弹塑性力学第03章 ppt课件

1、第三章第三章 弹性力学平面问题弹性力学平面问题3-1 平面应力问题和平面应变问题平面应力问题和平面应变问题3-2 平面问题的应力函数解法平面问题的应力函数解法3-3 代数多项式解答代数多项式解答3-4 假设干典型实例假设干典型实例3-5平面问题的极坐标方程平面问题的极坐标方程3-6 平面轴对称应力问题平面轴对称应力问题3-7 圆孔孔边应力集中圆孔孔边应力集中3-8 楔形体问题楔形体问题3-9 半平面问题半平面问题* 3-10 Airy应力函数的物理意义应力函数的物理意义 3-1 平面应力问题和平面应变问题平面应力问题和平面应变问题 严厉说来，任何一个实践的弹性力学问题都是空间问题三维问题，从而

2、要归结为求解复杂的偏微分方程组的边值问题。但是，当弹性体的几何外形和受力情况包括约束条件具有一定特点时，只需经过适当的简化和力学的笼统处置，就可以归结为所谓的弹性力学平面问题，在数学上属于二维问题。这样处置，将使分析和计算任务量大为减少，而所得结果却仍可以满足工程上对精度的要求。 根据弹性体的外形与受力特点，弹性力学平面问题可分成平面应力问题和平面应变问题两个类型。 一、平面应力问题一、平面应力问题 由于板很薄，外力又不沿厚度方向变化，应力沿着板厚又是延续分布的，因此，可以为在板的内部，这三个应力分量是很小的，无妨近似以为在整个板内为零。0)( , 0)( , 0)(222zzxzzyzz一点

3、处的应力形状平面应力问题平面应力问题 留意到切应力互等性，可知，只剩下平行于xoy面的应力分量： 将此三个应力分量看成与z无关的、关于x，y的函数 xyyx,),(),(),(0, 0, 0321yxFyxFyxFxyyxxzyzz切应力互等定理 两相互垂直平面上的切应力数值相等，且均指向或背叛该两平面的交线，称为切应力互等定理。资料力学P61平面应力问题根本方程 在平面应力问题中，随着物理量的简化，根本方程也随之简化 。00yyxyxyxxFyxFyxyuxvyvxuxyyx)1 (2)(1)(1yxxyxyyyxxEEExyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(122or0 xzyz)

4、(yxzE及0, 畸变。这种畸变很小，并与z无关，而是x，y的函数。它可以从此式中独立地求出。 z 弹性力学的根本方程弹性力学的根本方程 普通情况普通情况22yz22y22x0y0y0 xtwFzxtvFzxtuFzyzzxzyzxxyxzxyxyuxvwxwzuyvzvywuzyxxyxzyz ,z , ,xxyxyyxzxzxzzxyyzyzzyxEEEEEE12 ,112 ,112 ,1zyxxyzxzyyzxGGGGGGxyzxzyyzx ,2 ,2 ,2平衡运动微分方程平衡运动微分方程 几何方程几何方程应变和位移的关系应变和位移的关系 物理方程物理方程应力和应变的关系应力和应变的关系

5、 平面应力问题的应变协调方程 问题：平面应力问题的以应力表示的应变协调方程 类似三维问题重新推导，能否直接用三维的结论简化而来？yxyxxy22x22y2yFxFyxyx)1 ()(222222yx应变协调方程普通情况)yxzyxzzxzyxyzyzyxxyxyxzxxzzyzyzxyxzyzyxyxzyzxxyxzyzxyxyxzzxyzyz222222222222222222222yxzyxzzxzyxyzyzyxxyxyxzxxzzyzyzxyxzyzyxyxzyzxxyxzyzxyxyxzzxyzyz222222222222222222222xyxyyxzxzxzzxyyzyzzyxE

