二次函数与分段函数

1、第六讲：分段函数与二次函数第一部分：分段函数6设函数g(x) x2 2(x R)， f(x)则 f(x)的值域是g x x 4， x<g x ，g x x， x g x ，9答案 9， 0 (2，461 (2014 山·西四校联考 )定义在R 上的函数f(x)满足 f(x)2( 8 x)，x 0，f( x 1 )f( x 2)，则 x> 0，f(3)的值为 ()A 1B 2 C2 D 2.(2015 全国 · 卷 )设函数f(x)1 log2( 2 x)，2x 1， x 1，x< 1 ，则f( 2) f(log212) (A.3B.6C.9ex 1， x&

2、lt; 1 ，D.123 (2014 ·新课标全国 卷 )设函数f(x)11x3， x 1 ，则使得f(x)2 成立的 x 的取值范围是(，8( x a) 2， x 0，4 (2014 上·海卷)设 f(x)1若 f(0)是 f(x)的最小值，则 a的取值范围为()x x a， x>.A 1， 2 B 1， 0 C 1， 2 D 0， 25 (2015 福建卷 ·)若函数f(x) x 6， x 2 ，(a> 0，且a 1)的值域是4，)，则实数a3 logax， x> 2.(1 ， 2x2 x， x< 0，6 (2014 ·浙江卷

3、 )设函数f(x)2 x ， x 0.若 f(f(a)2，则实数a 的取值范围是3x 1 ， x< 1，7.(2015 山东卷 ·)设函数f(x)x， x 1，则满足 f(f(a)2f(a)的a 取值范围是()A. 23， 1B.0， 1C.2，3，D.1 ，)8. 【 2015 高考北京，理14 】设函数2xfx4x aa? x 1?x 2a ? x 1.若 a 1 ，则 f x 的最小值为； 11若 f x 恰有 2 个零点，则实数a 的取值范围是a 1 或 a 2 .x 1,(x 0)9函数f(x)，则函数y f f(x) 1 的零点个数是.7.log2 x,(x 0)x

4、k(1a2)(x0)10 已知函数f (x) xk(1a )(x0) ，其中 a R . 若对任意的非零实数x1，x2 4x (3 a)2 (x 0)存在唯一的非零实数x2(x1 x2) ，使得f (x1)f(x2)成立，则k的取值范围为A k 0 B k 8C 0 k 8 D k 0或 k 811 已知函数f(x) mx2 (m 3)x 1 的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数 m的取值范围是.(，1 第二部分：二次函数1是否存在这样的实数a，使函数f(x) x2 (3a 2)x a 1 在区间 1， 3上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由

5、解 令 f(x)0，则 (3a2)24(a1)9a216a8 9 a9889>0恒成立，即 f(x) 0 有两个不相等的实数根，若实数a 满足条件，则只需f( 1) ·f(3) 0 即可f(1)·f(3)(13a2a 1)·(99a6a 1) 4(1 a)(5a1)0，a15或a1.检验： (1)当f(1) 0 时，a1，所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0 或x1 .方程在 1 ， 3上有两个实数根，不合题意，故a 1.12 1362 136(2)当 f(3) 0 时，a5，此时f(x)x25 x5.令f(x)0，即x25x50，解得x2或

6、x 3.方程在 1， 3上有两个实数根，不合题意，故a1.55综上所述，a 的取值范围是， 5 (1 ，)2 已知f(x) x2(a21)x (a 2)的一个零点比1 大， 一个零点比1 小， 求实数 a 的取值范围则有f(1)< 0， ( 2， 1)7设函数 f(x)3ax2 2(a c)x c(a>0， a，cR)(1)设a>c>0.若 f(x)>c22c a对 x 1 ，)恒成立，求c的取值范围；(2)函数 f(x)在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解 (1)因为二次函数f(x) 3ax2 2(a c)x c 的图象的对称轴为x a c，由条

7、件3aa>c>0 ，得2a>a c，故a c<2a 2<1 ，即二次函数f(x)的对称轴在区间1 ， )的左边，且抛3a 3a 3物线开口向上，故f(x)在 1 ， )内是增函数若 f(x)>c 2c a 对x 1 ， )恒成立，则f(x) min f(1)> c 2c a，即 a c>c 2c a，得c2 c<0，所以0<c<1.(2) 若 f(0) f·(1) c·(a c)<0，则 c<0，或a<c，二次函数f(x)在 (0,1)内只有一个零点 若 f(0) c>0， f(1)

8、a c>0，则a>c>0.f(x) 3ax2 2(a c)x c 的图象的对称轴是x a c.3a而fa c 3aa2 c2 ac3a<0，故函数 f(x)在区间 (0,1)所以函数f ( x) 在区间0， a c 和a c， 1 内各有一个零点，3a3a3若关于x 的方程22x 2xa a 1 0 有实根，求实数a 的取值范围解 法一 (换元法 )设t 2x(t>0)，则原方程可变为t2 at a 1 0， (*)原方程有实根，即方程(*)有正根令f(t) t2 at a 1. a2 4( a 1)0，若方程(*) 有两个正实根t1， t2，则t1 t2a>

