曲线积分与曲面积分练习题

1、第十章曲线积分与曲面积分§10.1 对弧长曲线的积分一、判断题b1 .若f(x)在s*)内连续，则ff(x)dx也是对弧长的曲线积分。()2 .设曲线L的方程为x=?(y)在a,P上连续可导则f(x,y)ds=f(y),y).1-(y)2dyLi:不,()二、填空题1 .将(x2+y2)ds,其中L为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)(0<t<2n:)化为定积分的结果是。2 .1(x+y)ds=,其中L为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段。三、选择题1. (x2+y2)ds=(),其中L为圆周x2+y2=10.2二.2-：22二(A)4

2、日(B)Ida(Q0rd8(D)0w2d日22. (xds=(),L为抛物线y=x±0<x<1的弧段。(A)(5<5-1)(B)(5后-1)(C)(D)-(575-1)12128四、计算£(x+y)ds,其中C为连接点(0,0)、(1,0)、(0,1)的闭折线。五、计算；(x22.xy+2z)ds,其中L为*x+y2z2=R2六、计算t(x2+y2)nds,L为上半圆周：x2+y2=R2(nwN)22七、计算Ie*'ds,其中222.L为圆周x+y=a,直线y=x和y=0在第一象限内围成扇形的边界。八、求半径为a,中心角为2中的均匀圆弧（P=1）的

3、重心。§10.2对坐标的曲线积分、判断题1.定积分也是对坐标的曲线积分。()2.1 驾二ydx=0，其中L为圆周x2+y2=1按逆时针方向转一周。()Lxy、填空题1 .fx3dx+3y2dy+x2ydz=,其中是从点A(1,2,3)到点B(0,0,0)的直线段AR2 .化P(x,y)dx+Q(x,y)dy为对弧长的曲线积分结果是其中L为沿y=J7从点(0,0)到(1,1)的一段。三、选择题1 .设曲线L是由A(a,0)到O(0,0)的上半圆周x2+y2=ax,则lQxsiny-my)dx(ecosy-m)dy=22(A) 0(B)(C)()(D)284222 .设L为x="

4、;cost,y=Msint,0<t<,万向按t增大的万向，则xydy-xydx=2cost.sintsint.sint(A)I2(costvsint-sintcost)dt(B)f2:.,dt；二0二2.sint2cost(C)302dt(D)02(cos21一sin2t)dt22四、计算=1a(x一丫)dx+xydy,其中O为坐标原点，A的坐标为(1,1)1.OA为直线段y=x2.OA为抛物线段y=x23.OA为y=0,x=1构成的折线段。4.OA为x=0,y=1的折线段。五、计算xy2dy-x2ydx,L是从A(1,0)沿y=。1x2到B(-1,0)的圆弧。六、计算fxydx,

5、L为圆周x2+y2=2ax(a>0)取逆时针方向。七、设方向依oy轴负方向，且大小等于作用点的横坐标平方的力构成一力场，求质量2为m的质点沿抛物线1-x=y，从点A(1,0)移到B(0,1)时力场所做的功。九、把(x2ydx-xdy(L为y=x3上从A(-1,-1)到B(1,1)的弧段)化为对弧长的曲线积分。、判断题§10.3格林公式及其应用1 .闭区域D的边界按逆时针即为正向。2 .设P、Q在闭区域D上满足格林公式的条件，QP(一-一)dxdy=PdxQdyd：:x：:yLL是D的外正向边界曲线，则()3 .对单一积分Pdx或£Qdy不能用格林公式。4 .设闭区域D

6、由分段光滑的曲线L围成,P(x,y),Q(x,y)上有一阶连续偏导数，则二P二Q.(a) ,Pdx+Qdy=()dxdyLd,：x2y(b):P二Q.LQdy-P(x,y)dx=D(-(c);Q(x,y)dy=Ddy填空题1.设C是圆周x2+y2=9的正向，则(x+4丝y+(x-y)dx=Cx24y222,设f(u)在(,依)上连续可导，沿连接点A(3,)和B(1,2)的直线段AB的曲线积分32一2一ABdy=1-Yf(x,y).x(yf(x,y)-1)J,x2yy3.设有二元函1U(x,y),已知u(1,1)=0，且du=(2xcosy-ysinx)dx+(2ycosx-妫siny)dy,贝

