一致收敛函数列与函数项级数的性质

1、§2一致收敛函数列与函数项级数的性质教学目的与要求：掌握一致收敛函数列的连续性、可积性、可微性以及函数项级数的连续性、可积性、可微性等。教学重点，难点：一致收敛函数列的连续性、可积性、可微性以及函数项级数的连续性、可积性、可微性等。教学内容：本节讨论由函数列与函数项级数所确定的函数的连续性、可积性、可微性.定理13.8 设函数列在上一致收敛于，且对，则、均存在且相等，即。（即在一致收敛的条件下两种极限可换序）证明: 先证是收敛数列. 对任意, 由于一致收敛, 故有 当和任意正整数, 对一切有 (1) 从而 这样由柯西准则可知是收敛数列.设 . 再证 .由于一致收敛于及收敛于, 因此对

2、任意, 存在正数 当时, 对一切有 和同时成立. 特别取 有和又, 故存在, 当时, 从而, 当满足时, ,即.这个定理指出: 在一致收敛的条件下, 中两个独立变量与, 在分别求极限时其求极限的顺序可以交换, 即 (2) 类似地, 若函数列在上一致收敛且(或)存在，则可推得(或 ). 由定理13.8可得到以下定理.定理13.9（连续性）若函数列在区间I上一致收敛于，且对，在I上连续，则其极限函数在I上也连续.证明:设为上任意一点, 由于, 于是由定理13.8知亦存在, 且 因此在连续.注：若各项为连续函数的函数列在区间I上其极限函数不连续，则此函数列在区间I上不一致收敛. 例如：函数列的各项在

3、上都是连续的, 但其极限函数在时不连续，从而推得在上不一致收敛.定理13.10（可积性）若函数列在上一致收敛，且每一项都连续，则. (3)证明:设为函数列在上的极限函数. 由定理13.9, 在上连续, 从而与在上都可积. 因为函数列在上一致收敛于, 故对任意, 存在正数 当时, 对一切, 都有 再根据定积分的性质, 当时有这就证明了等式(3).注1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序；注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如下面的：例1 设函数，. 显然是上连续函数列, 且对任意, 又因此在上一致收敛于0的充要条件是由于 因此的充要条件是 这样

4、当时, 虽然不一致收敛于, 但定理13.10的结论仍成立. 但当时, 不一致收敛于,且 也不收敛于定理13.11（可微性）设为定义在上的函数列，若为的收敛点，的每一项在上有连续的导数，且在上一致收敛，则. (4)证明: 设. 我们要证明函数列在上收敛，且其极限函数的导数存在且等于.由定理条件, 对任一, 总有.当时, 右边第一项极限为, 第二项极限为, 所以左边极限存在, 记为, 则有, 其中. 由的连续性及微积分学基本定理推得 . 这就证明了等式(4).注1：在该定理的条件下可以证明在区间上一致收敛；注2：该定理指出：在一致收敛的条件下，求导运算与极限运算可以交换顺序；注3：一致收敛只是这两

5、种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如：例2 设函数列 ，. 在上都收敛于, 由于 , 所以导函数列在上不一致收敛,但有 现在讨论定义在区间上函数项级数 (5)的连续性，逐项求积与逐项求导的性质，它们都可由函数列的相应性质推出.定理13.12（连续性）若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数也在区间上连续。注：在一致收敛的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即。定理13.13（逐项求积）若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，则.注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与积分运算可以交换顺序.定理13.14（逐项求导）若函数项级数在区间上每一项都有连续导函数，为函数项级数的收敛点，且在区间上一致收敛，则.注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与求导运算可以交换顺序。 最后，我们指出，本节中六个定理的意义不只是检验函数列或函数项级数是否满足关系式（2）-（4），（6）-（8），更重要的是根据定理的条件，即使没有求出极限函数或和函数，也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和函数的解析性质。例3 设 ，. 证明函数项级数在上一致收敛，并讨论其和函数在的连续性、可积性与可微性.证明： 对每一个， 易见为上增函数， 故有又当时， 有不等式 所以以收敛级数为的优级数， 推得在上一致收敛.由于每一个在上连续, 根据定