数学试验——线性规划

1、实验5线性规划分1黄浩43一、实验目的1 .掌握用MATLAB：具箱求解线性规划的方法2 .练习建立实际问题的线性规划模型二、实验内容1 .数学实验第二版(问题6)问题叙述：某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%勺税率纳税。此外还有如下限制：(1) .政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；(2) .所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)；(3).所购证券的平均到期年限不超过5年A巾政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府1

2、34.4E巾政524.5I .若该经理有1000万元资金，该如何投资？II .如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？III .在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%,投资应否改变？模型转换及实验过程：I.设经理对于上述五种证券AB、GDE的投资额分别为：、(万1元），全部到期后的总收益为z万元由题目中的已知条件，可以列出约束条件为:而决策变量的上下界约束为:目标函数将上述条件转变为matlab的要求形式:使用matlab解上述的线性规划问题（程序见四.1）,并整理成表格:金额（万元）218.18

3、0736.36045.4529.836得出结论：当经理对A、BGDE五种证券分别投资218.18、0、736.36、0、45.45万元时，在全部收回时可得到29.836万元的税后收益，而且这种投资方式所得收益是最大的。讨论：尝试输出该约束条件下的拉格朗日乘子：该乘子表示，第一个约束条件对目标函数的取值不起作用，而剩余三个约束条件取严格等号的时候，目标函数达到最优解。下面验证之：由解得的x值，代入四个约束条件中，得：因为决策变量x的取值经过了四舍五入，因而后三个约束条件最终是“约等于”，但已经十分接近，若使用更高精度的x,则该三式是可以严格等于的,以上便从实验角度证明了拉格朗日乘子的其中一条数学

4、意义一一非零分量对应于起作用的约束，且这些约束取严格等于的时候，目标函数达到最优解。II.若能以2.75%的利率借到不超过100万元资金，那么还可以将这部分资金进行证券投资，设借款金额为，则线性规划条件改为：使用matlab求解（程序见四.2）并整理成表格:金额（万元）240081005010030.07得出结论：当经理在以2.75%的利率借款100万元后，且对A、RC、DE五种证券分别投资240、0、810、0、50万元时，在全部收回投资时可得到30.07万元的税后收益，而且这种投资方式所得收益是最大的。讨论：本小题中借款的利率2.75%设为了与借款时间无关的量，即无论借多长时间,最终只需多

5、缴纳0.0275倍借款额的利息，这显然是与实际不符的。在这种情况下，借款额的数值显然是100（万元），因为其他五种证券的收益率都高于贷款利率（也可看做负的收益率），借款越多，其他高收益证券就可以有更多本金,收益就越大，因而该情况下，借款多多益善。而实际情况下，贷款利率是按年计算的，在这种情况下，还需要考虑还款时间。III.若证券A的税前收益增加为4.5%,则目标函数变为：使用matlab解上述线性规划问题（程序见四.3）,并整理成表格:金额（万元）218.180736.36045.4530.273因此，证券A的税前收益增加为4.5%时，投资方式不需改变，而总收益提高为30.273万元同样，若证

6、券C的税前收益减少为4.8%,则目标函数变为：使用matlab解上述线性规划问题（程序见四.4）,并整理成表格:金额（万元）336006481629.424因此，当证券C的税前收益减少为4.8%时，投资方式发生了很大改变，证券A和E有少量的变化，证券C被完全舍弃，原C的资金大部分改投证券D,而总收益也由29.836万元下降为29.424万元。得出结论：若证券A的税前收益增加为4.5%,投资不需改变。总收益增加为30.273万元。而若证券C的税前收益减少为4.8%,投资需要发生改变，五个证券的投资额相应变为336、0、0、648、16万元。总收益下降为29.424万元。2.数学实验第二版（问题8

7、）问题叙述：40磅蛋某牧场主知道，对于一匹平均年龄的马来说，最低的营养需求为：白质，20磅碳水化合物，45磅粗饲料。这些营养成分是从不同饲料中得到的，饲料及其价格在下表中列出。建立数学模型，确定如何以最低的成本满足最低的营养需求。十草/捆0.5251.8燕麦片/袋1423.5饲料块/块20.510.4高蛋白浓缩料/袋612.51母匹马的需求/天402045模型转换及实验过程:设牧场主对于每一匹马的供给量为：捆干草，袋燕麦片，块饲料块,袋高蛋白浓缩料。每匹马耗费资金z美元。则可列出约束条件为:而决策变量目标函数:改换成matlab的要求格式:使用matlab解上述的线性规划问题（程序见四.5）,

