第2章复合准则

1、复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程第第2 2章章 复合材料性能复合准则复合材料性能复合准则 复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程 2.1 复合效应复合效应 复合效应复合效应 是由组分是由组分A和组分和组分B的性能及它们之间所形成的性能及它们之间所形成的界面性能相互作用和相互补充，使复合材料的性能在其组的界面性能相互作用和相互补充，使复合材料的性能在其组分性能的基础上产生线性或非线性的综合性能。分性能的基础上产生线性或非线性的综合性能。 平均效应平均效应 线性复合线性复合 平行效应平行效应 相补效应相补效应 相抵效应相抵效应 乘积效应乘积

2、效应 非线性复合非线性复合 诱导效应诱导效应 系统效应系统效应 共振效应共振效应复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程2.1.1 2.1.1 线性复合效应线性复合效应 1.1.平均效应平均效应 （混合效应）（混合效应） 复合材料的某项性能等于组成复合材料各组分的性能乘复合材料的某项性能等于组成复合材料各组分的性能乘以该组分的体积分数之加和，即以该组分的体积分数之加和，即 式中式中， KC 和和 Ki 分别为复合材料和组分分别为复合材料和组分i i 的某相性能，的某相性能， V Vi 组分组分i 的体积分数的体积分数适合于适合于 复合材料的密度复合材料的密度 单向纤维复

3、合材料的弹性模量和泊松比单向纤维复合材料的弹性模量和泊松比inincVkk复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程 2.2.平行效应平行效应 （混合效应（混合效应） 平行效应平行效应 指复合材料的某项性能与其中某一组分的该性能指复合材料的某项性能与其中某一组分的该性能基本相当，即基本相当，即 如 复合材料的耐腐蚀性与基体基本相当复合材料的耐腐蚀性与基体基本相当 3.3.相补效应相补效应 复合材料的各组分性能相互补充、弥补各自弱点，产复合材料的各组分性能相互补充、弥补各自弱点，产生优良的综合性能生优良的综合性能 ickk 复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与

4、工程本科生课程4. 4. 相抵效应相抵效应 各组分之间性能相互制约，使复合材料的性能低于混合各组分之间性能相互制约，使复合材料的性能低于混合平均值，即平均值，即inincVkk2.1.2 2.1.2 非线性效应非线性效应 是指复合材料的性能不再与组分的对应性能呈线是指复合材料的性能不再与组分的对应性能呈线性关系，使复合材料的某项功能得到强化，从而远超性关系，使复合材料的某项功能得到强化，从而远超过混合平均值。过混合平均值。相乘效应相乘效应 是把两种具有能量（信息）转换功能的组分复合是把两种具有能量（信息）转换功能的组分复合起来，使它们相同的功能得到复合，不同的功能得到起来，使它们相同的功能得到

5、复合，不同的功能得到转换。转换。 如如 （X/YX/Y） （Y/ZY/Z）=X/Z=X/Z复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程 2. 2. 诱导效应诱导效应 指复合材料两相界面上产生诱导作用，使之形成新的界指复合材料两相界面上产生诱导作用，使之形成新的界面层。面层。 如诱导结晶如诱导结晶3. 3. 系统效应系统效应 指将不具备某种性能的各组分通过特定的复合后，使复指将不具备某种性能的各组分通过特定的复合后，使复合材料具有单个组分不具备的新性能。合材料具有单个组分不具备的新性能。 如彩色胶片如彩色胶片 由

6、能分别感应蓝、绿、红的三种感光剂复合由能分别感应蓝、绿、红的三种感光剂复合而成。而成。4. 4. 共振效应共振效应 指组分指组分A A与组分与组分B B复合后，能使复合后，能使A A组分的大多数性能受到抑组分的大多数性能受到抑制，而使其中某一种性能在复合材料中得到突出发挥。制，而使其中某一种性能在复合材料中得到突出发挥。复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程线性效应线性效应非线性效应非线性效应平均效应平均效应相乘效应相乘效应平行效应平行效应诱导效应诱导效应相补效应相补效应共振效应共振效应相抵效应相抵效应系统效应系统效应效应效应效应效应不同复合效应的类别不同复合效应的类

