x =0时取最小值，从而 F(x) =x2f (x) > F(0) =0,故选A .点睛：本题主要考查构造函数，常用的有：f (x) +xf (x),构造 xf (x);_22 _2xf (x)+x f (x),构造 x f(x)；22f(x) +xf (x),同样构

24、造 x f (x)；33f(x) +xf (x),构造 x f(x)；nf (x) +xf (x),构造 xnf (x)；f (x) + f (x),构造 ex f(x).等等.变式8. 1.设函数f(x)是定义在(0, +°°)上的可导函数，其导函数为f'(x),且有 2 f (x)+xf (x) >x2 ,则不等式(x2016)2f(x2016)4f(2) >0 的解集为()D. (2018, +8)A. (2014, +8)b,(0,2014)C. (0,2018)【答案】D.【解析】构造函数 g(x)=x2f(x), g'(x) =x(2

25、 f (x)+xf'(x);x>0 时， 2 f (x)+xf (x)>0 , g(x) >0 ,g(x)在(0,十8)上单调递增, (x +2016)2 f(x +2016) -4 f(2) >0 ,(x+2016)2 f(x+2016) >4f(2) ,g(x+2016) Ag(2),Jx+2016> 0, x+2016>2.解得:x> 2018.故选D.【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间 的关系是解决本题的关键.变式8. 2.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f'(x)

26、,且当x<0时,2f (x)+xf (x)<0,则不等式(x2017)2 f(x2017) f (-1)<0 的解集为 .【答案】x |x <2016 或 x >2018.【解析】由 2f (x) +xf (x) >x2(x <0),得 2xf (x) +x2f '(x) Mx3 ,即 x2 f (x)1 <x3 <0 , 令 F(x) =x2f(x),则当 x <0 时，F (x) <0,即 F(x)在(0是减函数，22F (x -2017 )=(x -2017 ) f (x -2017 ), F (-1 ) = (1

27、 ) f (-1 )= f (1),即不等式等价为 F (x _2017 )<F (_1>F(x)在, 0)是减函数，偶函数f(x)是定义在R上的可导函数，f(_x)=f(x), . F(_x)=F(x) , F(x)在(0, +8)递增，.由 F(x2017 )<F (1 )得，|x-2017 <1 , x <2016或 x >2018,故答案为x|x<2016 或 x >2018.变式8. 3.已知函数f(x)是定义在(0, +°°)的可导函数,(x)为其导函数，当x>0且x#1时，2f(x)+xf '(X&

28、#39;o，若曲线y = f(x)在x=1处的切线的斜率为 1,则fl =() x -1A. -1B. 0C. 1D. 122【答案】C.【解析】曲线y = f(x)在x=1处的切线的斜率为 1,所以f'(1) = -1，当x>0且x/1时，2f(x) +xf (x) >0,可得 x1 时,2 f (x)+xf (x) A0, 1axa0 时，2 f (x)+xf'(x)<0 , x -1令 g(x)=x2f(x), x气0,十8)1- g (x) =2xf (x)十x2 f (x) =x 12f (x) +xf (x),可得x>1时，g (x) >

29、;0 , 1ax>0时，g'(x)<0,可得函数g(x)在x=1处取得极值，g'(1)=2f(1) + f'(1)=0,f(1)=eMf'(1)=:，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义以及构造函数的应用，属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两

30、方面着手：根据导函数的形状”变换不等式 形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.9.设偶函数f(x)定义在(一士 0僧(0,2)上，其导函数为f'(x),当0<x 时，f x)cosx + f (x)sinx <0 ,则不等式 f (x) >2f (-? Jcosx 的解集为()3A.(-2,-3枳。，辛B.(Y，以(3,力23333 2C. (-3，0)U。)D. (2, Tk (-3,2)33233 2【答案】C.【解析】令g(x)=f)，因为f(x)是定义在(博，oyj(o,£)上的偶函数，所以g(x)是 cosx22定义在(一2, 0

31、 )U(0 , 2 )上的偶函数，又当 0<x <2 时，f'(x)cosx + f (x)sinx <0 ,所以g(x)=f (x)cosx：f(x)sinx<0在(0,停)上恒成立，即g(x)=f(在(0,母)上单调递减，cos2x2cosx 2f等在(一2，0 上单调递增，将 f (x) >2 f (-3 Cosx化为一( >,即 g(x) >g(3 ),则 x <-3 ,cos( 3又xW (书，0簿(0 V 所以xw(Y，0)U(0，*，即不等式f(x)>2f d posx的解集为 22333(一小，0 M0，白故选C 3