8、结果整理成表格:数量5020017得出结论：当牧场主给每匹马配备5捆干草、20块饲料块时，能以每匹马17美元的最低的成本满足最低的营养需求。讨论：与第一题类似，尝试输出该约束条件下的拉格朗日乘子：这说明，蛋白质的需求量不是有效约束条件，而碳水化合物和粗饲料的需求是有效约束条件，二者在严格等于的时候才会出现最优解。下面再证明拉格朗日乘子的另一个数学意义：影子价格，表示对应约束的右端项增加一个单位时，目标函数的增加量（最大化问题）或减少量（最小化问题）。分别对一匹马的蛋白质、碳水化合物、粗饲料需求量加1,使用matlab求解这三种线性规划，得目标函数的最优解如下：可见，没有变化，验证了蛋白质的需求

9、量不是有效约束条件这一性质，的增量为，也验证了影子价格的性质。但奇怪的是，却没有按照预期增加0.2,而是增加了0.287个单位。再将粗饲料白增值设为0.1,其他增值设为0,重复实验，得,即目标函数的增量为，符合预期。然而为什么当增值设为1时，使得不到预期的目标函数的增量了呢？因为拉格朗日乘子仅在一定范围内，代表影子价格，即一，当约束条件的改变达到一定程度后，拉格朗日乘子便不再表示正确的影子价格了。而在matlab中，无法调用函数操作来输出拉格朗日乘子的使用范围，只有在LINGO或LINDO中才能给出。三、实验总结本次实验是求解两个实际的线性规划问题，相对于之前的实验，本次的内容较少，操作也很简

10、单。除了需要注意一下matlab对于线性规划问题的标准格式，搞清楚min和max的区别、大于与小于的区别之外，没有其他易错点。相对于这两道题的实际情景，我在本次实验中更关心拉格朗日乘子这个数学概念的深层意义。通过附加的实验，我证明了拉格朗日乘子的两条数学含义，它的零分量对应于不起作用的约束，且为严格不等式约束，非零分量对应于起作用的约束，且为严格等式约束，且分量数值代表约束右端项改变一个单位时，目标函数的改变量，即影子价格。当然，拉格朗日乘子也有一定的使用范围，当约束右端项改变达到一定程度，使得各个约束之间的优劣关系发生改变时，原条件下的拉格朗日乘子便不能代表当前的影子价格了。四、程序清单1

11、.第一题小问C=-0.043,-0.027,-0.025,-0.022,-0.045;A1=0,-1,-1,-1,0;0.6,0.6,-0.4,-0.4,3.6;4,10,-1,-2,-3;1,1,1,1,1;b1=-400;0;0;1000;v1=0,0,0,0,0;v2=1000,1000,1000,1000,1000;opt=optimset('largescale','off','simplex','on');x,fv,ef,out,lambda=linprog(c,A1,b1,v1,v2,opt)2 .第一题II小问C=

12、-0.043,-0.027,-0.025,-0.022,-0.045,0.0275;A1=0,-1,-1,-1,0,0;0.6,0.6,-0.4,-0.4,3.6,0;4,10,-1,-2,-3,0;1,1,1,1,1,-1;b1=-400;0;0;1000;v1=0,0,0,0,0,0;v2=1100,1100,1100,1100,1100,100;opt=optimset('largescale','off','simplex','on');x,fv,ef,out,lambda=linprog(c,A1,b1,v1,v2,op

13、t)3 .第一题III小问A的税前收益增加为4.5%c=-0.045,-0.027,-0.025,-0.022,-0.045;A1=0,-1,-1,-1,0;0.6,0.6,-0.4,-0.4,3.6;4,10,-1,-2,-3;1,1,1,1,1;b1=-400;0;0;1000;v1=0,0,0,0,0;v2=1000,1000,1000,1000,1000;opt=optimset('largescale','off','simplex','on');x,fv,ef,out,lambda=linprog(c,A1,b1,v1,v2,opt)4 .第一题III小问C的税前收益减少为4.8%c=-0.043,-0.027,-0.024,-0.022,-0.045;A1=0,-1,-1,-1,0;0.6,0.6,-0.4,-0.4,3.6;4,10,-1,-2,-3;1,1,1,1,1;b1=-400;0;0;1000;v1=0,0,0,0,0;v2=1000,1000,1000,1000,1000;opt=optimset('largescale','off','simplex','on');x,fv,ef,out,lambda=linprog(c,