2021年高考数学理知识与能力测试题(一)

1、(四)只有一项是符合题目要求的2013年高考理科数学知识与能力测试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,1.已知 f(x3) lgx,则 f(2) =1， 一A. lg 2 B. lg 8 C. lg 2 D. 32.平面向量b与向量a (1, 2)夹角为900,且|5| |b|,则b =A、（2, 1）或（2, 1） B、（2,1）或（2,1） C 、（2, 1） D、（ 2, 1）3. a, bA.若aC.若 | a |R,下列命题中正确的是b,贝Ua2b2b,则 a2 b2B.D.2若a |b|,则a若 a |b|,则 a2b2b24.已知实数x、

2、y满足约束条件，则 z 2x4 y的最大值为A. 24 B. 20 C. 165.1）=6.已知正四棱锥的侧棱与底边的边长都为A. 12 B.7.设函数f(x)36sin x2- cos xC. 72tan2 x（xklog 4 （x3<2 ,则这个四棱锥的外接球的表面积为D. 108在点x 一处连续，则实数k的值为 2A.工168.函数f（x）A二B.C. 1D.2lOgax2二.填空题：本大题共9.若不等式log a x满足f （9） 2,6小题，每小题sin 2x对于区间1（2、，一lOg9 )的值是2 log35分，共30分.把答案填在题中相应的横线上Q内的任意x都成立，则实数

3、a的取值范围是 4种；如果每个企业至少分配去 1名学生,10.将4名大学生分配到 3个企业去实习，不同的分配方案共有则不同的分配方案共有11.已知一盒子中有散落的围棋棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子，从中任意取出 2粒，若 表示取得白子的个数，则E等于12.公比为4的等比数列bn中，若Tn是数列bn的前n项积，则有T20,130,140也成等比数列，且公比为41°° ； T10 T20 T30类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列 an中，若Sn是an的前n项和，则数列 也成等差数列，且公差为；(第一个空3分，第二个空2分)；1 )113.已知P(t,t) (t R),

4、点M是圆x2 (y 1)2的动点，点N是圆(x 2)2 V 的动点，则44| PN | | PM |的最大值是 ;14、选做题：在下面三道题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分。已知a2 b2 1 , x2 y2 1,则ax by的取值范围是 ；圆心(2,-1), 半径为3的圆的参数方程是 ；半径分别为1cm和2cm的两圆外切，作半径为3cm的圆与这圆均相切的，一共可作 个。三、解答题：本大题共 6小题；共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 一15.(本小题满分12分)已知：f(x) 2cos2 x 2J3sinxcosx a , a 为实常数。(1)求f(x)的最小正周期；(

5、2)若f(x)在,上最大值与最小值之和为 3,求a的值。6 316 .(本小题满分12分)在教室内有10个学生，分别佩带着从 1号到10号的校徽，任意取 3人记录其校徽的号码。(1)求最小号码为5的概率。(2)求3个号码中至多有一个是偶数的概率。(3)求3个号码之和不超过 9的概率。17 .(本小题满分14分)1 _如图，梯形ABCD中，CDAB, AD DC CB AB, E是AB的中点，将 ADE沿DE折起，使点A2折到点P的位置，且二面角 P DE C的大小为1200 。(1)求证：DE PC；(2)求直线PD与平面BCDE所成角的正弦值;(3)求点D到平面PBC的距离。18 . (14

6、分)设函数 f(x) x(x 1)(x a)(a 1)(1)求导致f (x),并证明f(x)有两个不同的极值点；(2)若对于(1)中的x1、x2不等式f(x1)f(x2) 0成立，求a的取值范围。19 .(本小题满分14分)已知数列an满足Snnan , Sn是an的前n项的和，a2 1.2求Sn ；31n(2)证明：3 (1 -)n 2。22an 120. (14分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M (1,2),它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。(I)求这三条曲线的方程；* , , 一, 一 . . 、, 一 “ , 一， "(n)已知

7、动直线l过点P(3,0),交抛物线于 A、B两点，是否存在垂直于 x轴的直线1被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l'的方程；若不存在，说明理由。2007年高考理科数学知识与能力测试题参考答案(四)一、答案：1-4,CABB; 5-8,BBDB 11提示：1. x32, x23, f (2) lg23 11g 22 .检验a?b o3 . a |b| 0 ;4 .略; .一,15 .先求a 1,所以f ( 1) 一 ； 36 .求得 r 3, S 4 r2 36 ； sinx, 2 、1 k17 . lim(2 tan x)-, log 4一，k 2;x _ cos x22