32、3点睛：本题考查利用导数研究不等式问题.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“f (x)cosx + f (x)sinx <0 "和 f (x) >2 fJcosx ” 的联系构造函数 g(x)=f(x) .3cosx变式9. 1.奇函数f (x)定义域为(式,0 »(0,兀)，其导函数是f'(x).当0cx <汽时,有 f'(x)sinx _ f (x)cosx <0 ,则关于 x 的不等式 f(x)<、2f( )sinx 的解集为 .【答案】(

33、-4,0)u(4,力【解析】令 g(x)=fnx), x 亡(一兀，0»(0, 7t),则 g(x) =f (x)sinx-f(x)cosx , sin x由条件得当0 cxen时，g'(x) <0 ,，函数g(x)在(0,兀)上单调递减.又函数g(x)为偶函数， 函数g(x)在(0,兀)上单调递增.当xW(0,兀)时，sinx >0 ,不等式f (x) <、2 f (4 Jeinx可化为f(x)f(4)兀-7 <，T <x< 町sinxsin /44当xw(一兀，0)时，sinx <0 ,不等式f (x) <V2f(4 Jsi

34、nx可化为十x<0f(x) f 4 _f -4s1nxsin 4 sin ，4综上可得不等式的解集为(-4,0 jj(铠兀)答案：(一4,0 a4，兀)点睛：对于给出含有导函数的不等式来解不等式或比较大小的问题，往往采用构造新函数的方法，然后判断出新函数的单调性，再结合单调性进行解题.在构造新函数时，要注意观察所给的不等式的特征，根据乘积、商的导数的求导法则进行构造，并根据条件中所给出 的不等式判断出所构造的函数的单调性.10.定义域为R的可导函数y = f(x)的导函数为f (x),且满足f(x) + f'(x) <0 ,则下 列关系正确的是()f (0) f(-1)f(

35、0) f (1)A. f (1) < < 2B. f(M)Ve ee eC.坨 <f(1)<叮D.斗 J><f(.1)eee e【答案】A.【解析】设 g(x) =ex f (x),则 g'(x) =ex f (x) + f'(x) <0 , g(x)在 R 上递减,g(-1)>g(0) >g(1),即 ef(1)>e°f(0) >ef(1),化为 f(1)<-f(°)- <f( ,故选 A. e e【方法点睛】本题主要利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小，属于难题.联系已知

36、条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数， 并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的 形状”变换不等式 形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.变式10. 1.定义在R上的函数f(x)与其导函数f'(x)满足f(x) + f'(x)Ae1/,则下列不等式一定成立的是()A. f(0)+e<ef(1)C. f(0) e :二

37、f(1)【答案】A.B. f(0)+e>ef(1)D. f (0) +e> f(1)【解析】由 f(x) + f (x) >6”可得 ex f (x) + f '(x) -e >0 .令 g(x) =exf (x) -ex ,则 g '(x) =ex f (x) + f *(x)-e>0 .二函数g(x)在在R上为增函数， g(1)>g(0),即 ef(1)-e>f(0), f(0) +e <ef(1).选 A.点睛：解答本题的关键是构造函数g(x) =ex f (x)-ex ,主要考查导数运算法则的逆用.根据含导函数的不等式构造

38、原函数时要注意从以下几种类型考虑：原函数是函数和差的组合；原函数是函数乘除的组合；原函数是函数与x的乘除的组合；原函数是函数与ex的乘 除的组合；原函数是函数与sinx(cosx)的乘除的组合；原函数是函数与lnx的乘除的组合.变式10. 2.设定义在R上的函数f(x)满足f'(x) + f (x) =3x=|第"，构造可导函数y=f(¥ ,然后利用该函数的性质巧妙e. ,且f (0)力,则下列 结论正确是()A. f(x)在R上单调递减B. f(x)在R上单调递增C. f(x)在R上有最大值D. f(x)在R上有最小值答案：C.解析：由 f (x)+ f (x)

39、=3x2e",得.f'(x)+f (x)ex =3x2= exf(x)+Ci' = 3x23可设 exf (x) +Ci =x.g(x)g(x) +C ,又 f (0) =0 ,则 G =C ,则 f (x)=, ef (x)=3x2 -x3x2(3 -x)f(x)在(q, 3)上递增，在(3, +8)上递减, f(x)在R上有最大值.(三)巧设«上”型可导函数g(x)“ f (x)g(x) -f(x)g(x)2g(x)当题设条件中存在或通过变形出现特征式"f'(x)g(x)-f(x)g'(x)”时，可联想、逆用解决问题.11.已知

40、定义在 R上的函数f(x), g(x),满足：f(x)0, g(x)0,且f'(x)g(x) 一 f (x)g (x) <0 .若 a , b w R" a#b,则有：()A. f(a2b )g (誓)>f(4'ab)g(而)B. f (ayb Jgtayb )<f(、aF)gQOF)C. f ayb g( ab) g ayb f( ab)D. f (a2b (.ab) <g(aib)f(xab)答案：D.解析：构造函数 F(x) =fx) ,则 F (x) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x) g(x)g2(x) f

