数列解题技巧归纳总结好5份

1、数列知识框架数列的概念两个基本数列数列求和数列的分类数列的通项公式数列的递推关系函数角度理解等差数列的定义anan1d(n2)等差数列的通项公式ana1(n1)d等差数列等差数列的求和公式&：(aian)nan(n-d等差数列的性质anamapaq(mnpq)等比数列的定义q(n2)an1等比数列的通项公式ana1qn1等比数列&anq冉(1qn)等比数列的求和公式Sn1q1q(qna（q1）等比数列的性质anamapaq(mnpq)公式法分组求和错位相减求和裂项求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明数列的应用分期付款其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式

2、、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式(1)观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan(d,q为常数)例1、已知an满足an+1=an+2,而且a1=1。求an。例1、解:an+1-an=2为常数，an是首项为1,公差为2的等差数列-an=1+2(n-1)即an=2n-11 .例2、已知an满足an1-an，而ai2,求an=?2解:3=三是常数an2是以2为首项，公比为9的等

3、比数列1(2)递推式为an+i=an+f(n)1 1例3、已知an中a1,an1an2，求an.2 4n1一，一一1111解：由已知可知an1an-()(2n1)(2n1)22n12n1令n=1,2,，(n-1),代入得(n-1)个等式累加，即(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)I/二产11=(1j+c2l335._L_电两5(2n-12n-1ana1万(11)4n4n2是可求的，就可以由an+1=an+f(n)以n=1,2,说明只要和f(1)+f(2)+f(n-1)(n-1)代入，可得n-1个等式累加而求an。(3)递推式为an+1=pan+q(p,q为常数)例4、an中，a1

4、1,对于n>1(nN)有an3an12,求an解法一：由已知递推式得an+1=3an+2,an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3(an-an-1)因此数列an+1-an是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=(3X1+2)-1=41.an+1-an=4-3n-1an+1=3an+23an+2-an=4.3n-1即an=2-3n-1-1解法二：上法得an+1-an是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4,a3-a2=43,a4-a3=4-32,an-an-1=4-3n-2,把n-1个等式累加得:=4(1+3+至十+空白)an=23n-1-1(4)递推式为an+1=pan+

5、qn(p,q为常数)1例5已知中，与二产,C叫求廿略解在4-=?口十(£)I的两边乘以及+】得22/1%1=(2"+1,令5=2"%2则%包=5%+1，于是可得22b11nbn1bn-(bnbn1)由上题的解法，得：bn32(一)n.-。b3()n2(-)n332n23说明对于递推式苴=P%+产，可两边除以屋十】，得驾=q亲引辅助数列0出)得鼠+1=1后用(5)递推式为an2pan1qan思路：设an2pan1qan,可以变形为：an2an1(an1an),f口十B二p就是叫+=(a+日)w口3%则可从(解得a,P,0P=-qan是公比为3的等比数列，就转化为前面

6、的类型。例6已知数列%中1=1.的=2,分析:广一二Ma+P=1121、解在耳9=-置加+三1两边减士覆.1an+n一小41)=2(。+】一%，a十1-%)是公比为-；，首项为切-amt26ait+l+Q%*十3力求an。，得力=1的等比数列。+(-"+十二,%二1+-(-夕T(6)递推式为S与an的关系式此类型可利用V8鼻，.1<n>2；、11例7设f%)前0项的和邑=4-%-产。)求与解由"二日_/_产得Sm+14次欣/1.Sn1Sn(a1an1anan12n1上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则2nan是公差为2的A.1-2nan=2+

7、(n-1)-2=2n.2i+l与曰n的关系；(2)试用n表小ai_xInan1)(2n22n1)11,an12an2n眨1数列。数列求和的常用方法:1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列(如果an等差，bn等比，那么anbn叫做差比数列)即把每一项都乘以bn的公比q,向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。可求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项,适用于数列anan1二(其中an1等差)可裂项为:anan1一(Jan1an)d等差数列前n项和的最值问题:1、若等差数列an的首项a10

8、,公差d0,则前n项和Sn有最大值。(i)若已知通项an,则Sn最大anan1(ii)若已知Snn取最靠近-q-的非零自然数时Sn最大;2p2、若等差数列an的首项a10,公差d0,则前n项和Sn有最小值(i)若已知通项an,则Sn最小anan1(ii)若已知&2一，pnqn,则当n取最靠近q，-的非零自然数时Sn最小;2p数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知Sn(即a1a2Lanf(n)求an,用作差法：anS,(n1)SnSn1，(n2)已知为中23ganf(1),(nf(n)求an,用作商法：anf(n)f(n1)'1)(n2)°已知

