第九章 量纲分析与相似理论

1、9-1 量纲分析量纲分析 9-2 相似的基本概念相似的基本概念 9-3 相似准则相似准则1引言高126m相似理论239-1 量纲分析量纲分析一、量纲与单位一、量纲与单位1.单位：表征各物理量的大小。单位：表征各物理量的大小。 如长度单位如长度单位m、cm、mm；时间单位小时、分、秒等；时间单位小时、分、秒等；质量单位千克、克等质量单位千克、克等2.量纲：表征各物理量单位的种类。量纲：表征各物理量单位的种类。 如如m、cm、mm等同属于长度类，用等同属于长度类，用L表示；表示； 小时、分、秒等同属于时间类，用小时、分、秒等同属于时间类，用T表示；表示； 公斤、克等同属于质量类，用公斤、克等同属于

2、质量类，用M表示。表示。43.基本量纲和导出量纲基本量纲和导出量纲（1）基本量纲：量纲互不依赖、相互独立。）基本量纲：量纲互不依赖、相互独立。 L长度量纲长度量纲M质量量纲质量量纲T时间量纲时间量纲（2）导出量纲：由基本量纲表示的量纲，可用基）导出量纲：由基本量纲表示的量纲，可用基本量纲的指数乘积来表示本量纲的指数乘积来表示 。dimL M Tabcx 1dimLTu-2dimLMTF 力力粘度粘度 11dimL MT速度速度54.4.量纲分类量纲分类 0,0,0abc（1 1）几何学量纲：）几何学量纲： （2 2）运动学量纲：）运动学量纲： 0,0,0abc（3 3）动力学量纲：）动力学量纲

3、： 0,0,0abc（4 4）无量纲数：）无量纲数： 0,0,0abc121LT Ldim1L TeRLdim1LJ dimL M Tabcx 6vdRelhJwdd粘度系数粘度系数力力密度，重度密度，重度流量流量速度，加速度速度，加速度 常用量及量纲常用量及量纲 13dimTLQ3dim ML2dim MLTF11dimTML22dimTML12dimTLv1dim LTv2dim LTg7二、量纲和谐性原理二、量纲和谐性原理1.1.量纲和谐原理是指在一个反映客观规律的物理方程式中，量纲和谐原理是指在一个反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲必须是一致的，它是被无数事实所证明的一个客各项的量

4、纲必须是一致的，它是被无数事实所证明的一个客观原理。观原理。 连续性方程连续性方程 2211AvAv2211 122 21222wpvpvzzhgggg伯努力方程伯努力方程 2.2.在经验公式中常有带量纲的系数，这类公式的量纲是不和在经验公式中常有带量纲的系数，这类公式的量纲是不和谐的。谐的。 动量方程动量方程 )(1122vvQF8三、量纲分析法三、量纲分析法量纲分析法：在量纲和谐性原理的基础上，形成了两种按照物量纲分析法：在量纲和谐性原理的基础上，形成了两种按照物理量之间的量纲和谐性建立各物理量之间的函数关系式的方法。理量之间的量纲和谐性建立各物理量之间的函数关系式的方法。 1. 瑞利法瑞

5、利法若某一物理过程与若某一物理过程与n个物理量有关，即个物理量有关，即 0),(21nxxxf其中一个物理量其中一个物理量 可以表示成其它物理量的指数乘积形式可以表示成其它物理量的指数乘积形式 ix1211abcdmiiinxKx x xxx无量纲数无量纲数 K待定系数待定系数 , , ,a b c dm9Rvm例例9-1 9-1 已知作用在做匀速圆周运动物体上的离心力已知作用在做匀速圆周运动物体上的离心力 ，与物体的质量与物体的质量 、速度、速度 和圆周半径和圆周半径 有关，试用瑞有关，试用瑞利法推导离心力公式。利法推导离心力公式。F 解解 根据已知条件，离心力可以写成以下指数形式根据已知条