6、EEEEE12 ,112 ,112 ,1zyxxyxyzzxzxzyyyzyzxxEEEEEEEEE)1 (2,1)1 (2,1)1 (2,1zyzyzyyzyz2222222221应力解法应力解法 以应力表示的应变以应力表示的应变协调方程普通情况协调方程普通情况mlfmlfyxyyyxxx静力边境条件 应力边境条件普通情况应力边境条件普通情况 nmlfnmlfnmlfzyzxzzzyyxyyzxyxxx二、平面应变问题二、平面应变问题 调查图示水坝或受内压的圆筒，它们是母线与Oz轴平行且很长的柱体，所受膂力和面力垂直于Oz轴，而且沿该轴方向均匀分布。对于这类物体，无妨以为沿z方向是无限长的。

7、因此，柱体的恣意一个垂直于z轴的横截面都可以看成对称截面，在对称截面上的每一点只能在其本身平面与xOy平面平行内挪动，而沿z方向的位移w为零，因此在整个柱体内有w=0，由此在恣意横截面内，沿x轴和y轴方向的位移分量u及v均与z无关，位移分量就简化为0),(),(wyxvvyxuu平面应变问题几何方程平面应变问题几何方程 ),(),(),(321yxfyuxvyxfyvyxfxuxyyx000 xwzuzvywzwxzyzz平面应变问题的应力分量平面应变问题的应力分量 yz =xz = 0 0)(1yxzzE)(yxz z在平面应变问题中不为零 。z的存在阐明了沿z方向无限长的柱体的假设限制了每

8、一个横截面的纵向位移。当柱体遭到垂直于z轴的外力作用时，这些横载面之间必然会产生挤压力z，由于z为应力分量x与y的一种组合，因此它不是独立的未知量，在求得x和y后，可由上式单独求解，而根本方程中不包含z。 xyxyyxzxzxzzxyyzyzzyxEvvEEvvEEvvE12 ,112 ,112 ,1zyx将上式代入物理方程 )(yxz1,1121EE并令EE1111不难证明 从而可得平面应变问题的物理方程 。平面应变问题的物理方程 orxyxyxyyyxxEEE111111)1 (2)(1)(1xyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(11112111211平面应变问题的根本方程中，平衡

9、微分方程及几何方程与平面应力问题一样，两类平面问题的物理方程的区别，就在于弹性常数E1，v1与E，v的不同。平面应变问题的应变协调方程平面应变问题的应变协调方程经简化得：yFxFyxyx11)(2)(11)()1 ()(2平面应变平面应力yFxFyFxFyxyxyx22222yx两类平面问题根本方程的比较 平面应变问题的根本方程中，平衡微分方程及几何方程与平面应力方程一样，两类平面问题的物理方程的区别在于 E1 、v1与E、v不同。 应力解法那么以应力分量作为根本未知量，前面已说过，应力分量必需满足平衡微分方程以及静力边境条件，这是保证物体的平衡的充要条件，但这仅仅是静力上能够的平衡，不是实践

10、存在的平衡，这组应力分量也不一定是真正的应力，而真正的应力不仅要满足平衡微分方程与静力边境条件，还要求与这组应力分量相应的应变分量满足应变协调方程，这样才干既满足了物体的平衡又满足了物体的延续，由此可知，应变协调方程在应力解法中是非常重要的。以应力表示应变的物理方程代入应变协调方程式中，得到以应力表示的协调方程。 3-2 平面问题的应力函数解法平面问题的应力函数解法3-2 平面问题的应力函数解法平面问题的应力函数解法对于常膂力的情况00yyxyxyxxFyxFyx0)(yx2 此式阐明：只需膂力为常量，两类平面问题的应力协调方程是无区别的，通常称此式为莱维Lvy方程。 (a)(c)根本方程齐次

11、方程解与恣意特解之和0yx0yxyxyyxx首先求齐次方程通解引入两函数Ax，y与Bx，y，并假定 xA,yAyxxxB,yByxyyxxyyBxA由于所以yxxy2xy22y22xyBxA为了使此式成立，再引入一个关于x，y的恣意函数xB,yAyxxy2xy22y22x方程a的恣意一组特解，如 00yyxyxyxxFyxFyx0,xyyyxxyFxF(a)便求得方程a的通解 由式3-10可知，不论是什么函数，只需四阶延续可导，由此求得的应力分量总是满足平衡微分方程a的。(3-10)yxyFxxFyxyyyxx22222), 0, 0(yxxyyxxFyF 将式3-10前两式代入方程c，那么得