9、条件中既有Sn还有an,有时先求Sn，再求为；若an1anf(n)求an用累加法：ana(n2)。a“已知f(n)求an,用累乘法：anan(ananan1an1)an1an2有时也可直接求(an1an2)anoL(a2a1)a2La1(na12)。已知递推关系求an,用构造法(构造等差、等比数列)特别地，(1)形如ankan1b、ank%1bn(k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an;形如ankan1kn的递推数列都可以除以kn得到一个等差数列后，再求an。(2)形如anan1的递推数列都可以用倒数法求通项。kan1b(3)形如an1ank的递推数列都

10、可以用对数法求通项。(7)(理科)数学归纳法。(8)当遇到an1an1d或曳q时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式an1数列求和的常用方法：(1)公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。(3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n和公式的推导方法).(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n和公式

11、的推导方法).(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:1(1，)；1111k2(k1)kk1kn(n1)nn1n(nk)k'nnk，氏111/11、111万-(),k2k212k1k1kk1(k1)kn(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2);(n1)!11n!(n1)!2(./.n)1、n22(、n.n1).nn1、解题方法:求数列通项公式的常用方法:1、公式法2、由Sn求an(n1时，a1S1，n2时，anSnSn1)3、求差(商)法111如：an俩足一a1-a2-an2n512222n1.解：n

12、1时，一a1215,a1142n2时，1al222a22ian12n15112得：牙为22nan14(n1)2n1(n2)练习14,求a。数列an满足SnSn15an1,a13（注意到an1Sn1Sn代入彳导:SA4又S14,Sn是等比数列，Sn4nn2时，anSnSn13-4n14、叠乘法例如：数列an中，a13,求anann1解:a2a1a3a2红32an123n1.an1,-na1n又213,一an5、等差型递推公式由anan1f(n)，a1a0,求an,用迭加法n2时，a2a1a3a2f(2)f(3)两边相加，得:anan1f(n)ana1f(2)f(3)f(n)-'-anao

13、f(2)f(3)f(n)练习1数列an,a11,an3n1an1n2,求an(an13n1)266、等比型递推公式ancanidc、d为常数,0,c1,d0可转化为等比数列，设ancan1xancan1令(c1)xd,xan-d是首项为a1c1c为公比的等比数列a1cn1c1a1数列an满足a19,3an1an4,求ann1,一4八(an81)37、倒数法例如：a11,an12一，求anan2由已知得:1an2an12an1_12an-1为等差数列，工1,公差为-ana121 .11.1n1一一n1an222 .数列求和问题的方法(1)、应用公式法n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有

14、益的。等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前._+1)1+2+5+=n22+2+十十ii=-1+3+5+(2n-1)=n613+23+?3+疗=£1fj-I【例8】求数歹U1,(3+5),(7+9+10),(13+15+17+19),前n项的和。1解本题头际是求各奇数的和，在数列的刖n项中，共有1+2+-+n=n(n1)个奇数,2，最后一个奇数为：1+n(n+1)-1x2=n2+n-12因此所求数列的前n项的和为(2)、分解转化法对通项进行分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和。【例9求和S=1(n2-1)+2(n2-22)+3-(n2-32)+n(n2-n2)解S=n2(1+

15、2+3+n)-(13+23+33+n3)=n2*n(n+1)一;口。(n+1),n2n十1)Cn-1)4=9U)(3)、倒序相加法采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列,和。例10、求和：Sn3C：6c2L3nCn例10、解Sn0?C03C；6C：L3nC：+3（n-1）C丫】十+0C"相加，且运用u二图“可得2%=3n（C：+C；+吠）=3U2北Sn=3n-2n-1(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.例11、求数列1,3x,5x

16、2，,(2n-1)xn-1前n项的和.解设Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1.当叶l+(2n-1)2(1)三天=1叼，=*n=n.(2)x=0时，Sn=1.(3)当xw0且xw1时，在式两边同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn,-，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn.,1陵(1-姆4)由公式知Sn=-口+-(2力-1)F1-X1-5C14X-(2n+l)an+(2&-1)+1二八不'(5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：1111n(n+k)kan+k_21J11例12、求

17、和例31111?53?75?911求和十173*7n(n+1)(口+2)2xin1n+2(2n1)(2n3)11十+-+59(2nT)(2n4司1n"(2n-l)(2n+3)=-十+-'*"!十1d537$92n-32n72n-12n+3lrH111n一!4l3Zn+12n十5n(4n+5)=货22+1)(2n-3)注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1.函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】等差数列a