6、件，离心力可以写成以下指数形式cbaRvKmF 根据量纲和谐性，有根据量纲和谐性，有 21dimMLTMLTLbacFKM :1aL :1bcT : 2b 1a2b1c RKmvF/210cv例例9-2 9-2 由实验得知：恒定有压管流的临界流速由实验得知：恒定有压管流的临界流速 与管径与管径 、流体密度、流体密度 和动力黏性系数和动力黏性系数 有关，有关，试用瑞利法求出它们之间的关系式。试用瑞利法求出它们之间的关系式。d 解解 根据已知条件，有以下待定函数关系根据已知条件，有以下待定函数关系),(dfvccbacKdv根据量纲和谐性有根据量纲和谐性有 1311dimLTLMLML Tbcac

7、vK L:13abcT: 1c M:0bc1a 1b 1c ccecdvv dKR112. 2. 定理法定理法 (布金汉法布金汉法) 若物理方程为若物理方程为 0),(21nxxxf 而这些变量中含有而这些变量中含有m m个基本物理量，则可组合这些变量成个基本物理量，则可组合这些变量成为为(n (n m) m)个无量纲个无量纲数的函数关系，即数的函数关系，即0),(21mnF11132141cbaxxxx22232152cbaxxxx3333123nnnnnabcxxxx123,x x x这三个基本量分别表征流体物性、几何特性和运动特征这三个基本量分别表征流体物性、几何特性和运动特征 1212

8、3,x x x必须相互独立必须相互独立 表征流体物性：密度表征流体物性：密度 、粘度、粘度 等等ld表征几何特性表征几何特性: : 管径管径 、管长、管长 等等 gv表征运动特性：速度表征运动特性：速度 、重力加速度、重力加速度 等等 13定理法的运用步骤：定理法的运用步骤： （1 1）找出对物理过程有影响的）找出对物理过程有影响的 个物理量，写成函数形式。个物理量，写成函数形式。所谓有影响的物理量是指对研究的物理过程起作用的各种独立所谓有影响的物理量是指对研究的物理过程起作用的各种独立因素因素 nm（2 2）选出）选出 个相互独立的基本量，一般取个相互独立的基本量，一般取 个个3micia（

9、4 4）根据量纲和谐性原理，找出各项的待定系数）根据量纲和谐性原理，找出各项的待定系数 、 、 。 ib（3 3）将）将 个基本量依次与其余量组成个基本量依次与其余量组成 个无量纲项个无量纲项 mn（5 5）写出描述该物理过程的关系式）写出描述该物理过程的关系式 0),(21mnF14Ddv例例9-3 9-3 已知圆球的绕流阻力已知圆球的绕流阻力 与流体的密度与流体的密度 和和粘度粘度 、圆球的直径、圆球的直径 、来流的流速、来流的流速 相关，相关，试用试用 定理推导绕流阻力公式。定理推导绕流阻力公式。 解解 （1 1）建立函数关系式）建立函数关系式 0),(vdDfdv（2 2）选取）选取

10、、 、 为三个基本量，求各为三个基本量，求各 项。项。 1111cbavdD2222abcd v15根据量纲和谐性原理根据量纲和谐性原理 1 111231LTMMLLLTacb111L:13abc 1T: 2c 1M:1a 11a21b21c221vdD12eRdv同理同理 （3 3）写出无量纲方程）写出无量纲方程 0),(122eRvdDF22()eDf Rd v1622dvC A228()42evdf R1111cbavdD2222abcd v例例9-4 9-4 根据实验，某气体管流现象的物理方程为根据实验，某气体管流现象的物理方程为 0),(ldvpf压强损失：压强损失： 气体密度：气体

11、密度： 流速：流速： 动力粘度：动力粘度： 管径：管径： 管长：管长： 管壁粗糙度：管壁粗糙度： pvdlp试用试用 定理推导气体管路压强损失定理推导气体管路压强损失 公式公式。 解解 dv（1 1）取）取 、 、 作为三个基本量，求各作为三个基本量，求各 项项 1111cbavdp2222cbavd3333cbavdl4444abcd v17（2 2）根据量纲和谐性原理，略去具体计算步骤，求得各项）根据量纲和谐性原理，略去具体计算步骤，求得各项结果为结果为21vpeRdv12dl3d40),1,(2ddlRvpFe2),(vddlRfpe222 (,)22elvlvpf Rd dd （3 3

