高一数学必修四三角函数公式

1、倒数关系：tanacota=1sinaCSCa=1cosaseca=1商的关系：sina/cosa=tana=seca/CSCaCOSa/sina=COta=CSCa/seca平方关系：sinA2(a)+cosA2(a)=11+ta门人2(a)=secA2(a)1+COtA2(a)=CscA2(a)平常针对不同条件的常用的两个公式sinA2(a)+CosA2(a)=1tana*cota=1一个特殊公式(sina+sin)*(sina-sin0=sin(a+0)*sin(a-0)证明：(sina+sin0*(sina-sin0=2sin(0+a)/2cos(a)/2*2cos(0+a)/2si0

2、(O2=sin(a+0)*sin(a-0)坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度I的比叫做坡度(也叫坡比)，用字母i表示,即i=h/l,坡度的一般形式写成I:m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角)，那么i=h/l=tana.锐角三角函数公式正弦：sina纟a的对边/a的斜边余弦：cosa三a的邻边/a的斜边正切：tana纟a的对边/a的邻边余切：cota纟a的邻边/a的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinAcosA余弦1. Cos2a=CosA2(a)-SinA2(a)2. Cos2a=1-2SinA2(a)3. Cos2a=2CosA2(a)-1即Cos2a

3、=CosA2(a)-SinA2(a)=2CosA2(a)-1=1-2SinA2(a)正切tan2A=(2tanA)/(1-tanA2(A)三倍角公式sin3a=4sinasin(n/3+a-sir)n/3cos3a=4cosaCOS(n/3+a)co®()n/3tan3a=tanatan(n/3+a)3-a)tan(n/三倍角公式推导sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)c

4、osa-2(1-cosAa)cosa=4cosA3a-3cosasin3a=3sina-4sinA3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina(V3/2-)2n2a=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60+sina)(sin60-§ina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cosA3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosacos2a-(V3/2)人2=4cosa(cos2a-cos230/

5、=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)°=4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2=-4cosasin(a+30)sin(a-30)°=-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60°+a)=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)现列出公式如下：sin2a=2sinacosatan2a=2tana-ta门人2(a)cos2a=cosA2

6、(-sOiA2(a)=2cosA2-仁a-)sinA2(a可别轻视这些字符，它们在数学学习中会起到重要作用。包括一些图像问题和函数问题中三倍角公式sin3a=3sin-4sin人3(a)=4sinasin(n/3+/S-)sin(ncos3a=4cosA3(-3aosa=4cosacos(n/3+-acos(n/3tan3a=tan(«3)*t(an(a)A2-i1(+3*tan(a)A2)=tanatan(n/3+)tan(n/3半角公式sinA2(a/2)=(-1cosa)/2cosA2(a/2)=(1+cosa)/2tanA2(a/2)=(-1cosa)/(1+cosa)tan

7、(a/2)=sina/(1+coscoa)=(/sina万能公式sina=2tan(a/2)/1+ta门人2(a/2)cosa=1ta门人2(a/2)/1+ta门人2(a/2)tana=2tan(a/2anA2(a/2)其他sina+sin(a+2n/n)+sin(a+2n*2/n)+sin(a+2n*3/n)+sHH)/n=+2n*(ncosa+cos(a+2n/n)+COS(a+2n*2/n)+COS(a+2n*3/n)+-1)/l+|=0sa+2以*(n及sinA2(a)+sin人2(2n03)+sin人2(a+2n/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+ttanBA+

8、B)=0四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinAA2-1)cos4A=1+(-8*cosAA2+8*cosAA4)tan4A=(4*tanA-4*tanAA3)/(1-6*tanAA2+tanAA4)五倍角公式sin5A=16sinAA5-20sinAA3+5sinAcos5A=16cosAA5-20cosAA3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanAA2+tanAA4)/(1-10*tanAA2+5*tanAA4)六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinAA2)cos6A=(-1+2*

9、cosAA2)*(16*cosAA4-16*cosAA2+1)tan6A=(-6*tanA+20*tanAA3-6*tanAA5)/(-1+15*tanAA2-15*tanAA4+tanAA6)七倍角公式sin7A=-(sinA*(56*sinAA2-112*sinAA4-7+64*sinAA6)cos7A=(cosA*(56*cosAA2-112*cosAA4+64*cosAA6-7)tan7A=tanA*(-7+35*tanAA2-21*tanAA4+tanAA6)/(-1+21*tanAA2-35*tanAA4+7*tanAA6)八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*s