18、n的首项a1>0,前n项的和为Sn,若S=Sk(lwk)问n为何值时S最大?解依题意，设f(Q三也如+“"2"&-f(a)+(%g)a此函数以n为自变量的二次可吐.,ai>0Si=&(lwk),，d<0故此二次函数的图像开口向下1f(l)=f(k)J当八二时fG)最大,f(n)口,nEN*J1+k，当1+k为偶数时，n=空-时£最大口当14k为奇数时，口=警¥时当最大。2 .方程思想一【例14】设等比数列但口前门项和为Sn,若S3+&=2&,求数列的公比q。分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解:依

19、题意可知qwl。;如果q=1,则S3=3ai,S6=6ai,So=9ai。由此应推出ai=0与等比数列不符。-qwI(1-q3)支(1-2a(1-q)9)+=-q1-q-q整理得q3(2q6-q3-i)=0q0,-2q6-q3-1=0qj=啥，q；-1u此题还可以作如下思考：S6=S3+q3S=(i+q3)&°S9=S3+q3S6=S(i+q3+q6),由S3+S6=2S9可彳22+q3=2(i+q3+q6),2q6+q3=03 1道q=石q=F3.换元思想【例I5已知a,b,c是不为i的正数，x,y,zCR+,且育g*=b7=c，和"!二一5求证：a,b,c顺次成

20、等比数列。''证明依题意令ax=by=cz=k-x=1ogak,y=logbk,z=logck.112112.4-=$-+=Xzy1暇k1叫k10gbk故M+整二警即3+kIgkIgkb2=ac.a,b,c成等比数列(a,b,c均不为0)10数学5（必修）第二章：数列提高训练C组一、选择题数列an的通项公式an,则该数列的前（）项之和等于A.98B.99C.96D.972.在等差数列an中,若S41,S84,则a17a18a19a2。的值为（A.12C.16D.173.在等比数列an中,a26,JeLa52a4a312A.1)n2C.62n,/、n2n2(1)或624.在等差数

21、列an中,aa2a50200,a51a52a1002700,则a1为（）A.22.5B.21.5C.20.5D205.已知等差数列an的前n项和为Sn,若m1,且am10,S2m138,则mA.等于38)B.206.等差数列an,bn的前n项和分别为C.10D.9Tn,若务Tn2-，则电3n1bn2n1Sn,amam12A.3二、填空题2n13n2n1D3n13n4已知数列中,a12.已知数列的Sn3.三个不同的实数4.在等差数列an5.若等差数列an6.an1anan1an,则数列通项an1贝ua8a9a10ana12二a,b,c成等差数列，且a,Gb成等比数列，则a:b:c中，公差中,a3

22、一个等比数列各项均为正数,三、解答题d;前100项的和S10045,则切a3a5a7a108,a11a44,则§3且它的任何一项都等于它的后面两项的和，则公比1.已知数列an的前n项和Sn32、求an11q为2.一个有穷等比数列的首项为1,项数为偶数，如果其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数。3.数列lg1000,lg(1000cos60°),lg(1000cos260°),.lg(1000n10cos60工的前多少项和为最大?4,已知数列an的前n项和Sn15913.(1)n1(4n3),求S15S22S31的值。5.已知数列an的前n项

23、和为Sn,满足Sn=2an-2n(nCN)(1)求数列an的通项公式an;b1(2)若数列bn满足bn=log2(an+2),Tn为数列一的前n项和，求证Tn>-;an2212选择题参考答案（数学5必修）第二章提高训练C组1.Ban1-=n1、.n,Sn.n、-n1,2、.彳3.2.，门,n2.AS43.D4.C5.C6.BSn彷19,nl1,S8S43,而S4,S8S4S210,n99S8,§6Si2,S20Sb成等差数列即1,3,5,7,9,a17a18a19a20S20S169a52a4a3a32a2或q227001时,2时,200222/2/、c,22a20,a5a32

24、a42a2,a3(q1)2a2(q10,q2,1或1,当q1时，an6；a16,an6(n1a13,an3250d50,d1,S50a1a508,2al49d8,2为1)amS2manbn二、填空题1.1.1003.4:1:(amam0,am(am2m11z(&a2m1)1)n1641,a12)0,am2,(1)na50)20.5(2m1)a2m38,2m200,192an2bnan2n122n12(a1a2ni)(b1b2n1)S2n1T2n12(2n1)3(2n1)12n13n1an11,1an1an公差的等差数列,a8a9a10a11a122)ac2b,c2bS12a,abab,a4b,c2b(nS71口,1,ZE以an1I为首项,a11)(122(2b1)12a)213n,an1(721)1002_.2,a5ab4b4.10S100100(a1a100)45,aa。0.