41、 (x)g(x) -f(x)gr(x) <0,Fr(x)<0,即F (x)为减函数.又当a,bw R七a#b时，旦2bAM而， F (a-2b )<F 卜布)，即f 3 2f ab g ab又 f(x)>0 , g(x) >0 ,f(a2b g 卜 ab k f (jab g (a2b)故选D.变式11. 1设函数f (x)是奇函数f(x)(xW R)的导函数，f(1)=0,且当x>0时,xf (x) -f(x) >0 ,则使得f(x)A0成立的x的取值范围是()A. (T, 0。(1, +°°)B. (-oo, -1 )U(0,1

42、 )c. l，-1 yj(-1,0)d.(0,1)u(1,+8)【答案】A.【解析】设g(x)=上3，则g(x)的导数为：g '(x) =xf'(x)(x), xx .当 x>0 时，xf '(x) f (x) >0 ,即当x>0时，g(x)恒大于0, 当x>0时，函数g(x)为增函数, f(x)为奇函数，函数g(x)为定义域上的偶函数又g(1)=勺;0, f(x)>0 , 当 x>0 时，f (x) >0,当 x<0 时,f(x) <0, xx 当 x>0 时，g(x) >0=g(1),当 xv 0 时

43、，g(x)<0=g(_1),x>1 或一1 vxv 0.故使得f(x)A0成立的x的取值范围是(_1 , 0 )U(1 , +8),故答案为：A .点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题,可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.变式11. 2.已知函数f(x)是定义在 R上的奇函数，f(2)=0,当x>0时，有xf (x)(x)2成立，则不等式x3x f (x) 0 = x g(x) 0二f(x)>0的解集是

44、()xA. (-2,0 )U(2, +oojb (_2,0)U(0,2)C. (2, F、【答案】A.【解析】令 g(x)=f,g(x)=xf'(x),f(x)：>0(x>0)。xx. g(2)=0, g(x)为偶函数1- g(x)在(q, 0 )上单调递减.x 0g(x) 0或卜工0= g(2) g(x) ；0=g(-2)= x>2或-2<x<0,选 A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如 f'(x) _ f (x)构造萼) , f*(x)十f(x) <0

45、 e构造 g(x) =ex f (x) , xf (x) < f (x)构造 g(x)=1()xf'(x) + f (x) <0 构造 g(x) =xf (x),xxf (x) -f (x),构造 f xx)；等.变式11.3.已知f(x)是定义在 R上的偶函数，且f(x)=0 ,当x>0时，x(x)_ f(x)>0 , 则不等式xf (x )0的解集是()A. 尸，2 )U(2 , +00)B. (-2,2)C. (-2, 0 )U(2 , +0° )D.以上都不正确【答案】C.【解析】令 g(x)=",贝U当 x>0 时：g，(x)

46、 = xf (x)/(x)A0, xx即函数g(x)在(0, +8)上单调递增，由g(2) =0可得：当 x W(0, 2 )时，g(x) <0 ;当 xW(2,+8)时，g(x)A0；不等式xf (x) >0在(0, +°°p：的解集为(2, +8),同理，不等式xf(x)>0在(_oo,0)上的解集为(_2, 0 ),综上可得：不等式xf(x)A0的解集是(-2, 0)U(2, +8).变式11.4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf'(x)A f(x),若f2 0 =则不等式上凶>0的解集为() xA. x|-

47、2<x<0或0 <x <2B.汽卜<-2或*>2C. x |-2 <x <0或x >2D, x|x<20 cx <2【答案】C.【解析】设 g(x) =xf (x)则 g'(x) = xf(x) j = f (x) +xf '(x)>0 ,函数 g(x)在区间(0,十8) 上是增函数，由题 f(x)是定义在R上的偶函数，故g(x)=xf(x)是R上的奇函数，则函数 g(x)在区间(“0, 0 )上是增函数，而 f (2)=0, f(/) =0 ,即 g(2) =0 , g(/)=0,当 x>0 时，不

48、等式 上Xx) A0等价于 g(x)=xf(x)>0 ,由 g(x)>g(2),得 x>2;当 x<0时，不等式 f (x) >0等价于 g(x) =xf (x)>0 ,由 g(x)>g(-2),得-2 <x<0 , x故所求的解集为x / <x <0或x >2.故选C.12.设f(x)是函数f(x), x WR的导数，且满足xf x) -2f(x)>0 ,若ABC是锐角 三角形，则()_2 _2_2 _2A. f (sin A)sin B > f (sin B)sin AB, f(sinA)sin B<