12、到0)(yx2(3-10)(c)yxyFxxFyxyyyxx222220yyx2x442244422(3-11)方程3-11称为双调和方程， 函数x，y为双调和函数，又称艾雷Airy应力函数。 mFylyxfmyxlFyfyyxx222222(3-12)静力边境条件可表示为 双调和方程的边值问题双调和方程的边值问题小结 平衡方程、应变协调方程以及边境条件中均不含资料常数。这就是说，不同资料的物体，只需它们的几何条件、荷载条件一样，那么不论其为平面应力问题或平面应变问题，它们在平面内的应力分布规律是一样的。这一结论为模型实验例如光弹性实验等提供了实际根底。该当留意，以上两种情况的应力z、应变和位

13、移是不一样的。 3-2 平面问题的应力函数解法平面问题的应力函数解法00yyxyxyxxFyxFyx0)(yx2(a)常膂力根本方程齐次方程通解与恣意特解之和齐次方程解0yx0yxyxyyxxyxxy2xy22y22x特解0,xyyyxxyFxF), 0, 0(yxxyyxxFyF yxyFxxFyxyyyxx222220223-3 代数多项式解答代数多项式解答 逆解法(假定不计膂力，分别以幂次不同的多项式作为应力函数) 1取一次多项式为应力函数，即令 = a0 + a1x + b1y 显然，该函数满足双调和方程式3-11，并对应于无应力形状 由此可见，在应力函数中，一次多项式可以删去，由于它

14、不影呼应力分量的值。 0yx, 0 x, 0y2xy22y22x逆解法 逆解法即先按某种方法给出一组满足全部根本方程的应力分量或位移分量，然后调查在确定的坐标系下，对于外形和几何尺寸完全确定的物体，当其外表受什么样的面力作用或具有什么样的位移时，才干得到这组解答。 2. 取二次多项式为应力函数 = a2x2 + b2xy + c2y2 满足 对应的应力分量为 常应力形状 02222xy222y222xbyx,a2x,c2y3. 取三次多项式为应力函数= a3x3 + b3x2y + c3xy2+d3y3 0yx, 0 x, yd6y2xy22y322x验证！如知上述梁两端遭到弯矩M的作用，但不

15、知详细分布的方式，那么根据部分性原理 2h2h22h2h3xdyyd6ydyM33hM2d 圣维南原理圣维南原理 在求解弹性力学问题时，应力分量、应变分量在求解弹性力学问题时，应力分量、应变分量和位移分量等必需满足区域内的三套根本方程和边和位移分量等必需满足区域内的三套根本方程和边境上的边境条件，因此，弹性力学问题属于数学物境上的边境条件，因此，弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题。实践中要使边境条件得到完理方程中的边值问题。实践中要使边境条件得到完全满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理全满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化部分边境放松边境条件上的应力边境可为简化部分边

16、境放松边境条件上的应力边境条件提供方便。条件提供方便。 表述表述1：假设在物体任一小部分上作用一个平衡力：假设在物体任一小部分上作用一个平衡力系，那么该平衡力系在物体内所产生的应力分布仅系，那么该平衡力系在物体内所产生的应力分布仅局限于该力系作用的附近区域，在离该区域的相当局限于该力系作用的附近区域，在离该区域的相当远处，这种影响便急剧地减小。这就是圣维南原理，远处，这种影响便急剧地减小。这就是圣维南原理，或称为部分性原理。或称为部分性原理。 圣维南原理 表述2：假设把作用在物体部分边境上的面力，用另一组与它静力等效即有一样的主矢量和主矩的力系来替代，那么在力系作用区域附近的应力分布将有显著的