10、inAA2-1)*(-8*sinAA2+8*sinAA4+1)cos8A=1+(160*cosAA4-256*cosAA6+128*cosAA8-32*cosAA2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanAA2-7*tanAA4+tanAA6)/(1-28*tanAA2+70*tanAA4-28*tanAA6+tanAA8)九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinAA2)*(64*sinAA6-96*sinAA4+36*sinAA2-3)cos9A=(cosA*(-3+4*cosAA2)*(64*cosAA6-96*cosAA4+36*cosAA2-3)tan9A=tanA

11、*(9-84*tanAA2+126*tanAA4-36*tanAA6+tanAA8)/(1-36*tanAA2+126*tanAA4-84*tanAA6+9*tanAA8)十倍角公式sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinAA2+2*sinA-1)*(4*sinAA2-2*sinA-1)*(-20*sinAA2+5+16*sinAA4)cos10A=(-1+2*cosAA2)*(256*cosAA8-512*cosAA6+304*cosAA4-48*cosAA2+1)tan10A=-2*tanA*(5-60*tanAA2+126*tanAA4-60*tanAA6+5*tanAA8)

12、/(-1+45*tanAA2-210*tanAA4+210*tanAA6-45*tanAA8+tanAAIO)N倍角公式根据棣美弗定理，(cosB+isin0)An=cos(n0)+isi为方便描述,令sin0=scos0=c考虑n为正整数的情形：cos(n0)+isin(n0)=(c+is)An=C(n,0)*cAn+C(n,2)*cA(t2)*(is)A2+C(n,4)*cA(n-4)*(isf4+.+C(n,1)*cA(n-1)*(is)A1+C(n,3)*cA(n-3)*(is)A3+C(n,5)*cA(n-5)*(is)A5+.=>比较两边的实部与虚部实部：cos(n0)=C(

13、n,0)*cAn+C(n,2)*cA(n-2)*(is)A2+C(n,4)*cA(n-4)*(isf4+.i*(虚部)：i*sin(n0)=C(n,1)*cA(i)*(isl+C(n,3)*cA(n-3)*(is)A3+C(n,5)*cA(n-5)*(is)A5+.对所有的自然数n,1.cos(n:0公式中出现的s都是偶次方，而$人2=1心2(平方关系)，因此全部都可以改成以c(也就是cos0表示。2.sin(n0)(1)当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而cA2=1-sA2(平方关系)，因此全部都可以改成以s(也就是sin0表示。(2)当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方，而。人2=

14、1/2(平方关系),因此即使再怎么换成s,都至少会剩c(也就是cos0的一次方无法消掉。(例.cA3=c*cA2=c*(1-sA2),cA5=c*(cA2F2=c*(1-sA2)A2)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sinA2(a/2)=(1-cos(a)/2cosA2(a/2)=(1+cos(a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)0+$)/2-$卿00+$)/2s$)/200+$)/2c$I(20和差化积sin0+s

15、in$=2sin(sin-sin$=2cos(cos0+cos$=2cos(cos0-cos$二2sin(0+$)/2sin$)/20tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)两角和公式tan(a+3)=(tana+tan-ta)y(ltan3)tan(a3)=(tan-tan3)/(1+tanatan3)cos(a+3)=cosacssn3asin3cos(-3)=cosacos3+sinasin3sin(a+3)=sinacos3+cosas

16、in3sin(也3)=sinacoscsasin3积化和差sinasin3cos(a+-cos(-3)/2cosacos3=cos(a+3)+3粼2%sinacos3=sin(a+3-+3)1(2acosasin3=sin(-si+(3)/2双曲函数sha=eAa-eA(-a)/2cha=eAa+eA(-a)/2tha=sinh(a)/cosh(a)公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kn+)=sinacos(2kn+)=cosatan(2kn+)=tanacot(2kn+)=cota公式二：设a为任意角，n+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:sin(n