49、f(sinB)sin A2222 -C. f (cos A)sin B a f (sin B)cos AD. f (cosA)sin B < f (sin B)cos A【答案】D.【解析】.娶=xf3；2f (x), *>0时 兽21>0, _ xx_ x上学在(0,+8代递增，又A, B, C是锐角， xA +B >2, B >-2-A, sinB >sin (2-A ), 0<cosA<sinB, .f (cosA) f (sin B) -2 <2，cos A sin B22，1- f (cosA)sin B < f (sin

50、B)cos A ,故选 D.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小，属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、 方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最 值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的形状”变换不等式 形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.13.已知函数f(x)的定义域为R ,其导函数为f(x),且满足f(x)>f'(x)对V

51、x= R恒 成立，e为自然对数的底数，则()A. e2017f(2018) <e2018f (2017)B. e2017f(2018) =e2018f(2017)-20172018C. e f(2018) e f (2017)D. e2017 f (2018)与 e2018f (2017)的大小不能确定【答案】A.【解析】设F(x)=1X), ef (x) <f (x)对于xw R恒成立,- F (x)=f (x)-f(x)<0F(x)在R上递减,且 F(2017) >F(2018),"紫)> f(220188)化简彳#到 e2017f(2018) (e

52、2018f(2017). ee故答案为：A .点睛：本题考查抽象函数的单调性的综合应用，对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解变式13.1.若函数f(x)满足f (x) f (x) =2xex(e为自然对数底数)，f(0)=1淇中(x)为f(x)的导函数，则当x>0时，上3的取值范围是()f(x)A. (q, 2B, (0,2C, (1,2D. (2 , 3【答案】C.【解析】由题意，构造函数y =娶，则=2x,所以上磔=x2+b ,

53、e _ eef (x) =(x2 +b ex,f(0) =1 , b =1 ,因止匕 f (x) =(x2+1 )exf'(x) =(x+1 j ex , f (x) =1 + 2xf(x) x 1当x >0时，1 <1约 & 2 ,当且仅当x =1时，等号成立，故选 C.x 1变式13. 2.已知函数f (x)在R上可导，其导函数为 f'(x),若f(x)满足：(x -1) If (x) -f(x) >0 , f(2 x) =f(x)e2"x ,则下列判断一定正确的是()34 .一A. f(1)<f(0) B. f(2) <ef

54、(0)C. f(3)>e f(0) D. f(4)<ef(0)【答案】C.【解析】由 f(2 -x) =f(x)e22x,得 f (22x) =_L(2 , e - e人f(x) ntt . f (x) - f(x)令 g(x) = -V 则 g(x) =( ) x( ) . eef(x)满足(x 1)f '(x) -f(x)>0 ,，当 x<1 时，f (x) - f (x) <0 . g (x) <0 .此时函数 g(x)单调递减. g(-1)>g(0) f(-1)f(0)=f(0). e- e' f(2 -x) = f(x)Je2

55、-x.4143.一. f(3) = f(1)e >e f(0)Ue =e f(0).故选：C.变式13.3.函数f(x)在定义域(0, +8)内恒满足：f(x) >0 ,2 f (x) <xf'(x) <3f (x),其中f (x)为f(x)的导函数，则()A. 1<5<1B, -3/C. 1<3” D. 1<m<4 f (2)216 f (2)83f(2)28 f (2)4【答案】D.【解析】令 g(x)=*, x0,+8), g，(x) = xf'(x)：2f(x), xx VxW(0, +8), 2f (x)<x

56、f'(x)<3f(x) ,f(x)>0 , g'(x)A0,，函数g(x)在xW(0, +8)上单调递增, g(1)<g(2),即 4f(1)<f(2), 哥 <1 ,令 h(x)=fK x0,+oo), h(x)=xf '(x)3f (x), xx Vx W(0, +oo), 2f (x) <xf'(x) <3f (x) ,h'(x)<0,二.函数 h(x)在 xWR, +8)上单调递减，h(1)>h(2),即 f(1»等，1<W, 8 '8f(2)'故选D.f (x

57、)>0得函数单调递增,点睛：本题主要考查了函数的导数与单调性的关系，即f'(x) <0得函数单调递减，解决该题最大的难点在于构造函数，难度较大；分别构造函数 g(x)=f12, XR0,十8)和令h(x) =f2 , xw(0, +8),利用导数研究其单调性即可得出结论.(四)综合运用求导法则及复合函数的求导法则，构造函数14.已知定义在 R上的奇函数f(x)的导函数为f(x),当x<0时，f(x)满足,2 f (x) +xf (x) <xf(x),则f(x)在R上的零点个数为()A. 5B. 3C. 1 或 3D. 1【答案】D.2【解析】根据题意可构造函数F(x) = x fx(x) (xv0),e则 F '(x)=2xf(x)ex x2 f (x)ex -x2f (x)exx 2 f(x) xf (x) -xf (x)x 2(e )由题当 x<0 时，f(x)满足