8、2 28 . f(9) 2, a 3, f 1(x) 3x, f 1(log9) 310g9723、9. (>1) ; 10. 81 , 36; 11. _ j 12. S20 S10, S30 S20 , 45x 2 3cos13. 2 ; 14.、1,1;、其中 为参数;y 1 3sinS40S30 ； 300;、5。提示：9.数形结合，log a41, a 1410 , 3481 , Cj A；36小3、一 八 3311 (2,) , E 2 -1010 512 .略13 .由对称性(PN PM )max 214 .略15.解：f (x) 1 cos2x V3sin 2x a2si

9、n(2x ) a 16(I) f (x)的最小正周期T 25 .(II )由 x 一,一| 得 2x 一,6 366 6f (x) max 2 a 1 5f (x) min1 a1. 一 、,sin(2x ) 1261, 2a 3 3,解得 a 016.解：(1)从10人中任取3人，共有C4种，最小号码为5,相当于从6, 7, 8, 9,10共五个中任取共有C；种结果。则最小号码为5的概率为P(2)选出3个号码中至多有C211M 一 = 一C12 12个是偶数，包括没有偶数和恰有一个偶数两种情况，共有C53C5C；种.所以满足条件的概率为PC3 C1C；Ci30(3) 3个号码之和不超过9的可

10、能结果有:(1, 2, 3), 1, 2, 4),(1, 3, 4), (1, 3, 5), (2, 3, 4)则所求概率为 P7Ci30712017.解：(1)连结 AC 交 DE 于 F ,连结 PF , CD/AB1, 2, 5), (1, 2, 6),BAC ACD又 AD CDDAC ACD,即 CA 平分 BADADE是等边三角形AC DE , CF DE , DE平面PCF , DEPC。(2)过P作POAC于O ,连接OP ,设ADDE 平面PCFDE PO , PODC CB a,则 AB 2a 平面BCDEPDO就是直线PD与平面BCDE所成的角PFC是二面角在 Rt PO

11、D 中 sin(3) DE/BCP DE C的平面角PO 3 PDO PD 4DE在平面PBC外，PFO 600DE / 平面 PBCD点到平面PBC的距离即为点F到平面PBC的距离，过点F作FG PC,垂足为DE/平面 PCFFG 平面PBCFG. BC 平面PCF ,平面PBC 平面PCF的长即为点F到平面PBC的距离。在菱形ADCE中AFFCPFFPCFCP300FG18.解:f (x)3x (1a) x1PF 22axf'(x) 3x2 2(1a)xa 3(x所以方程f (x)不妨设x1x2f(x)是减函数;(2)由 即(x1f(xj所以x1.3°CFPFC 1200

12、2.3 一 a 4a 2-)2(1 a)20有两个不同的实数解 x1,x23 (x)(a则在区间($1)和仇，)上，故x1是极大值点，x2是极小值点。f(x2) 0 得:x2)(x1x2)2x2 3(1a)(x)3(x x1)(x x2)0, f(x)是增函数;在区间(x1,x2)上，f (x) 0 ,x1x23(1解得 所以当-34a)9(12a)22时，不等式19.(1)由题意即(n1)an2时,3时,又a1S1又a2故Sn3x1 x2 3x1(1a (1f(x1)Sn nan 得 Sn12nanan 1 nan1可见，a1anan 1an 2所以a10,a2也适合n(n 1)*(n N

13、).32x2 (1 a)(x1a)(x1x2)2、4、2 2aa) (1a) 93f(x2)0 成立。a3a2a2Sn2、x2) a(x1 x2) 02x1 x2 a(x1 x2) 02(1 a)aSnn(n 1)2Sn0整理得_2-2a 5a 2 0n2 an(2)由得：(I 3)n (1 4)n C： C： :C： (J)r2an 12n2n2n当 n 1 时，(1 -)n 3；2an i22n)n当 n 2时，C；(上)r n(2一(n r 1)(1)r (1)r(1)r(r2nn! r!n 222,3,4, n)C：2nr 1 rCn (2n)Cnn A而(1 )n C0 c： 2n2

14、n31综上所证：3 (1 _)n 222an 120.解：(I)设抛物线方程为 y2 所以抛物线方程为 y2 4x。cnCnan1 -11_1_12n 22r 2n 1112、0113n n C n一2n 21222n由题意知椭圆、双曲线的焦点为设椭圆的方程为2a |MF1|椭圆的方程为2x-2 a| MF22x3 2,2设双曲线的方程为2 x -2 m2m |MF1 | | MF2II2 px(p 0),将M (1,2)代入方程得p 2E(1(a12 v2,2y2y21 m221,0)、F2 (1,0)°1。1(0m23 2V2 , 12. 2 222椭圆的方程为X 1。(n)设AP的中点为C, 的方程为:3 2 .22v2 2