17、改动，但在远处所受的影响可以不计。4. 取四次多项式为应力函数 44342243444yexydyxcyxbxa该函数代入双调和方程后得到 3a4+c4+3e4=0 3444cae444342243444y3caxydyxcyxbxa如今仅以其中的一项为例，即取 34xyd242xy22y422xyd3yx, 0 x,xyd6y3-163-4 3-4 假设干典型实例假设干典型实例 在工程实践中，经常是针对给定的问题进展求解的，这就要运用半逆解法。 一悬臂梁端部受切向集中力(凑取多项式) 二悬臂梁受均匀分布荷载作用(分析物体受力特点) 三简支梁受均布荷载(将资料力学的一些结果加以修正) 四三角形

18、水坝(量纲分析法) 半逆解法 所谓半逆解法，即对于给定的问题，根据弹性体的几何外形、受力特点或资料力学知的初等结果，假设一部分应力分量或位移分量为知，然后由根本方程求出其他量，把这些量合在一同来凑合知的边境条件。另外，半逆解法也可以了解为针对给定的问题，假设全部的应力分量或位移分量作为知，然后校核这些假设的量能否满足弹性力学的根本方程和边境条件。 一悬臂梁端部受切向集中力一悬臂梁端部受切向集中力设有图示悬臂梁，长为L，高为h，宽度取一个单位，在自在端遭到向下的切向分布力作用，合力大小为P，不计膂力。求它的应力和位移。 这是一个平面应力问题. 运用凑取幂次不同的多项式作为应力函数。从上一节可知，

19、对式3-16所示的应力函数，梁边境上相应的面力与此题的情况大致一样，独一的区别是比此题悬臂梁上、下外表多了均布切应力，为了消除这部分切应力，无妨在式3-16的根底上，加上一个与纯剪相应的应力函数b2xy.1.设应力函数xybxyd2342.验证能否满足双调和方程验证能否满足双调和方程 3.应力分量应力分量 2422xy22y422xyd3byx0 x,xyd6y4.4.边境条件边境条件0)( , 0)(2hyxy2hyy而在自在端x=0处，可以利用圣维南原理，放松边境条件，由于 在x=0正好为零，因此只须写出 xPyhhxxyd220)(Ph4dhb0hd43b342242342hP2d,hP

20、23b满足全部方程和边境条件，即为问题的解，显然，它与资料力学结果是一致的。 5.5.求位移分量求位移分量 23y3x6230 xyh12yhPhPPxy12hJ32822yhGJPyuxvxyEJPyvxyEJPxu)(2)(222xgxyEJPvyfyxEJPuGJPhyGJPyEJPyyfEJPxxxg822)(2)(2222ddddbGJPyEJPyyyfaEJPxxxg22)(2)(222ddddGJPhba82caxEJPxxg6)(3dbyEJPyGJPyyf66)(332822yhGJPxyEJPxyEJPxyyxcaxEJPxxyEJPvdbyEJPyGJPyyxEJPu62

21、66232332其中，a，b，c，d由约束条件以及式j关系式确定，而悬臂梁固定端的约束条件并不是独一的，假设： GJPhba82(j)0, 0)()(000ylxylxylxxvvu03232d ,EJPLc ,EJPLaEJPLGJPhb2822EJPLEJxPLEJPxEJPxyvyEJPLGJPhGJPyEJPyEJyPxu326228662223223332梁的轴线的挠度方程由y=0得 EJPLEJxPLEJPxxv326)0 ,(323二悬臂梁受均匀分布荷载作用二悬臂梁受均匀分布荷载作用 图示悬臂梁的上外表遭到均匀分布的荷载的作用，不计自重。 这个问题可经过分析物体受力特点来求出应力

22、函数。受横力弯曲梁内的应力分量主要分别由弯矩、挤压力及剪力引起。题设挤压力q沿x方向均匀分布，因此，无妨假定挤压应力分量与坐标x无关，即 )(yfy)(22yfx)()()(2)()(2121yfyxfyfxyfyxfx0dy)y(fd2dy)y(fdxdy)y(fdxdy)y(fd2122424414244代入0yyx2x442244422 2242441444dyyfd2dy)y(fd0dy)y(fd0dy)y(fd为了满足双调和方程对于梁内x的一切值都必需成立的要求，只能令 2345223123KyHyy6By10A)y(fGyFyEy)y(fDCyByAy)y(f23452323261