12、）写出无量纲方程）写出无量纲方程 ),(2dRfe189-2相似的基本概念相似的基本概念模型和实际流场的几何形状相似，即对应的线段成比例，模型和实际流场的几何形状相似，即对应的线段成比例，对应的夹角相等。对应的夹角相等。 mplllC mp长度比尺长度比尺 lC面积比尺面积比尺 222lmpmpACllAAC体积比尺体积比尺 333lmpmpVCllVVC1920几何相似的意义：几何相似的意义： 几何相似是力学相似的前提，只有在几何相几何相似是力学相似的前提，只有在几何相 似的流动中才能找到对应点，从而进一步探讨对似的流动中才能找到对应点，从而进一步探讨对应点其它物理量之间的相似。应点其它物理

13、量之间的相似。21两个流场对应点上的速度（或加速度）的方向相同，大小两个流场对应点上的速度（或加速度）的方向相同，大小成比例，即成比例，即 mpuuuC 速度比尺速度比尺 ppppmlvmmmptmlvtltCClvltCt加速度比尺加速度比尺 2ppppmlammmptmvatvtCCvavtCt时间比尺时间比尺 mptttC 重力加速度比尺重力加速度比尺 1pgmgCg222324运动相似是模型实验的真正目的。运动相似是模型实验的真正目的。运动相似的意义：运动相似的意义：两个流动各对应点上受到的各种同名力方向相同、大小两个流动各对应点上受到的各种同名力方向相同、大小成比例成比例 ，即，即m

14、pmpmpmpmpmpFIISSEEPPGGTTC粘性力粘性力重力重力压力压力弹性力弹性力表面张力表面张力惯性力惯性力TGPESI力的比尺力的比尺 密度比尺密度比尺 mpC粘度比尺粘度比尺 mpC25条件：条件：2 对应点上同物理性质的力方向相对应，对应点上同物理性质的力方向相对应， 大小成比例。大小成比例。1 几何相似；几何相似； 根据达郎贝尔原理，对于运动的质点，设想加上该根据达郎贝尔原理，对于运动的质点，设想加上该质点的惯性力，则惯性力与质点所受作用力平衡，形式质点的惯性力，则惯性力与质点所受作用力平衡，形式上构成封闭力多边形。因此动力相似又可表述为相应点上构成封闭力多边形。因此动力相似

15、又可表述为相应点上的力多边形相似，相应边（即同名力）成比例。上的力多边形相似，相应边（即同名力）成比例。26动力相似的意义：动力相似的意义：动力相似是力学相似的保证，是力学相似的主导因素。动力相似是力学相似的保证，是力学相似的主导因素。运动相似是动力相似的表征。运动相似是动力相似的表征。 271.1.初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似的必要条初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似的必要条件，正如初始条件和边界条件是微分方程的定解条件一样。件，正如初始条件和边界条件是微分方程的定解条件一样。2.2.对于非恒定流，初始条件是必须的，而对于恒定流，初始对于非恒定流，初始条件是必须的，而对

16、于恒定流，初始条件则失去了意义。条件则失去了意义。3.3.边界条件是指两个流动相应边界性质相同，比如，自由表边界条件是指两个流动相应边界性质相同，比如，自由表面上的压强等于大气压强，固体边界上的法线速度为零等。面上的压强等于大气压强，固体边界上的法线速度为零等。281.1.雷诺准则（粘性力准则）雷诺准则（粘性力准则）ppmmTITIp ppm mmpmv lv lp pm mpmv lv levdR雷诺数雷诺数 ()()epemRR雷诺准则：粘性力雷诺准则：粘性力起主要作用。起主要作用。9-3 相似准则相似准则mpmpmpmpmpmpFIISSEEPPGGTTCpmmpIITT2duvTAlvldyl3222lImalv lt292.2.佛汝德佛汝德准则（重力准则）准则（重力准则）mmmpppglvglv222rvFlg佛汝德数