数形结合思想例题分析

1、数形结合思想例题分析数形结合思想例题分析一、构造几何图形解决代数与三角问题:1、证明恒等式：例1已知x、y、z、r均为正数，且x求证：rzxy.222z,自然联想到勾股定理2x.可以联想到BD.所以:22分析：由xy射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形(如图)。对照图形，由直角三角形面积的两种算法，结论的正确性一目了然。证明：(略)小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。2、证明不等式：例2已知：0ai,0bvi.求证a2b2,'(1a)2b2(1b)2J(1a)2(1b)22.2.证明：如图，作边长为

2、1的正方形ABCD在AB上取点E,使AE=a；在AD上取点G,使AG=b,过E、G分另1J作EF/AD交CDF;作GH/AB交BC于H。设EF与GH交于点0,连接AOBOCODOAGBD.由题设及作图知4AOG、BOE、COF、DOG均为直角三角形，因此OA%a2b2OB,(1a)2b2OC%(1a)2(1b)2ODa2(1b)2且ACBD2由于OAOCAC,OBOD数形结合思想例题分析Ja2b2'(1a)2b2、a2(1b)2J(1a)2(1b)22：2.当且仅当ab1时，等号成立。小结：在求证条件不等式时，可根据题设条件作出对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平面几何的定理、公理

3、去建立不等式使结论获证。3、求参数的值或参数的取值范围：2例3若方程ax2x10（a>0）的两根满足：x1V1,1<x2V3,求a的取值范围。_2解析：画出与方程对应的二次函数yax2x由图可知：当x=1时，yo；当x=3时，y>0.即a12211<o；a32231>o.5解得：<a<1.9mx21的解集仅有一个元素，求m的值。2例4若关于x的不等式0x2解：如图：在同一坐标系内，作出y1与yxmx22的图象。题设条件等价于抛物线yxmx2在直线y0与y1之间的带状区域仅有一个交点，且抛物线开口向上。由图形的直观性质可知：这个交点只能在直线y1上，故方

4、程组C仅有一组解。mx2y2yx1的最小值是x13.小结：此题由式子特点联想勾股定理，构造图形解决问题。二、用代数与三角方法解决几何问题：例6如图，在ABC中，AB>AC,CF、BE分另是ARAC边上的高。试证：ABCFACBE证法一：（三角法）因为0sinA1,ABAC（ABAC）sinAABACsinAACABsinA数形结合思想例题分析m2410即m2.小结：对于含参方程（不等式），可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭示问题中所蕴含的几何背景，往往能为解题提供清晰的思路。4、求最值问题：例5已知a、b均为正数，且ab2.求J024Vb21的最小值。解：如图，作

5、线段AB=2在AB上截取AE=a,EB=b,过A作ACAB,且AC=2过B作BDAB,且BD=%由勾股定理：CE=Va4,BD=Vb1,原题即求CE+EM最小值。又如图，延长CA至G,使AG=AC连接GE由三角形两边之和大于第三边，则GE、D三点共线时，GE+ED=D最短。作出图形，延长DB至F,使BF/AG且BF=AG连接GF.贝U在RtDGF中,DF=1+2=3GF=AB=2DGDF2GF2）3222.13CE+DE勺最小值是ABCFACBE（当A90o时取等号）证法二：（代数法）AB>AOCF,AB>BE及SaABC1八1八ABCFACBE22AB处变形得ABBEACCFBE

6、CFABACABBE>ACCF数形结合思想例题分析ABCF>ACBE90o日t,ABCF=ACBE.综上：ABCFACBE.小结：以上两种证明方法,分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。例7如图，在正ABC的三边ABBGCA上分别有点DE、F.若DEBCEFAC,FDAB同时成立，求点D在AB上的位置.分析：先假设符合条件的点D、E、F已经作出，再利用已知条件，寻找线段与角之间的数量关系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解。解：设AB=1,AD=X因为ABC为正三角形,且DEBQEFAC,FDAB)故，BD2BE8x解得:x(8x2)1-.AD3BD1AF2x,

7、CF12x,CD2CF24xBE1CE4x1即点D位于AB边上-分点处.3小结：几何中存在着这样一类问题，即几何图形中的某些点的位置或线段的长度小不能依题意画出来，只有根据已知条件求出某一些量时，图形才能画出。而方法,常常是通过列方程（组），即转化为代数方程求解。例8如图，ABC三边的长分别是BC=17,CA=18向ABC的三边分别作垂线PRPE、PF（DE、BDCEAF27.求:BDBF的长.解：设BDFy或角度的大求那些量的内的AB=19.过ABCF为垂足）.若DC1718y,FB19连接PAPB在RtAPBMPC.RtPFB中,PD2(19z)2PF2一一2同理：yPE2(17x)2PD