23、0)()(2KyHyyByAGyFyEyxDCyByAyx曾经删去了不影呼应力值的一次项与常数项。)23()23(2622)26()26(2222232223222GFyEyCByAyxyxDCyByAyxKHyByAyFEyxBAyxyxyyx边境条件 0)( , 0)(0)( ,)(2222hyxyhyyhyxyhyyq0dy)(0dy)(y0dy)(2h2h0 xxy2h2h0 xx2h2h0 xx2qD,h2q3C, 0B,hq2A3h10qH, 0KGFEx)4hy(J2qhy4hy312qy10hy32J2qJ2yqx22xy33y232xxy与资料力学结果一样，而x比资料力学结果

24、添加了一个修正项，y在资料力学中是忽略不计的，当梁比较细长时，这些差别是可以忽略的。 三简支梁受均布荷载三简支梁受均布荷载图示所求的简支梁受均匀图示所求的简支梁受均匀分布荷载作用为例，不计自分布荷载作用为例，不计自重。重。将资料力学的一些结果加将资料力学的一些结果加以修正，以满足全部的方程以修正，以满足全部的方程与全部边境条件，这也是一与全部边境条件，这也是一条求解的途径。条求解的途径。这个问题按照资料力学这个问题按照资料力学的解为的解为 22xyy22xy4hJ2qx0yx4LJ2q式a中y=0的结果显然不满足边境条件:也不会满足弹性力学全部根本方程，只能放弃。而将剩下的两个应力分量写成普遍

25、的方式来凑取应力函数，设 22xyy22xy4hJ2qx0yx4LJ2q(a)q)(2hyyyBxAy2x2xyDxyCx22222DxyCxyxyBxAyy322xy22322y3222xx6FCxBxyyxyx2F)x(fCyy3Bxy6FB4yBxAyy边境条件 0)( , 0)(0)( ,)(2222hyxyhyyhyxyhyyq2222222222)(0)(0)(hhLxxyhhLxxhhLxxqLyyyyddd式1的第一、第三式已满足(l)223xy2y22223xy4hxhq6hy21hy12q53hy4hyqyx4Lhq6式3-20与资料力学结果相比较，只需 是一样的，而 在资

26、料力学的解中为零， 的第一项为主要项，第二项为修正项，在细长的梁中，修正项占的比例不大，但当梁的长高之比减少时，修正将变得明显。3-20 xyyx四三角形水坝四三角形水坝如下图，水坝截面被看成沿下端伸向无穷，其外形由一个无量纲的角来确定。平面应变问题用量纲分析法来求应力函数。假设水坝遭到水的压力和自重的作用，水和坝的密度分别为和1，在线弹性力学范围内，应力分量必然与g和1g成正比，它们的量纲为力长度-3。假定本问题有多项式解，其函数方式必为 ),(),(211yxgNyxgN式a所示的应力分量的量纲一定是力长度-2 ，从而可以判别N1，N2必定是x，y的一次幂函数式。可以确定应力函数必为x，y

27、的三次多项式，即取 a3223y6Dxy2Cyx2Bx6A* *3-5 Airy3-5 Airy应力函数的物理意义应力函数的物理意义 存在问题：在解题的过程中找应力函数的盲存在问题：在解题的过程中找应力函数的盲目性较大目性较大 一、艾里应力函数及其一阶偏导数在平面物一、艾里应力函数及其一阶偏导数在平面物体内恣意一点上的物理意义体内恣意一点上的物理意义 二、采用边境二、采用边境 及其导数的力学意义来选择及其导数的力学意义来选择应力函数应力函数 一、艾里应力函数的物理意义一、艾里应力函数的物理意义mxlyxmlfmyxlymlfyxynyyxxnx222222不计膂力dsdycosldsdxsin

28、mxssyyxsxxfyssxyxsyyfnynxdddddddddddd222222BAnyABBAnxABsfxxsfyydd应力函数的物理意义应力函数的物理意义BABByydsfxxdsfyBABxdsfxdsfyBAyBBAxBBAnyABBAnxABsfxxsfyydddyydxxd 例1 单位厚度的薄板受力如下图，现分别求A及D为起始点时的边境上的 及其导数，以及域内的应力函数及应力，并进展比较。 ABCDxyapbp二、采用边境二、采用边境 及其导数的力学及其导数的力学意义来选择应力函数意义来选择应力函数BABByydsfxxdsfyBABxdsfxdsfyBAyBBAxBABC