9、;0，解得1<a 2 2 2；t1· t2 a 1>0 ，若方程(*) 有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则 f(0) a 1<0，解得a< 1；当a1 时，t 1， x 0 符合题意综上， a 的取值范围是(，2 2 222x 1x法二(分离变量法)由方程，解得a2x1 ，设t 2 (t>0)，t2 1 则at1t t 2 1 1 2( t 1)2t 1t 1>1 ，13(t 1)2 2 2，当且仅当t2 1 时取等号，故a 22 2.综上， a 的取值范围是(，2 2 24已知函数f(x) 4x m·2x 1 有且仅

10、有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点解 f(x) 4x m·2x 1 有且仅有一个零点，即方程(2x)2 m·2x 1 0仅有一个实根设2xt (t>0)，则t2mt10.当0，即m240， m2时，t 1； m 2 时，t1(不合题意，舍去)， 2x 1， x 0符合题意当 >0，即 m>2 或m< 2时，t2 mt 1 0有两正根或两负根，即 f(x)有两个零点或没有零点 这种情况不符合题意综上可知，m2 时， f(x)有唯一零点，该零点为x 0.5已知a 是正实数，函数f(x)2ax22x3a.如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，求

11、a 的取值范围解f(x) 2ax2 2x 3 a 的对称轴为x12a.1 当 1 ，即 2af 1 0，须使f 1 0， a 的解集为?. 当1< 1 <0，即2af 21a 0，须使2af 1 0，10 a 2时，a 5，即a 1 ，1a>12时， 3 a 0，即 2aa 1，解得a1 ， a 的取值范围是1 ， )第三部分：解答题1 已知函数f (x) x2 1 x2 kx1 )若对于区间0,内的任意x，总有f (x) 0成立，求实数k的取值范围；2)若函数f (x)在区间 0,2 内有两个不同的零点x1,x2，求：实数 k 的取值范围；11的取值范围试题解析：1)22f

12、(x) 0 x 1 x kx 0 k,x 0,1x2 1 x2,x 0,1记 g(x)x，易知 g(x) 在上 0,1 递增，在x12x ,x 1, x1, 上递减，g(x)max g 11 ， k 1 即可12) )0 x 1 时， 方程 f (x) 0化为 kx 1 0 ， k 0时， 无解； k 0时， x 1 ；kk k8) 1 x 2 时 ， 方 程 f(x) 0 化 为 2x2 kx 1 0 ， x， 而 其 中4k k2 8 k k 0 ，故 f (x) 0 在区间 1,2 内至多有一解x kk2 8 ；4441综合) ) 可知， k 0， 且 0 x 1 时， 方程 f (x)

13、 0 有一解 x ， 故 k 1 ； 1 x 2 k22时 ， 方 程 f(x) 0 也 仅 有 一 解 x， 令 12 ， 得447 k 1 ，所以实数k 的取值范围是7 k 1 ；9分221k k8方程 f (x) 0的两解分别为x11 ， x2k k 81k411kx1x2k k2 8k kk2 8kk2 82x22,42设函数f (x) ax (k 1)a x(a 0且 a 1) 是定义域为R的奇函数()求k 的值；() 若 f (1)3 ， 且 g(x) a2x a 2x 2mf (x)在 1, 上的最小值为2， 求 m的值解析： () 由题意， 对任意 x R， ， f ( x)

14、f(x)， 即 a x (k 1)axax (k 1)a x，(k 2)(ax a x) 0 因为 x为任意实数所以 k 2x x313 ) 由 ( 1 ) f(x) a a ， 因 为 f (1)， 所 以 a， 解 得 a 2 故2a2f(x) 2x 2 x， g(x) 22x 2 2x 2m(2x 2 x) ，令 t 2x 2 x，由 x 1,， 得 t ,， g(x) h(t) t2 2mt 2 (t m)2 2 m2 ，t 3 , 当 m 3 时， h(t)在 3 , 上是增函数，则h(3)2， 9 3m 22 ，222242532m (舍去) 当 m 时，则 f (m)2 ， 2

15、m 2，122m 2 ，或 m 2 (舍去) 4(2015 雅安模·拟)已知函数f(x)3ax22bxc，abc0，且f(0) ·f(1)>0.b(1)求证：2<<1；(2)若x1、x2是方程f(x)0的两个实根，求|x1x2|的取值范围a(1)证明 当a0 时， f(0) c，f(1)2bc，又bc0，则f(0)f·(1)c(2bc)c2<0 与a0，则f(0)·f(1)c(3a2bc)(ab)(2ab)>0ba 1 ba 2 <0，从而2<ba< 1.a b(2)解x1、x2是方程f(x)0的两个实根，

16、则x1x23a，x1x23a ，(x1 x2) (x1 x2) 4x1 x2. 13 232 ba 49 43 ba 432 ba2b 2a b 4 4×·3a3a 92<b< 1，1 (x1 x2)2<4，3 |x1 x2|<2，即|x1 x2|的取值范围是3， 2 .a3933335已知函数f x x2 2x x a ，其中 a R1 )求函数f x 的单调区间；2)若不等式4 f x 16在 x 1,2 上恒成立，求a的取值范围( 1) 由 f x2xa3xa2 32axa， 故当 a 0 时， f x 在 , a 和 a, xaf a a2，f