第9次课习题课学习教案

1、会计学1第第9次课习题课次课习题课第一页，共53页。.,)1( ), 2 , 1;, 2 , 1(212222111211矩阵矩阵简称简称列矩阵列矩阵行行叫做叫做列的数表列的数表行行排成排成个数个数由由nmnmaaaaaaaaaAnmnjmianmmnmmnnij 第1页/共52页第二页，共53页。.,复复矩矩阵阵元元素素是是复复数数的的矩矩阵阵叫叫做做实实矩矩阵阵元元素素是是实实数数的的矩矩阵阵叫叫做做列列元元素素行行第第的的第第阵阵叫叫做做矩矩的的元元素素个个数数叫叫做做矩矩阵阵其其中中jiAaAnmij .),()( )1(AAnmaAaAnmijijnm 也记作也记作矩阵矩阵或或式可简

2、记为式可简记为第2页/共52页第三页，共53页。.)(;2121行行矩矩阵阵叫叫做做只只有有一一行行的的矩矩阵阵叫叫做做列列矩矩阵阵只只有有一一列列的的矩矩阵阵aaaAaaaAnm .,)1(阶方阵阶方阵称为称为时时当当式式对对nAnm 第3页/共52页第四页，共53页。两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等(xingdng)、列数也相等、列数也相等(xingdng)时，就称时，就称它们是同型矩阵它们是同型矩阵.,)., 2 , 1;, 2 , 1(,)()(BABAnjmibabBaAijijijij 记记作作相相等等与与矩矩阵阵那那么么就就称称矩矩阵阵即即们们的的对对应应元元素素相相等等并并

3、且且它它是是同同型型矩矩阵阵与与如如果果第4页/共52页第五页，共53页。.,O记作记作零矩阵零矩阵元素都是零的矩阵称为元素都是零的矩阵称为., 1 Enn简记作简记作阶单位阵阶单位阵叫做叫做阶方阵阶方阵其余元素都是零的其余元素都是零的主对角线上的元素都是主对角线上的元素都是第5页/共52页第六页，共53页。.,)( ,)(,)(的的和和与与称称为为矩矩阵阵加加法法定定义义为为为为两两个个同同型型矩矩阵阵设设BABAbaBAbBaAijijnmijnmijnm 交换律交换律结合律结合律).( ,)(,),(),(BABAOAAAAaAaAijij 并并规规定定从从而而有有负负矩矩阵阵的的称称为

4、为矩矩阵阵记记设设ABBA )()(CBACBA 第6页/共52页第七页，共53页。).(,aAAAAAij 规定为规定为或或的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数运算运算(yn sun)规律规律);()(AA ;)(AAA .)(BABA 第7页/共52页第八页，共53页。.), 2 , 1;, 2 , 1(,)(,)(,)(12211ABCnjmibabababaccCnmBAbBaAskkjiksjisjijiijijnmijnsijsm 记记作作其其中中矩矩阵阵是是一一个个的的乘乘积积与与规规定定设设第8页/共52页第九页，共53页。运算运算(yn sun)规律规律);()(BCACAB

5、 );(),()()(为数为数其中其中 BABAAB ;)(,)(CABAACBACABCBA .EAAAEnnmnmnmm 第9页/共52页第十页，共53页。n阶方阵阶方阵(fn zhn)的幂的幂.,111121是正整数是正整数其中其中定义定义阶方阵阶方阵是是设设kAAAAAAAAnAkk .,)(, 为正整数为正整数其中其中lkAAAAAklkllklk .)(BAABkkk 一般地一般地第10页/共52页第十一页，共53页。方阵方阵(fn zhn)的行列式的行列式.det,AAAAn或或记记作作的的行行列列式式阵阵叫叫做做方方的的元元素素所所构构成成的的行行列列式式阶阶方方阵阵由由运算运

6、算(yn sun)规律规律.;,BAABAAnBAn 则则阶方阵阶方阵为为为数为数设设第11页/共52页第十二页，共53页。转置转置(zhun zh)矩阵矩阵.,AAAT记记作作的的转转置置矩矩阵阵叫叫做做阵阵到到一一个个新新矩矩的的行行换换成成同同序序数数的的列列得得把把矩矩阵阵.)(;)(;)(;)(ABABAABABAAATTTTTTTTTT 第12页/共52页第十三页，共53页。对称对称(duchn)矩阵矩阵.,为对称矩阵为对称矩阵则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设AAAnAT 反对反对(fndu)称矩阵称矩阵.,矩阵矩阵为反对称为反对称则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设AAAnA

7、T 幂等矩阵幂等矩阵(j zhn).,2为幂等矩阵为幂等矩阵则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设AAAnA 第13页/共52页第十四页，共53页。正交矩阵正交矩阵(j zhn).,正交矩阵正交矩阵为为则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设AEAAAAnATT 对角对角(du jio)矩阵矩阵.,为对角矩阵为对角矩阵则称则称素全为零素全为零其余元其余元如果除了主对角线以外如果除了主对角线以外阶方阵阶方阵为为设设AnA对合矩阵对合矩阵(j zhn).,2为对合矩阵为对合矩阵则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设AEAnA 第14页/共52页第十五页，共53页。上三角上三角(snjio)矩阵矩阵主对角线

8、以下的元素主对角线以下的元素(yun s)全为零的方阵称为上三全为零的方阵称为上三角矩阵角矩阵下三角下三角(snjio)矩阵矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵角矩阵第15页/共52页第十六页，共53页。伴随伴随(bn su)矩阵矩阵. 212221212111的伴随矩阵的伴随矩阵叫做方阵叫做方阵方阵方阵所构成的所构成的的各元素的代数余子式的各元素的代数余子式行列式行列式AAAAAAAAAAAAAnnnnnnij .:EAAAAA 伴随矩阵具有重要性质伴随矩阵具有重要性质第16页/共52页第十七页，共53页。定义定义(dngy)., 1AAAA

9、 矩矩阵阵记记作作的的逆逆的的逆逆矩矩阵阵是是唯唯一一的的则则有有逆逆矩矩阵阵若若.),( , 的逆矩阵的逆矩阵称为称为且矩阵且矩阵秩的秩的、满、满或非奇异的、非退化的或非奇异的、非退化的是可逆的是可逆的则称矩阵则称矩阵使使如果存在矩阵如果存在矩阵阶方阵阶方阵为为设设ABAEBAABBnA 第17页/共52页第十八页，共53页。相关相关(xinggun)定理及性质定理及性质. 0 AA可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是方阵方阵.,1AAAA 则则可逆可逆若矩阵若矩阵.)()();0(1)( ;)(111111AAAAAATT .)( ,111ABABABBA 且且也可逆也可逆那么那么都可

10、逆都可逆与与若同阶方阵若同阶方阵第18页/共52页第十九页，共53页。矩阵矩阵(j zhn)的分块，主要目的在于简化运算及便于的分块，主要目的在于简化运算及便于论证论证分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则(guz)与普通矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则(guz)相类似相类似第19页/共52页第二十页，共53页。一、矩阵一、矩阵(j zhn)的运算的运算二、逆矩阵的运算二、逆矩阵的运算(yn sun)及证明及证明三、矩阵三、矩阵(j zhn)的分块运算的分块运算第20页/共52页第二十一页，共53页。例计算例计算(j sun) nnnnnnnnnnnnnnn11111111112第21页/共5

11、2页第二十二页，共53页。解解 11111111112nnnn nnnnnnnnnnnnnnn11111111112第22页/共52页第二十三页，共53页。 111111111122nnnn )1()1()1(12nnnnnnnnnnnnn第23页/共52页第二十四页，共53页。.,2是幂等矩阵是幂等矩阵所以所以在此例中在此例中AAA nnnnnnnnnnnn111111111第24页/共52页第二十五页，共53页。. 0)(,)(, AfAEfdcbaA并并验验证证多多项项式式的的写写成成试试将将设设 解解,)()(2bcaddadcbaAEf 由此得由此得EbcadAdaAAf)()()(

12、2 例例第25页/共52页第二十六页，共53页。 1001)()(22bcaddcbadadbccdacbdabbca,0000 . 0)( Af即即第26页/共52页第二十七页，共53页。例例.)0(的逆矩阵的逆矩阵求求 bcaddcba解解方法方法(fngf)一用定义求逆阵一用定义求逆阵,43211 xxxxA设设得得由由,1EAA 第27页/共52页第二十八页，共53页。,10014321 xxxxdcba . 1, 0, 0, 142423131xdxcxbxaxdxcxbxa则有则有 .,4321bcadaxbcadcxbcadbxbcaddx解得解得第28页/共52页第二十九页，共

13、53页。.11 acbdbcadA注注., 元方程组元方程组矩阵的各列的矩阵的各列的同而常数项分别为单位同而常数项分别为单位个系数相个系数相实质上是求解实质上是求解的逆的逆依定义求依定义求nnA第29页/共52页第三十页，共53页。.,:,的的逆逆矩矩阵阵即即可可得得的的每每一一个个元元素素去去除除最最后后用用符符号号再再将将次次对对角角元元素素调调换换其其置置位位中中的的主主对对角角元元素素调调换换其其先先将将矩矩阵阵其其做做法法是是的的方方法法两两调调一一除除求求二二阶阶矩矩阵阵逆逆矩矩阵阵可可用用AAAA.,bcadAdcbaA 方法方法(fngf)二二第30页/共52页第三十一页，共5

14、3页。A调换主对角元调换主对角元次对角元调符号次对角元调符号 acbd去除去除用用 A,1 acbdA.11 acbdbcadA注此法仅适用于二阶矩阵注此法仅适用于二阶矩阵(j zhn)，对二阶以上的，对二阶以上的矩阵矩阵(j zhn)不适用不适用 acbd第31页/共52页第三十二页，共53页。分析分析(fnx).,),(,.,11111交交换换律律因因为为矩矩阵阵的的乘乘法法不不满满足足而而不不能能右右乘乘即即得得乘乘这这时时将将方方程程两两边边同同时时左左程程方方可可逆逆时时才才可可解解这这个个矩矩阵阵只只有有程程可可以以不不写写出出这这个个过过是是否否可可逆逆要要先先考考察察例例如如解

15、解关关系系的的位位置置应应注注意意已已知知矩矩阵阵与与解解矩矩阵阵方方程程时时ABAXBAAXAAAABAXX ., 均为可逆矩阵均为可逆矩阵、其中其中解矩阵方程解矩阵方程BACAXBBXABAX 例4例4第32页/共52页第三十三页，共53页。矩阵矩阵(j zhn)方程方程解解BAX1 BAX1 BCAX11 BAX BXA CAXB 第33页/共52页第三十四页，共53页。.,0,的逆矩阵的逆矩阵并求并求必为可逆矩阵必为可逆矩阵证明证明阶可逆矩阵阶可逆矩阵都是都是设设DBCADnBA 证证.),0det, 0det,(0detdetdet为可逆矩阵为可逆矩阵所以所以均可逆均可逆因为因为DB

16、ABABAD ),2 , 1,(,222112111 jinXXXXXDij阶矩阵阶矩阵均为均为其中其中设设例例第34页/共52页第三十五页，共53页。)(000221221111211222112111阶单位阵阶单位阵是是nEEEXBXCXBXCXAXAXXXXBCADD ,221221111211EXBXCOXBXCOXAEXA依依矩矩阵阵相相等等的的定定义义有有第35页/共52页第三十六页，共53页。,122112112111BXACBXOXAX 从而得从而得.11111 BACBOAD故故第36页/共52页第三十七页，共53页。同理可得：同理可得：;,)1(11111 BOBCAADB

17、OCAD则则设设.,)2(11111 BCAABODOBACD则则设设: , DBA对分块矩阵对分块矩阵均可逆均可逆、设设第37页/共52页第三十八页，共53页。.:)2(;)1(.,111BACDADCBAXYZEOBAEZDCBAYEACOEXnEAnDCBA 证明证明求乘积求乘积并且并且阶单位阵阶单位阵是是是非奇异的是非奇异的阶方阵阶方阵都是都是设设例例 6第38页/共52页第三十九页，共53页。解解（）根据（）根据(gnj)分块矩阵的乘法，得分块矩阵的乘法，得 EOBAEDCBAEACOEXYZ11 EOBAEBACDOBA11.1 BACDOOA第39页/共52页第四十页，共53页。

18、（）由（）可得（）由（）可得,11BACDABACDOOAXYZ ,ZYXXYZ , 1 ZX而而.1BACDADCBA 第40页/共52页第四十一页，共53页。一、填空题一、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共3232分分) ) AAAAnA1541det,31det,. 11则则为其伴随矩阵为其伴随矩阵阶方阵阶方阵为为设设 tOABtBOA则则且且阶方阵阶方阵设设,35342531,3. 2第41页/共52页第四十二页，共53页。 13,. 3AEA则则已知已知 1008050200. 4AA的逆矩阵的逆矩阵矩阵矩阵 131125221001100124. 5AAA的的逆逆矩矩阵阵则

19、则阶阶矩矩阵阵设设第42页/共52页第四十三页，共53页。 12, 032. 6AEAAAn则则满足方程满足方程阶矩阵阶矩阵若若 AAAA32, 1,. 71且且为三阶矩阵为三阶矩阵设设 nAA则则设设,400010003. 8. , , , A )6( 2并求其逆并求其逆可逆可逆证明证明且且阶方阵阶方阵均为均为、设设分分二、二、ABEABBnB 第43页/共52页第四十四页，共53页。四、四、(8(8分分) )解下列解下列(xili)(xili)矩阵方程矩阵方程.021102341010100001100001010 X五、五、( (每小题每小题5 5分，共分，共2020分分) )求下列求下列(xili)(xili)矩阵矩阵 ,23121n ;2, 13122 ., )6( 可逆可逆证明证明且且阶实方阵阶实方阵设设分分三、三、AAAOAnT 第44页/共52页第四十五页，共53页。 ;510013101121lim3nn 六、六、(6(6分分) )设设 求求 ,2,321011324BAABA 七、七、( (每小题每小题3 3分分, ,共共6 6分分) )设设 阶矩阵阶矩阵 的伴随矩阵的伴随矩阵为为 ，证明：，证明： A ; 0, 01 AA则则若若 .21 nAA .1000101014nA BnA第45页/共52页第四十六页，共53页。八、八、(