7、U且u(x,y)=4设是由点11,1)到点23,3)的直线段,xdxydyzdzy2z24xyz、选择题1 .设函数f(x)连续仅>。，对x>0的任意闭曲线有支4x3ydx+xf(x)dy=0(A)4x3-12x224x-24(B)32rx4x-12x24x-2410e(D)(C)x32 .设F(x,y)可微，如果曲线积气F(x,y)(xdx+ydy)与路径无关，贝F(x,y)应满足()(A)yFy(x,y)=xFx(x,y)旧Fy(x,y)=Fx(x,y)ftTf(CyFyy(x,y)=xFxx(x,y)。xFy(x,y)=yFx(x,y)2.设函数f(x)连续可微且f(0)=-

8、2,曲线积分(ysin2x-yf(x)tanx)dxC'+f(x)dy与路径无关，贝f(x)=()(A)-一cosx-33cosx,、-2(B)-2cosx(Q-2cosx3.曲线积分2/2-x(xyCLdy在不与X轴相交的区域上与路径无关,八24(D-cosx33cosx则口=()(A)2(Q任意值(D)04如果2_22_2(y2xyax)dx(x2xybx)dy日Z222(xy)某一函魏(x,y)的二阶微分则a、b满足条例(1,1)=0的u(x,y),、xy(A)a=1,b=-1,u(x,y)=xy2x-y(B)a=-1,b=1,u(x,y)=xy2x-y(B)a=-1,b=-1,

9、u(x,y)=(x2y2)2x-y(D)a=-1,b=-1,u(x,y)=1xy25.L是圆域Dx2+y2W-2x的正向圆周，则(x3-y)dx+(x-y3)dy=()一3二一(A)2冗(B)0(C)。2n2四、求变力F=3x+y,2yx将质点沿椭x2+y2=4的正向转动一周所做的功。五、利用格林公式计算。1.2xy2dxxy2dy,C为正向圆周x2+y2=R22.(exsiny-my)dx(excosy-m)dyL为点A(a,0)到点Q,0)的上半圆做2+y2=ax(a>0)六、计算=%xdy_ydx,c为正向圆耿2+y2=r2(r#i)Cxy(2,3)一七、验证曲线积0)(2xcos

10、y-ysinx)dx+(2ycosy-xsiny)dy与路径无关，并求其值。八、选取n,使(x_y)dx+(x+y)dy在XO"面一上除女的负半轴和原点以外的开区酬的某个函觌(x,y)的全微分,(x2y2)n并求u(x,y).、判断§10.4对面积的曲面积分1 .二重积分也可看成是在平面片D上的第一类曲面积分。()2 .设连续曲面片工：Z=f(x,y),(x,y)eD,则工的面积为A=ds=向1+(fx')2+(fy)2dxdy，这与用二重积分求面积不一样。()三D二、填空题1 .设E是圆锥面Z=Jx2+y2被圆柱面x2+y2=2ax所截的下部分，则2 .设工是球面

11、：x2+y2+z2=2az,则曲面积分口(x2+y2+z2)ds=y三、选择题221.设工为Z=2xy在XY平面上万的曲面，则Wds=()£2二.122二22(A)JdH卜1+4rrdr(B)(d。卜1+4rrdr2二2222二22(C)d日(2r)J1+4rrdr(D)d。41+4rrdr(xyyzzx)ds=£2.设有一分布非均匀的曲面工,其面密度为复(x,y,z),则曲面工对X轴的转动惯量为(A) ffxds£2.(C) xds£-22223.设工为球面x+y+z=R，则=(,一.一24二R5二R4(A) 4nR(B)(C)52四、计算下列第一型曲

12、面积分。(B) x?(x,y,z)dsy,22、(D)(yz)(x,y,z)ds£(D) 4二R4口(z+2x+y)ds,其中工为平面三3x+y+z=1在第一卦限的部分。2342. 口(x+y+z)ds,工为球面x2+y2+z2=R2上(z之h且0<h<a)的部分。£12223. f22ds，Z是枉面x+y=R于平面Z=0和Z=h(h>0)之间的部分。fyz4. 由f(x2+y2)ds，工为锥面Z=*/x2+y2与平面z=1所围成的区域的边界曲面。y五、求球面Z=v'z-x2一y2在柱面x2+y2=ax内部的表面积。六、求旋转抛物面被平面Z=2所截

13、的部分的质心坐标,假设其上各点的面密度为该点到轴的距离的平方。国0.5对坐标的曲面积分、判断题1.设工为x2+y2+z2=R2在第一卦限部分，则工的面积为2222yxzdydz，ii.1yxydzdxDzxA=11zx2zy2dxdy-IlJx3DxyDyz其中Dxy,Dyz,Dzx分别为工在各坐标面上投影区域。xyyzzx2.因为xdydx=xcosds=,(工为x+y+z=1上侧)，所以口xdxdy为第一类曲线积分。3.43_、，2刊zdxdy=一屿,工为x+y3£二、填空题2+z2=a2的外侧。222、,一一一1 .Jzdxdy+xdydz+ydzdx=,工为枉面x+y=a被平

14、面Z=1和Z=4£所截得的在第一卦限内的部分。2 .设工为平面3x+2y+2y/3z=6在第一卦限的部分的上侧，将RRdxdy+Pdydz+Qdzdx化为对面积的曲面积分的结果为。三、选择题1 .设流速场v=0,0,1,则流过球面x2+y2+z2=a2的流量值=()243(A)0(B)4nR(C)-nR(D)132.设曲面工为Z=0,x<1,y<1,方向向下,D为平面区域：x<1,y<1,则JJdxdy=(£(A)1(B)口dxdy(C)y一2223,设工为Z=0(x+yMR)(A) R2dxdy=市4x2y2出2Nd2-口dxdy(D)0Y22的上

15、，贝UJ(x+y)dxdy=()X_2_4(B) -Rdxdy-二Rx2y2生2(D)0四、计算下列第二型曲面积分。1. 口zdxdy+xdydz,工是平面x+y+z=2在第一圭卜限部分的外侧。2. 口(x2-yz)dydz-2x2ydzdx+zdxdy,工柱面x2+y2=1被平面z=l和z=0所截得部分的外y侧。Ze223. 向一j=dxdy,工为锥面Z=Jx+y平面z=1和z=2所围成的立体表面的外侧。1,x2y2五、求流速场v=xi+y2k穿过曲面z=x2+y2与平面z=i所围成的立体表面的流量。六、已知f(x,y,z)连续，工是平面x+y+z=1在第四卦限部分的外侧，计算f(x,y,z

16、)xdydz2f(x,y,z)ydxdzf(x,y,z)zdxdyy§10.6高斯公式与斯托克斯公式散度与旋度一、断题1 .设工是球面X2+y2+z2=R2的外侧，U,P.¥为法矢的方向角。V是z所围成的立体，则。月(x3cos«+y3cosP+z3cos?)ds=用(3x2+3y2+3z2)dv=4nR5()三v12 .空间立体G的体积V=川以丫2+丫2*+2*丫这是工为工的边界曲面之外侧。()33 .梯度和旋度为Z,散度是向量。()二、填空题1设空间区域C是由曲面z=a2-x2-y2与平面z=0围成，其中a为正整数，记建的表面外侧为s,夏的体积为v,贝U乎jx

17、2yz2dydzxy2dxdz+z(1+xyz)dxdy=。S2 设A=exyi+cos(xy)j+cos(xz2)R则divA=。，2-：22,，丁、3 设u=lnx+y+z，贝udiv(gradu)(i,i,i)=rot(gradu)(1JJ)=。二、选择题、一_一一22,_22一.1.设f(u)具有连续导致，工是曲面y=x+z与y=8-x-z所围成立体表面之外侧，则()1 x1x邛ff()dydz+-f()dzdx+zdxdy=()yyxy(A)16n(B)-16n(C)-8n(D)因f(u)未知，故无法确定。2 22212 .设工为球面x+y+z=R的外侧，贝U*口3"(xd

18、ydz+ydzdx+zdxdy)+(),/2222_(xyz)2(A)0(B)4n(C)4R2(D),砧333 .设工是球面x2+y2+z2=a2的外侧，则ffzdzdy=()£4 3.314(A)0(B)Jia(C)43(D)-a32三、计算打(x2yz)dydz+(y2-zx)dzdx+2zdxdy,工是z=1%：x2+y2被z=0所截部分的外侧。y五、计算由fx3dydz+1f(y)+y3dzdx+°f(丫)+y3dxdy,其中f(u)具有连续导数，工是球面zzyzx2+y2+z2=R2的外侧。六、算下列曲面积分。222,1. 口(yz)dydz+(zx)dxdz+(x-y)dxdy,工为z=x+y(0MzMh)的下侧。y2. JJ(8y+1)xdydz+z(1y2)dzdx4yzdxdy其中S是由曲线产=,"1。WyW3)绕y轴旋三x三o转而成的旋转曲面，它的法向量与y轴的正向的夹角恒大于。23. 口(2x+z)dydz+zdxdy,S为z=x2+y2(0WzW1)其法向量与轴正向的夹角为锐角。s