高中函数图像大全52905

1、指数函数概念：一般地，函数y=ax(a>0,且1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。注意：1指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。2指数函数的定义仅是形式定义。指数函数的图像与性质1*1FJ-1|aA10<a<l图J/y=«T/(qi>(o.bVj1VV勿E(0<«<1)N.y=l(OJ)oXOX(I)运必域：R性(2偵域(3)过点(0J即丁=0时=1住R匕卮噌函数(I)任R上足减更数规律:2当a>1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0vav1时，底数越小，图像下降的越快

2、，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。在y轴右边底大图高”；在y轴左边底大图低”。y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。OX0vav1时，图像在R上是减函数。3四字口诀：“大增小减”即：当a>1时，图像在R上是增函数；当4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数比较幕式大小的方法:1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较;4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移:在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一

3、个数，图像会向下平移。对数函数1对数函数的概念由于指数函数y=ax在定义域(-+g)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=ax(a>0,a*1)的反函数称为对数函数，并记为y=logax(a>0,a*1).因为指数函数y=ax的定义域为(-g,+g)，值域为(0,+g)，所以对数函数y=logax的定义域为(0,+g)，值域为(-g,+g).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画岀对数函数的图像，并推知它的性质为了研究对数函数y=logax(a>0,a*1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log

4、2x,y=log10X,y=log10X,y=log1x,y=log1x的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=logax(a>0,1)的图像的特征和性质见下表.图象a>1av1y=logaXa>l)，Ki*xloylogax(0<a<l)O性质(1)x>0当x=1时，y=0(3)当x>1时，y>0Ovxv1时，yv0(3)当x>1时，yv00vxv1时，y>0(4)在(0,+a)上是增函数在(0,+a)上是减函数补充性质设y1=logaxy2=logbx其中a>1,b>1(或0vav10vb

5、v1)当x>1时“底大图低”即若a>b则y1>y2当0vxv1时“底大图咼”即若a>b,则y1>y比较对数大小的常用方法有：若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3指数函数与对数函数对比名称指数函数对数函数一般形式y=ax(a>0，1)y=logax(a>0，a*1)定义域(-oo，+m)(0，+o)值域(0，+o)(-o，+o)当a>1时，当a>

6、1时函1(x0)0(x1)数值ax1(x0)logax0(x1)变1(x0)0(x1)化当0vav1时，当0vav1时，情ya1(x0)0(x1)况ax1(x0)logax0(x1)1(x0)0(x1)单调性当a>1时，ax是增函数；当0vav1时，ax是减函数.当a>1时，logax是增函数；当0vav1时，logax是减函数.图像y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称.幕函数幕函数的图像与性质幕函数yxn随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法熟练掌握n11yx，当n2,1,-，一，3的图像和性质，列表如下.23从中可以归纳出以

7、下结论： 它们都过点1,1，除原点外，任何幕函数图像与坐标轴都不相交，任何幕函数图像都不过第四象限.11 a,1,2,3时，幕函数图像过原点且在0,上是增函数.321 a,1,2时，幕函数图像不过原点且在0,上是减函数.2 何两个幕函数最多有三个公共点nyX奇函数偶函数非奇非偶函数y丿r|丿y丿n1丿.k丿丿.rXOXOXy0n1ty厂一rtyc二OXOX1JF,»|1.>r：W*何*1|叶K/y<1ifa_2,.|V|-11-r円-Jf定义域RRR，X:¥汽;&卜7奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第I象限的增减性在第I象限单调递增在第I象限单调递增在第I象限单

8、调递增在第I象限单调递增在第I象限单调递减是:当当当当2时,幕函数yX(xR,所有幕函数yX（X11,2,3,2时函数y是常数）的图像在第一象限的分布规律R，是常数）的图像都过点（1,1）；x的图像都过原点（°，°）；1时，yX的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如Q）；2,3时，yx的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如c1）的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如C3）当1时，yX的的图像不过原点（°，°），且在第一象艮是“下滑”曲线（如c4）°时，幕函数yx有下列性质:(1)图象都通过点（0，0），（1,1）；在第一象限内，1时，图象是向下凸