29、Dxyapbp以A为起始点，令 AB边：B点：BC边：C点 ABCDxyapbp0AAAyx0, 0, 0yx. 0, 0, 0BBByx.2)(2)(2ybpybybp).(, 0ybpyxABCDxyp(b-y)22p(b-y)222pb22pb22)(21ybp2pb22pb22py22py2xyACDB222py 由以上分析可知，由于起始点的不同，应力函数值亦不一样，但仅相差的线性项，所以其所求应力结果一样。 解题步骤 1. 根据边境上 及其导数来选择应力函数。 2. 代入双调和方程。 3. 根据边境条件定积分常数。 4. 由求得的应力函数求应力分量。 5. 由应力分量求应变分量。 6

30、.由应变分量求位移分量。 3-6 平面问题的极坐标方程 对于曲梁、圆筒及扇形构件，假设用直角坐标求解，必然带来求解的难度。如用极坐标r，替代直角坐标x，y，可以使得求解带来不少方便。下面要一一建立极坐标表示的根本方程。 一平衡微分方程 0Fr2r1r0Frr1rrrrrrr厚度为一个单位。r，坐标的正方向按图示箭头方向规定r由坐标原点O向外为正，由x轴正向沿第一象限向y轴正向旋转为正 2d2dsin12dcos二几何方程 ruruurruurrurrrrr11 3-23第一式易得。3-23ruruurruurrurrrrr11普通是有两种缘由引起的：1.ur0，u=0 线段AB的伸长率2.ur

31、=0，u0 rurrurrrddd)(ursu1环向正应变环向正应变ruruurruurrurrrrr11 表示环向微段AB向r方向转过的角度切应变切应变)(rrrursu1 表示径向微段AC向方向转过的角度ruru参考吴参考吴3-13-1节节 P34P34式式(d)(d)xvyxyuxy从x轴正向向y轴正向转动几何意义？三物理方程 对平面应变问题，只须将式3-24中的E、分别改成 和 。 3-2421ErrrrrEEE)1 (2)(1)(11四莱维Lvy方程 采取数学上的处置 0)(yx22222222222r1rr1ryx0)(r1rr1rr22222五应力函数与双调和方程五应力函数与双调

32、和方程 可以验证3-26式表示应力满足平衡微分方程 0r1rr1rr1rr1r2222222222r1rr1rr1rr1rr122rr22222r3-26 3-7 平面轴对称应力问题平面轴对称应力问题 一、轴对称应力和相应的位移一、轴对称应力和相应的位移 二、厚壁圆筒内外壁受均布压力二、厚壁圆筒内外壁受均布压力 三、曲梁的纯弯曲三、曲梁的纯弯曲 一、轴对称应力和相应的位移一、轴对称应力和相应的位移 在工程上经常会出现构件遭到的外力关于坐标原点对称问题，因此可以假设应力函数 和 无关，即 ) r (0drdr1drddrdr1drd22220drdrdrdrdrdr2drdr222333444展

33、开式a并在等式两边乘以r4，便得到欧拉Euler方程：a0drdrdrdrdrdr2drdr222333444设 ter nr1t or0dtd4dtd4dtd223344DCeBteAt) t (t2t2通解轴对称应力轴对称应力 应力分量应力分量均与均与无关无关 与轴对称应力对应的位与轴对称应力对应的位移不一定是轴对称的。移不一定是轴对称的。 02)ln23(2)ln21 (12222rrCrBrArCrBrArrdddd位移分量： sincos4cossin)1 (2) 1(ln)1 (2)31 ()1 (1KIHrEBruKICrrBrBrrAEurI，K，H与刚体位移有关 。式3-29

34、证明了应力轴对称并不表示位移也一定是轴对称的，而只需当物体的几何外形和受力情况均是轴对称的，位移才是轴对称的，而在此时环向位移u不论r，为何值都得为零，由式3-29的第二式得到 B=H=I=K=0 在这种情况下，应力分量那么为 3-2902222rrrCrACrA02222rrrCrACrA而位移分量为 以上公式适宜于平面应力问题，对于平面应变问题，只须让E1,1替代上述公式中的E， 即可。 3-30 3-31 0)1 (2)1 (1uCrrAEur二、厚壁圆筒内外壁受均布压力二、厚壁圆筒内外壁受均布压力 调查内径为2a、外径为2b的很长圆筒，在圆筒内外壁分别遭到均匀分布压力q1和q2的作用。

35、 几何外形与受力都关于坐标原点O对称。 平面应变问题。边境条件 21)(,)(qqbrrarr02222rrrCrACrA3-30)(2,)(222221221222abbqaqCabqqbaA022221221222222222122122222rrrabqbqarqqabbaabqbqarqqabbaq2=0，圆筒只受内壁压力时 22221222221211rbabqarbabqar0r0三、曲梁的纯弯曲三、曲梁的纯弯曲 图示曲梁，内半径为a，外半径为b，两端受弯矩M的作用。 由于梁的每一个径向截面遭到的弯矩都是M，显然属于应力轴对称问题，但曲梁的几何外形不对称于O点，位移分量是非轴对称的

36、。0C2) rln23(BrAC2) rln21 (BrArr22r边境条件 0)( , 0)(0)( , 0)(brrbrrarrarrMrrrbabadd, 0)lnln(2)(2ln422222222aabbabNMCabNMBabbaNMA222222ln4)(abbaabN0lnlnln4lnlnln4222222222222rrrabraabrbabrbaNMraarbbabrbaNM求位移分量角从曲梁的某一端量起 0ru, 0)u(, 0)u(000rr0rr0rr0r3-8 圆孔孔边应力集中圆孔孔边应力集中 设有一个在设有一个在x x方向接受均匀拉伸拉应力为方向接受均匀拉伸拉应

37、力为的平板，板中有半径为的平板，板中有半径为a a的小圆孔如下图。如的小圆孔如下图。如今来分析小圆孔对附近应力分布的影响。今来分析小圆孔对附近应力分布的影响。 以极坐标来求解。以极坐标来求解。 假设在距圆孔中心间隔为假设在距圆孔中心间隔为bba的圆周上，的圆周上，小圆孔的影响可以忽略。于是有小圆孔的影响可以忽略。于是有 即即0, 0,xyyx2sin2)()2cos1 (2cos)(brr2brra 式a阐明：圆周b上的应力可以分两个部分来计算，最后进展叠加。 2sin2)()2cos1 (2cos)(brr2brra 1圆周上受径向正应力，而孔壁径向应力为零，即 0)(,2)(arrbrr2

38、外圆周上遭到随变化的法向力和切向力的作用 2cos2)(brr2sin2)(brr2cos) r (f设0)1(2)1(22222rrrrara0dr) r (dfr9dr) r (fdr9dr) r (fdr2dr) r (fdr2223334442cosDrCBrAr2422sinrD2rC6Br6A2r1r2cosrC6Br12A2r2cosrD4rC6A2r1rr1242r422224222r边境条件 2sin2)(,2cos2)(0)(, 0)(brrbrrarrarr2sin23122cos312122cos43121222444422224422rarararararararr叠加得 孔边 3)()(23,2max2cos2, 0而rr3)(KmaxK称为应力集中系数。可以证明，板条双向均匀受拉时，K=2。 3-9 楔形体问题楔形体问题 量纲分析法量纲分析法 一、楔形体顶部受集中力一、楔形体顶部受集中力P P的作用的作用 二、楔形体顶部受力偶二、楔形体顶部受力偶M M的作用的作用 平面问题平面问题 一、楔形体顶部受集中力一、楔形体顶部受集中力P P的作用的作用 P作为沿z方向单位厚度上的力，其量纲应为力长度-1。应力分量应与P成正比，并和无量纲量，以及r有关。应力函