17、+)=-sinacos(n+)=-cosatan(n+)=tanacot(n+)=cota公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin(-a)=-sinacos(-a)=cosatan(-a)=-tanacot(-a)=-cota公式四：利用公式二和公式三可以得到na与a的三角函数值之间的关系：sin(na)=sinaCOS(n-a)=-COSatan(na)=-tanacot(n-a)=-cota公式五：利用公式-和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系：sin(2na)=-sinacos(2na)=cosatan(2na)=-tanacot(2na)=-cota公式六：n

18、/2土及3n/2土与a的三角函数值之间的关系：sin(n/2+a=cosacos(n/2+a=-sinatan(n/2+a=-cotacot(n/2+a=-tanaSin(n/2a)=cosacos(n/2a)=sinatan(n/2a)=cotacot(n/2a)=tanasin(3n/2+a=-cosacos(3n/2+a=sinatan(3n/2+a=-cotacot(3n/2+a=-tanaSin(3n/2a)=-cosacos(3n/2a)=-sinatan(3n/2a)=cotacot(3n/2a)=tana(以上kZ)Asin(31+0)+Bsin(wt+$)=V(A2+B2+2

19、ABcos(0-$)sinwt+arcsin(Asin0+B-sin/QAA2+BA2;+2ABcos(0$)表示根号，包括中的内容三角函数的诱导公式(六公式)公式一sin(-a)=-sinacos(-a)=cosatan(-a)=tana公式二sin(n-a)=cosacos(n/2a)=sina公式三sin(n/2+a)=cosacos(n/2+a)-=ina公式四sin(na)=sinCOS(na)=-COSa公式五Sin(n+a)-=inaCOS(n+a)-COSa公式六tanA=SinA/cosAtan(n/2+)=cotatan(n/a)=cotatan(na)=tanatan(n

20、+a=tana诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sina=2tan(a/2)/1+(tan(a/2)2cosa=1(tan(a/2)2/1+(tan(a/2)2tana=2tan(a/2)-(1an(a/2)2其它公式(1) (Sina)A2+(coSa)(=平方和公式)(2) 1+(tana)A2=(seca)人2(3) 1+(cota)A2=(csca)人2证明下面两式，只需将一式，左右同除(sina)A,第二个除(cosa)人即可(4) 对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证：A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA

21、+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tanntanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证，当x+y+z=nn(nZ)时，该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5) cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6) cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7) (cosA)A2;+(cosB)A2+(cosC)A2=1-2cosAcosBcosC(8) (sinA)A2+(sinB)A2+(sin

22、C)A2=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a)=1/sin(a)sec(a)=1/cos(a)(seca)A2+(csca)A2=(seca)A2(csca)A2幕级数展开式sinx=x-xA3/3!+xA5/5!-+(-1)A(k-1)*(xA(2k-1)/(2k-1)!+。(-<x<)cosx=1-xA2/2!+xA4/4!-+(-1)k*(xA(2k)/(2k)!+-c<x<)arcsinx=x+1/2*xA3/3+1*3/(2*4)*xA5/5+(|x|<1)arccosx=-n(x+1/2*xA3/3+1*3/(2*4)*xA5/

23、5+)(|x|<1)arctanx=x-xA3/3+xA5/5-(x<1)无限公式sinx=x(1-xA2/nA2)(1xA2/4nA2)(1xA2/9nA2)COSX=(1-4xA2/nA2)(-4xA2/9n人2)(14乂人2/25n人2)tanx=8x1/(nA4xA2)+1/(9n人2乂人2)+1/(25n人2人2)+secx=4n1/(n-4XA2)-1/(9n亠2人2)+1/(25n人2乂人2)-+(sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8(1/4)tann/4+(1/8)tann/8+(1/16)tann/16+=1/narctanx=x-乂人3/3+xA5

24、/5-(x<1)和自变量数列求和有关的公式sinx+sin2x+sin3x+sinnx=sin(nx/2)sin(n+1)x/2)/sin(x/2)cosx+cos2x+cos3x+cosnx=cos(n+1)x/2sin(nx/2)/sin(x/2)tan(n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+cosnx)sinx+sin3x+sin5x+sin(2n-1)x=(sinnx)A2/sinxcosx+cos3x+cos5x+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx)编辑本段内容规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。1.三角函数本质：1根据右图，有sin0=y/r;cos0=x/r;tan0=y/x;cot0=x/y深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB为