高三数学立体几何复习测试题含答案

1、高三数学立体几何复习一、填空题1. 分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为.平行相交异面垂直【答案】【解析】两平行平面没有公共点，所以两直线没有公共点，所以两直线不可能相交2. 已知圆锥的母线长为8,底面周长为6n,则它的体积为24【答案】或245【解析】第一种情况画出图形如下图所示,相交，那么它们的交线相互平行6 8x24比例，有，x9x5第二种情况画出图形如下图所示，么它们的交线相互平行”634.由于“如果两个平行平面同时和第三个平面”所以AB/CD，设BDx，根据平行线分线段成由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，所以AB/CD，设BDx，根据平行线分线段成比例，有X8

2、,x24.8半径为R的球0中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的侧面积与球的2h2【解析】R2r2-，圆柱的侧面积2rh4rh4r42R2，当且仅当hr4222此时圆柱的侧面积与球的表面积之比为表面积之比是【答案】1:2时取等号,2R2：4R21:2【答案】3.55【解析】设底面半径为r,2r6,r3,设圆锥的高为h，那么h823255,那么圆锥的体12积Vrh3-93553.55，故填：3、55.3.已知平面/平面,P且P，试过点P的直线m与，分别交于A,C，过点P的直线n与，分别交于B,D且PA6,AC9,PD8，则BD的长为5.如图所示，G、N、M、H分别是正三棱柱（两底面为正三角

3、形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有（填上所有正确答案的序号）.【答案】【解析】由题意得，可知（1）中，直线GH/MN;图（2）中，G,H,N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图（3）中，连接MG,GM/HN，因此GH与MNG，所以直线GH与MN共面；图（4）中，G,M,N共面，但H面GHN，所以直线GH与MN异面.6.已知m,n为直线，,为空间的两个平面，给出下列命题：m,n；mnmmn,m/n;m,/；，mn.其中的正确命题为.mn/【答案】【解析】关于，也会有n的结论，因此不正确；关于,也会有m,n异面的可能的结论，因此不正确；容易验证关

4、于都是正确的,故应填答案.7.设a,b是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列四个命题若ab,a,b贝U，若ab,a则b/，若a,，则a/若all,a，则其中正确的命题序号是.【答案】【解析】ab，不妨设a,b相交（如异面平移到相交位置），确定一个平面，设平面与平面的交线为c，则由b，得bc，从而a/c，于是有c，所以，正确；若ab,a,b可能在内，错；若a,a可能在内，错；若a/，则由线面平行的性质定理，在内有直线b与a平行，又a，则b，从而，正确故答案为.8.已知三棱锥PABC的所有顶点都在球0的球面上,ABC是边长为1的正三角形，PC为球0的直径，该三棱锥的体积为则球0的表面积为【答案

5、】4【解析】设ABC的中心为,由题意得半径|r满足R2。12（33）223SABCi,球0的表面积为200iSabcOOi4R2所以球0的9.如图所示,在直三棱柱ABCABG中，ABBCCC1的中点，贝U三棱锥C1ABE的体积是.1【答案】丄12CG1,ABBC,E为1【解析】因为E是CG中点，所以VC1ABE2VC1ABC-11)21丄1210.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90,AA12,ACBC1,则图中阴影部分在【解析】图中点M在平面的投影是AA1的中点，点N在平面的投影是AD的中点,点D的投影还是点D,则异面直线A,B与AC所成角的余弦值是【答案】一66【解析】由于

6、AC/AC1，所以BAC1（或其补角）就是所求异面直线所成的角,在BAA中，AB>/6,A1C11,BC1亦，cosBAC165逅2/61611.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是BB1,BC的中点,平面ADA1D1上的投影的面积为1【答案】1811连接三点的三角形的面积是112212.如图，正方体ABCDB1C1D1中，ABCD上,若EF/平面ABC,则EF【答案】EF2【解析】根据题意，因为EF/平面AB1C，所以EF/AC.又因为点E是AD中2,点E为AD的中点，点F在1点，所以点F是CD中点因为在RtDEF中,DEDF1，故EF.2.FC113.在

7、棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB1的中点，在面ABCD中取一点F，使EF最小，则最小值为【答案】一142【解析】如图，将正方体ABCDAB1C1D1关于面ABCD对称，则EC1就是所求的最小值，EC1,EN2NC12231彳一-124.14214点M是棱长为32的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球0球面上的动点，点N为BG上一点,2NB1NC1,DMM的轨迹的长度为【答案】5【解析】因为DMBN，所以M1AT_TA,2则BN平面DTSC,距离即为O1F,在直角三BN，则动点角在过D且垂直于BN的平面上，如下图（1），取所以M在一个圆周上，如图下图（2），正方体的中心形O

8、1FC中，OfO1CsinOQF3sin1BSSB,20到该平面的QCF，而BCS15.如图，四棱锥P二、解答题33010，13113O1CF,O1F出,M所在的圆周的半径55故其轨迹的长度为3.105图（2）ABCD中，底面ABCD为平行四边形,DAB60°，AB2AD，PD底面ABCD.（1）证明：PABD;（2）设PDAD2，求点D到面PBC的距离.解析：（1）证明：因为DAB60°，AB2AD，由余弦定理得BD、3AD.从而BD2AD2AB2,BDAD，又由PD底面ABCD，BD面ABCD，可得BDPD.BD面PAD，PA面PABD.1：在平面PDB内作DEPB，垂

9、足为E.PD底面ABCD又BC/AD,BCBD，又ADIBDPAD,(2)法由(1)知BDAD,BC面ABCD,PDBC,D,.BC平面PBD，又ADIBDDBCDE.则DE平面PBC.由题设知，PD2,则BD2,3,PB4,根据法2:设点D到平面PBC的距离为d由（1）得BDAD,AB4111134、31VPBCD匚VP2ABCDSyabcd23PD-624223，乂VpBCDSPBCd,由PD底面ABCD,BD面ABCDDC面ABCD,PBD,PCD为Rt,PCPD2CD22-5,PBPD2CD24,又BCAD2,PBC为Rt且DEgPBPDcBD,得DE3，即点D到面PBC的距离为3Sp

10、bc244,d.3.216.已知直角梯形ABCD中，AB/CD,ABAD,CD2,AD2,AB1，如图1所示,将ABD沿BD折起到PBD的位置，如图2所示.国1(1)当平面PBD平面PBC时，求三棱锥P(2)在图2中，E为PC的中点，若线段BQ/CD，且EQ/平面PBD，求线段BQ的长;解析：(1)当平面PBDPBD，所以PD平面PBC，因为平面PBC时，因为PBPD，且平面PBDI平面PBCPB,PC.因为在直角梯形PC平面PBC，所以PDPD平面ABCD中，AB/CD,ABAD,CD2,AD2,AB1，所以BDBC3,DP2.所以CP.CD2PD22.又因为BP221，所以BPCP2BC,

11、所以BPCP.所以SPBC1PBPC2吩所以三棱锥PBCD的体积等于Vpbc3SpBcgDD3子力3EF(2)取PD的中点F，连接EF1CD又因为BQ/CD，所以EF/BQ.所以B,F2，BF,如上图所示又因为E为PC的中点，所以EF/CD，且EQ/平面PBD，EQ平面BFEQ，且平面，E，Q共面.BFEQI平面PBDBF，所以EQ/FB.又因为EF/BQ，所以四边形BFEQ是平行1EF-CD1217.如图几何体中，矩形ACDF所在平面与梯形BDAD,M为AB的中点.(1) 证明：EM/平面ACDF;(2) 证明：BD平面ACDF.四边形所以BQBCDE所在平面垂直，且BC2DE，DE/BC，