9、的；°1时，图象是向上凸的;在第一象限内都是增函数；（在第一象限内，过点（1,1）后，图象向右上方无限伸展。°时，幕函数yX有下列性质:1）图象都通过点（1,1）；2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的;3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近；向右无限地与x轴无限地接近;4）在第一象限内，过点（1,1）后，越大，图象下落的速度越快。无论取任何实数，幕函数yX的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。对号函数b函数yax（a>°,b>°）叫做对号函数，因其在（°，+1的图象似符号而得名，利用对号Xb1bbIb函数的图象及

10、均值不等式，当x>°时，ax一ZJ-（当且仅当axb即x时取等号），由此可得函数xVaxabyax-(a>0,b>0,xR+)的性质：xbbb当xJ-时，函数yax(a>O,b>O,xR+)有最小值2J，特别地，当a=b=1时函数有最小值2。ax'a函数yaxb(a>0,b>0)在区间(0,J)上是减函数，在区间(j-,+上是增函数。xaabb因为函数yax(a>0,b>0)是奇函数，所以可得函数yax(a>0,b>0,xR-)xx性质：当xJ时，函数yax(a>0,b>0,xR-)有最大值-2*，

11、特别地，当a=b=1时函数有最大值ax.a-2。函数yax(a>0,b>0)在区间(-汽-)上是增函数，在区间(-,0)上是减函xaa奇函数和偶函数如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(x)=-(x).那么就称f(x)为奇函数.如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(x)=f(x)，那么就称f(x)为偶函数.说明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时，才有可能是奇判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事，例如判断f(x)是不易的.为了便于判断有时可采取如下办法：计算f(x)+f(x)，视其结果而说明是否是奇

12、函数.用这个方法判断此函数较为方便：f(x)(3)判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何x值，当xm0时，显然有f(x)=f(x)，但当x=0时，f(x)=f(x)=1，二f(x)为非奇非偶函数.奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形.(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义出发来进行论证.例如果函数f(x)是奇函数，并且在(0,+R)上是增函数，试判断在(0)上的增减性.解设x1,x2(s,0)，且x1vx2v0则有x1>x2>0,/f(x)在(0,+s)上是增函数，f(x1)>f(x2

13、)又f(x)是奇函数，f(x)=f(x)对任意x成立，=f(x1)>f(x2)(0,+f(x1)vf(x2).f(x)在(g,0)上也为增函数.由此可得出结论：一个奇函数若在(0,+g)上是增函数，则在(g,0)上也必是增函数，即奇函数在g)上与(一g,0)上的奇偶性相同.类似地可以证明，偶函数在(0,+g)和(g,0)上的奇偶性恰好相反.时，f(x)的解析式解/xv0,x>0.又f(x)是奇函数，f(x)=f(x).偶函数图象对称性的拓广与应用我们知道，如果对于函数y=f(x)定义域内任意一个x,都有f(x)=f(x)，那么函数y二f(x)就叫做偶函数.偶函数的图象关于y轴对称，反之亦真.由此可拓广如下：如果存在常数a,b,对于函数y=f(x)定义域内任意一个x,a+x,b-x仍在定义域内,且住+刃=fO-臥那么函教尸f何的图象关于直线汩斗对称蛊(这Qi样的函数我们不妨称之为广义偶画数)反之亦真.(a+b-x,f(x)，而f(a+bx)=fa+(bx)=fb(bx)=f(x)，对称点P'(a+b-x,反之，女哮y=F(：0的图象关于直线蹩二日/对称，设巩次+込住十町)为圈象上3.|任一点"则它关于亶线r-的对称点f(b-z),因lit,f(a+x)=f(bu臥上拓广简记为=f(發+©二F