12、解析：(1)法1：延长BE交CD与G，连接AG,E,M为中点，EM/AG,EM平面AFDC,AG平面AFDC,EM/面ACDF.法2:如图，取BC的中点N，连接MN、EN.在ABC中，M为AB的中点，N为BC1的中点，MN/AC,又DE/BC,且,ACICDC.DE-BCCN，四边形CDEN为平行四边形，EN/DC，又：MNIENN2平面EMN/平面ACDF，又EM面EMN,EM/面ACDF.法3:如图，取AC的中点P，连接PM,PD.在ABC中，P为AC的中点，M为AB的中点，ADa,因为ADDC】AB2,所以CDa,AB2a,在ADC中，ADC90,ADDC,所以DCADAC45,从而LP

13、NMAAC,2a,CAB45在ACB中AB2a,AC.2a,CAB45,BCaCcsCab&a,所以AC2BC2AB2,即ACBC.在平面11PM/BC，且PM-BC，又TDE/BC,DE-BC,PM/DE，故四边形DEMP为平行四22=边形，ME/DP，又DP平面ACDF,EM平面ACDF,EM/面ACDF.(2)t平面ACDF平面BCDE，平面ACDFI平面BCDEDC，又ACDC,AC平面BCDE,ACBD，又BDAD,BDIADA,BD平面ACDF.18.如图，在四棱锥P-ABC中，四边形ABCD矩形，AB丄BP,M为AC的中点，N为PD上一点.(1) 若MNZ平面ABP求证：

14、N为PD的中点；(2) 若平面ABPL平面APC求证：PCL平面ABP【解析】(1)连接BD由四边形ABCD为矩形得：M为AC和BD的中点，tMNZ平面ABPMN平面BPD平面BPD平面ABP=BP,MN/BP,vM为AC的中点，N为PD的中点.(2)在厶ABP中,过点B作BE!AP于E,t平面ABPL平面APC平面ABP平面APC=AP,BE平面ABPBE!APBE!平面APC又PC平面APCBELPC/ABCD矩形，AB!BC,又ABLBPBCnBP=B,BCBP平面BPCAE!平面BPCABLPC又BELPCAB平面ABPBE平面ABPABABE=B,PC!平面ABP119.如图，在四棱

15、锥PABCD中，AB/DC,ADDCAB,M是线段PA的中点.2(1) 求证：DM/平面PCB;(2) 若ADAB,平面PAC平面PBC,求证：PABC.1【解析】(1)如图，取PB中点N,连结CN,MN.因为M是线段PA的中点，所以MN/AB,MN-AB,21因为DC/AB,CDAB,所以MN/DC,MNCD,所以四边形CDFM为平行四边形，所以2CN/DM,因为CN平面PCB,DM平面PCB,所以DM/平面PCB.(2)连结AC,在四边形ABCD中，因为ADAB,CD/AB,所以ADCD,设PAC中，过点A作AEPC,垂足为E,因为平面PAC平面PBC,所以AE平面PBC,又因为BC平面P

16、BC,所以AEBC,因为AE平面PAC,AC平面PAC,所以BC平面PAC.因为PA平面PAC,所以PABC.20.如图，在直三棱柱中，分别是的中点，且.(1)求证：；(2)求证：平面平面.【解析】证：(I)连接交于琏接分别是的中点,/且=,四边形是矩形是的中点，又是的中点，/则由,，得/(n)在直三棱柱中，丄底面，丄.又,即丄,丄面,而面，丄又，由(I)/,平面，平面,平面平面.三、提高练习21.在三棱锥PABC中，ABBC,AB6,BC23,O为AC的中点，过C作BO的垂线，交BO、AB分别于R、D,DPRCPR，则三棱锥ABC体积的最大值为【答案】33【解析】在RtABC中，ACB60所以DR1，在PDC中，DPROCB为等边三角形，DRPDCPR,所以竺PCRCDCB30，所以CD4,CR3,13如下图（2），设Px,y,D0,0,则C4,0，从而有9x2，整理得到9，故4PCD的边CD上的高的最大值为ABC体积的最大值为22.如图，直三棱柱中,图(1)分别是棱、的中点,图(2)点在棱上，已知，(1)求证：平面;(