7、别复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程相补效应和相抵相应相补效应和相抵相应AB复合材料可设计性示意图复合材料可设计性示意图复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程1、复合材料的密度一般可以表示如下：c mVm+ fVf；单向纤维复合材料的弹性模量可表示如下：Ec=EmVm+ EfVf；这称之为哪种复合效应（ ） 复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程2、玻璃纤维增强环氧树脂玻璃纤维增强环氧树脂复合材料的耐腐蚀性能与环氧树脂环氧树脂的耐腐蚀性能基本相当，即复合材料的某项性能与其中某一组分的性能基本相当。这称之为哪种复合

8、效应？（ ）复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程3、对于脆性的高强度纤维增强体与韧性低强度基体复合时，若能得到适宜的界面结合，则复合材料表现出较高的强度和良好的韧性，这称之为哪种复合效应？（ ）复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程4、对于脆性的高强度纤维增强体与韧性基体复合时，若界面结合过强，则复合材料表现出脆性断裂，这称之为哪种复合效应？（ ）复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程5、磁光效应材料与电磁效应的材料进行复合，能得到电光效应复合材料 ，这称之为哪种复合效应？（ ）复合材料材料科学与工程本科生课程复合

9、材料材料科学与工程本科生课程5、结晶的纤维增强体增强非晶基体复合材料中，在一定的条件下可能发生非晶基体的结晶，且其结晶取向在一定程度上与纤维相关。这是哪种复合效应？（ ）复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程2.2 颗粒作为增强体的增强原理颗粒作为增强体的增强原理u 弥散增强原理弥散增强原理（弥散颗粒与基体复合）（弥散颗粒与基体复合）u 颗粒增强原理颗粒增强原理（较大颗粒与基体复合）（较大颗粒与基体复合）复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程2.2.1 2.2.1 弥散强化弥散强化: :弥散强化复合材料是由弥散微粒与基体复合而成。弥散强化复合

10、材料是由弥散微粒与基体复合而成。其强化机理与析出强化机理相似。可用其强化机理与析出强化机理相似。可用OrowanOrowan理论（理论（位错绕过机制）解释。）解释。载荷主要由基体承担，弥散颗粒阻碍基体的位错载荷主要由基体承担，弥散颗粒阻碍基体的位错运动。这种阻碍能力越大，增强效果越大。运动。这种阻碍能力越大，增强效果越大。位错绕过第二相粒子的机制示意图位错绕过第二相粒子的机制示意图复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程2.2.1 2.2.1 弥散强化弥散强化: :弥散强化复合材料是由弥散微粒与基体复合而成

11、。弥散强化复合材料是由弥散微粒与基体复合而成。其强化机理与析出强化机理相似。可用其强化机理与析出强化机理相似。可用OrowanOrowan理论（理论（位错绕过机制）解释。）解释。载荷主要由基体承担，弥散颗粒阻碍基体的位错载荷主要由基体承担，弥散颗粒阻碍基体的位错运动。这种阻碍能力越大，增强效果越大。运动。这种阻碍能力越大，增强效果越大。在剪应力的作用下位错的曲率半径为：imbGR2：基体剪切模量mGb：柏氏矢量：剪应力i复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程无论是刃型、螺型还是混合型位错，均有：无论是刃型、螺型还是混合型位错，均有： a常取常取0.51.0，螺型位错取

12、，螺型位错取0.5，刃型位错取，刃型位错取1.0，即位错，即位错的能量与切变模的平方成正比，所以柏氏矢量的模是影响的能量与切变模的平方成正比，所以柏氏矢量的模是影响位错能量的最重要因素位错能量的最重要因素 2GbW平衡时，位错上的作用力与线张力在水平方向平衡时，位错上的作用力与线张力在水平方向上相等，即：上相等，即：2sin2dTdsb所以很小时，,22sin,ddddRds则：取,21RGbb22RGb2由此可知，保持位错线弯曲所需的切应力与曲率由此可知，保持位错线弯曲所需的切应力与曲率半径成反比，这一关系式对位错运动及增殖有重半径成反比，这一关系式对位错运动及增殖有重要意义。要意义。返回复

13、合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程 若微粒之间的距离为 Df，当剪切应力大到使位错的曲率半径R为Df/2 时，基体发生位错运动，复合材料产生塑性变形，此时剪切应力即为复合材料的屈服强度。fmcDbG假设假设基体的理论断裂应力为基体的理论断裂应力为Gm/30/30，基体屈服强度为，基体屈服强度为Gm/100/100，它们分别为发生位错运动所需剪应力的上、下限。它们分别为发生位错运动所需剪应力的上、下限。得出增得出增强质点间距强质点间距Dp 的上、下限分别为的上、下限分别为0.3m 和和0.01m。复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程 若微粒

14、直径为d ，体积分数为Vp，微粒弥散且均匀分布。根据体视学，有如下关系：)1(322pPpfVVdD)1(322PPpmcVVdbG可估算出：可估算出：弥散颗粒的直径为弥散颗粒的直径为 0.0010.1 m 弥散颗粒的体积分数弥散颗粒的体积分数 1% - 15% 复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程 对于对于弥散强化机理弥散强化机理，微粒尺寸越小，体积分数，微粒尺寸越小，体积分数越高，弥散强化效果越好。越高，弥散强化效果越好。一般的：一般的：弥散颗粒的直径为弥散颗粒的直径为 0.0010.1 m 弥散颗粒的间距为弥散颗粒的间距为 0.010.3 m弥散颗粒的体积分数

15、弥散颗粒的体积分数 1% - 15% 复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程2.2.2 2.2.2 颗粒增强原理颗粒增强原理颗粒增强复合材料是尺寸较大的（1微米）的坚硬颗粒与基体复合而成，其增强原理与弥散增强原理有区别。此时，虽然载荷主要由基体承担，但颗粒也承受载荷并约束基体的变形。颗粒阻止基体位错运动的能力越大，增强效果越好。复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程在外力作用下，基体内位错的滑移在基体在外力作用下，基体内位错的滑移在基体- -颗粒界面上受到阻颗粒界面上受到阻碍，并在颗粒上产生应力集中，其值为：碍，并在颗粒上产生应力集中，其值为

16、： 式中，式中，n n为应力集中因子，由位错理论知为应力集中因子，由位错理论知代入，得代入，得 nibGDnmp/bGDnmpi/2复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程如果如果 i i= = p p 时，颗粒开始破坏时，颗粒开始破坏，产生裂纹，引起复合材料，产生裂纹，引起复合材料变形，令变形，令p p =Gp/C =Gp/C，则有：，则有：式中，式中， p p 为颗粒强度，为颗粒强度，C C为常数。由此可得复合材料的屈服为常数。由此可得复合材料的屈服强度为强度为 将体视学关系代入，得到将体视学关系代入，得到bGDCGmpPpi/2CDbGGppmy/CVdbVGGp

17、ppmy)1(232/1复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程对于对于颗粒增强机理颗粒增强机理，颗粒尺寸越小，颗粒尺寸越小 ，体积分数越，体积分数越高，颗粒对复合材料的增强效果越强。高，颗粒对复合材料的增强效果越强。一般规律一般规律 增强颗粒的直径为增强颗粒的直径为 1-501-50m 增强颗粒的间距为增强颗粒的间距为 1-251-25m增强颗粒的体积分数增强颗粒的体积分数 5% - 50%5% - 50%复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程u弥散增强弥散增强vsvs颗粒增强颗粒增强小颗粒小颗粒：尺寸上有优势，但体积分数难以提高，且在基体：

18、尺寸上有优势，但体积分数难以提高，且在基体上分散困难。上分散困难。大颗粒大颗粒：体积分数高，但尺寸、性能上没有优势。：体积分数高，但尺寸、性能上没有优势。复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程2.3 2.3 单向排列连续纤维增强复合材料单向排列连续纤维增强复合材料2.3.1 纵向强度和刚度纵向强度和刚度 复合材料在受到纤维方向的拉应力时有以下几个假设：复合材料在受到纤维方向的拉应力时有以下几个假设：1/ 纤维的性能和直径是均匀的、连续的并全部相互平行纤维的性能和直径是均匀的、连续的并全部相互平行2/ 纤维和基体之间的结合是完美的，界面处无相对滑动纤维和基体之间的结合是

19、完美的，界面处无相对滑动3/ 忽略纤维和基体之间的热膨胀系数、泊松比以及弹性变形差所引起的附加应力忽略纤维和基体之间的热膨胀系数、泊松比以及弹性变形差所引起的附加应力1、应力应变曲线 的初始阶段复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程等应变假设认为整个材料的纵向应变是相同的，即复合材料、纤维、基等应变假设认为整个材料的纵向应变是相同的，即复合材料、纤维、基体具有相同的应变：体具有相同的应变：mfc考虑到在沿纤维方向的外加载荷由基体和纤维共同承担，应有mmffccAAAccmmcffAAAA式中A表示相应组分的横截面积，上式可转化为对于平行纤维的复合材料，体积分数等于面积

20、分数。此时有mmffcVV复合材料、纤维、基体的应变相同，对应变求导数，可得到mmffcVddVdddd复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程dd/表示在给定应变时相应应力-应变曲线的斜率。如果应力-应变曲线是线性的，则斜率是常数，可以用相应的弹性模量代入，得到mmffcVEVEE上述公式表明纤维、基体对复合材料平均性能的贡献正比于它们各自的体积上述公式表明纤维、基体对复合材料平均性能的贡献正比于它们各自的体积分数，这种关系称作分数，这种关系称作混合法则混合法则，这是多组分复合材料体系的基本准则。 在纤维和基体都是线弹性的情况下，纤维与基体承担应力与载荷的情况推导如下

21、：mmffccEEE因此有mfmfEEcfcfEE复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程 由此，可得复合材料中组分承载比：由此，可得复合材料中组分承载比： mmffmmffmfEVEVAAPPfmmfmfmmffffCfVVEEEEAAAPP纤维/复合材料承载比与纤维体积分数的关系图复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程一般复合材料的变形有四个阶段：1 1、纤维和基体均为线弹性变形；、纤维和基体均为线弹性变形；2 2、纤维与基体之一线弹性变形，另一为非线性变形、纤维与基体之一线弹性变形，另一为非线性变形；3 3、纤维和基体都是非线性变形；、纤

22、维和基体都是非线性变形；4 4、随纤维断裂，复合材料断裂。、随纤维断裂，复合材料断裂。对于塑性基体的复合材料来说，由于基体的塑性变形，第二阶段可能占复合材料应力-应变曲线的相当部分，这时，复合材料的弹性模量应当由下式给出（混合效应）：对于脆性纤维复合材料未观察到第三阶段。 mcmffcVddVEE2、初始变形后的行为复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程 复合材料纵向断裂强度可以认为与纤维断裂应变值对应的复合材料的应变值相等，由复合法则，得到复合材料纵向断裂强度公式：式中 是纤维的强度， 是对应纤维断裂应变值的基体应力。 )1 (*fmffucuVVffu*fm3、断

23、裂强度对于纵向受载的单向纤维复合材料：如果1、基体断裂应变大于纤维，则：情况1.1、如果纤维体积分数足够大，基体不能承载纤维断裂后的全部载荷，则复合材料断裂：复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程 此时复合材料的断裂强度为：式中 是基体强度。)1(fmucuVmu3、断裂强度对于纵向受载的单向纤维复合材料：如果1、基体断裂应变大于纤维， 则：情况1.2、如果纤维体积分数很小，基体能承载纤维断裂后的全部载荷，随着基体应变值增加，基体进一步承载，假设纤维断裂后纤维不再承载：复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程cufVO)1(*fmffucuVV

24、f)1(fmuV*fmfumu)1(fmucuV)1(*fmffuVVfcucufVO)1(fmuV*fmfumu)1(*fmffuVVfcumufcritmfcritfucuVVf)1(*ffmfummufcritV)()(临界体积分数)1()1(minmin*minfmufmffuVVVfffmmufummufV)()(min最小体积分数cufVO)1(fmuV*fmfumu)1(*fmffuVVfcu当Vf 小于Vfcrit时，复合材料强度低于基体强度。当Vf小于Vfmin时，复合材料的破坏完全由基体控制。当Vf大于Vfmin时，纤维开始起增强作用，但需增加至大于Vfcrit 时，才能对

25、复合材料整体性能起增强效果。复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程基体材料与性能(MPa)纤维临界体积分数Vfcritfu = 700fu = 1750fu = 3500fu = 7000铝mu = 84, m* = 280.0830.0330.0160.008铜mu = 210, m* = 420.2250.0980.0470.024镍mu = 315, m* = 630.3960.1500.0730.036不锈钢mu = 455, m* = 1750.5840.1780.0840.041纤维临界体积分数复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课

26、程 此时复合材料的断裂强度为：式中 是基体强度， 是对应基体断裂时纤维所承受的应力。 )1(fmuffcuVV3、断裂强度对于纵向受载的单向纤维复合材料，当纤维达到其断裂应变值时，复合材料开始断裂。如果2、基体断裂应变小于纤维， 则：情况2.1、如果纤维体积分数很小，纤维不能承载基体断裂后的全部载荷，则随着基体断裂，复合材料断裂：fmu复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程 此时复合材料的断裂强度为：式中 是纤维强度。ffucuV3、断裂强度对于纵向受载的单向纤维复合材料，当纤维达到其断裂应变值时，复合材料开始断裂。如果2、基体断裂应变小于纤维， 则：情况2.2、如果

27、纤维体积分数较大，纤维能承载基体断裂后的全部载荷，则复合材料可以进一步承受载荷，直至纤维断裂：fu复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程取情况取情况2.12.1和和2.22.2的临界状态，的临界状态，可得可得 为纤维控制复合材料断裂所需的最小体积分数：为纤维控制复合材料断裂所需的最小体积分数：fmufumufVminminfV此种情况常见于纤维增强陶瓷基此种情况常见于纤维增强陶瓷基复合材料。复合材料。复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程2.4 短纤维增强原理短纤维增强原理2.4 短纤维增强原理短纤维增强原理2.4.1 短纤维增强复合材料应力

28、传递理论短纤维增强复合材料应力传递理论 对于短纤维复合材料来说，端头效应不可忽略，同时复合材料性能是纤维长度的对于短纤维复合材料来说，端头效应不可忽略，同时复合材料性能是纤维长度的函数。函数。 （1）应力传递分析）应力传递分析 经常引用的应力传递理论是剪切套（经常引用的应力传递理论是剪切套（Shear Lag）理论。）理论。纤维长度微元上力的平衡纤维长度微元上力的平衡 沿纤维长度应力的分布可以通过纤维的微元平衡方式加以考虑，如图，纤维长度沿纤维长度应力的分布可以通过纤维的微元平衡方式加以考虑，如图，纤维长度微元微元dZ在平衡时，要求在平衡时，要求即即 fffdrrdzr222rdzdf2式中式

29、中 是纤维轴向应力，是纤维轴向应力， 是作用于界面的剪应力，是作用于界面的剪应力，r 是纤维半径。积分得到距端是纤维半径。积分得到距端部横截面上的应力为：部横截面上的应力为： 是端部应力。这个量在很多分析中可以忽略。在实际应用过程中经常假设纤维是端部应力。这个量在很多分析中可以忽略。在实际应用过程中经常假设纤维周围的基体是完全塑性的，即剪切应力不随剪切应变变化，并等于基体剪切屈服应周围的基体是完全塑性的，即剪切应力不随剪切应变变化，并等于基体剪切屈服应力。忽略端部应力，积分得：力。忽略端部应力，积分得：对于短纤维，最大应力发生在纤维的中部（对于短纤维，最大应力发生在纤维的中部（z=l/2）,则

30、有则有式中式中l是纤维长度。纤维承载能力存在一极限值。可由下式表达是纤维长度。纤维承载能力存在一极限值。可由下式表达式中式中 是作用于复合材料的外加应力，是作用于复合材料的外加应力， 可以通过混合法则求出。把能够达到最可以通过混合法则求出。把能够达到最大纤维应力的最短纤维强度定义为载荷的传递长度大纤维应力的最短纤维强度定义为载荷的传递长度lf，由下式定义：由下式定义：fzffdzr0020frzyf2rlyfmaxcfcfEEmaxccE复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程式中式中d是纤维直径。可以看出是纤维直径。可以看出lf是外加应力的函数。当其被定义为与外加应力

31、无关是外加应力的函数。当其被定义为与外加应力无关的临界纤维长度，则有下式：的临界纤维长度，则有下式：式中式中lC 是载荷传递长度的最大值，也称作临界纤维长度，它是一个重要参量，将是载荷传递长度的最大值，也称作临界纤维长度，它是一个重要参量，将影响复合材料的性能。有时也将载荷传递长度与临界纤维长度称作无效长度，即影响复合材料的性能。有时也将载荷传递长度与临界纤维长度称作无效长度，即在这个长度上纤维承载应力小于最大纤维强度。在这个长度上纤维承载应力小于最大纤维强度。（a）纤维应力与界面剪应力纤维应力与界面剪应力ycfcyffEEdl22maxyfucdl2（b）大于临界长度时应力的变化大于临界长度

32、时应力的变化 图图 纤维应力沿纤维应力沿 纤维长度的分布纤维长度的分布 （2）应力分布的有限元分析）应力分布的有限元分析 在实际应用中，弹塑性理论存在许多困难，数值解的方法是比较方便的。只需做在实际应用中，弹塑性理论存在许多困难，数值解的方法是比较方便的。只需做少量的简化假设，就可以得到精确解。少量的简化假设，就可以得到精确解。（a）为假设基体是完全弹性的时，有限元分析得到的应力分布图为假设基体是完全弹性的时，有限元分析得到的应力分布图（b）基体应力分布图基体应力分布图图图 纤维应力沿纤维长度分布的结果有限元分析图纤维应力沿纤维长度分布的结果有限元分析图 图图 纤维应力沿纤维长度分布结果的有限

33、元弹塑性分析纤维应力沿纤维长度分布结果的有限元弹塑性分析复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程（3）平均应力）平均应力 纤维端部的存在使短纤维复合材料的弹性模量与强度降低。在考虑弹性纤维端部的存在使短纤维复合材料的弹性模量与强度降低。在考虑弹性模量与强度时，平均纤维应力是非常有用的，其表达式为：模量与强度时，平均纤维应力是非常有用的，其表达式为：积分可以应力积分可以应力-纤维长度曲线下的面积表示，使用图纤维长度曲线下的面积表示，使用图1-11的应力分布，则平的应力分布，则平均应力是均应力是5.3.2 短纤维增强复合材料的弹性模量与强度短纤维增强复合材料的弹性模量与强度

34、 短纤维增强复合材料的弹性模量短纤维增强复合材料的弹性模量Halpin-Tsia公式对单向短纤维复合材公式对单向短纤维复合材料纵向与横向弹性模量的计算也是非常有用的。公式如下：料纵向与横向弹性模量的计算也是非常有用的。公式如下：lffdzl01dlyff2maxllfff21max复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程其中其中 上式表明单向短纤维复合材料横向弹性模量与纤维长径比无关，与连续纤上式表明单向短纤维复合材料横向弹性模量与纤维长径比无关，与连续纤维复合材料的值是一样的。维复合材料的值是一样的。fLfLmLVdlVEE121fTTfmTVVEE121dlEEEE

35、mfmfL2121mfmfTEEEE复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程图图 纵向弹性模量与纤维长径比的关系纵向弹性模量与纤维长径比的关系对于平面内随机取向的短纤维复合材料，弹性模量可用下面的经验公式计对于平面内随机取向的短纤维复合材料，弹性模量可用下面的经验公式计算：算：TLrandomEEE8583复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程 （2）短纤维增强复合材料的强度）短纤维增强复合材料的强度 可以用混合法则来表达单向短纤维增强复合材料的纵向应力：可以用混合法则来表达单向短纤维增强复合材料的纵向应力：式中式中 是纤维的平均应力。则复合材

36、料的平均应力是：是纤维的平均应力。则复合材料的平均应力是：如果纤维长度比载荷传递长度大得多，上式可改写成如果纤维长度比载荷传递长度大得多，上式可改写成以上三式可以用于复合材料强度计算。以上三式可以用于复合材料强度计算。 当纤维短于临界长度时，复合材料的断裂发生在基体或界面，当纤维短于临界长度时，复合材料的断裂发生在基体或界面，其强度近似为：其强度近似为：mmffcVll21121maxfll mmffcVVmax21fll mmffcVVmaxmmffcVVmmfycuVdlVf复合材料材料科学与工程本科生课程复合材料材料科学与工程本科生课程 当纤维大于临界长度时，复合材料的强度为：当纤维大于临界长度时，复合材料的强度为：式中式中 是纤维断裂应变为是纤维断裂应变为 时所对应的基体应力。时所对应的基体应力。以上所讨论的都是纤维增强复合材料的体积分数高于临界值，基体不能承担以上所讨论的都是纤维增强复合材料的体积分数高于临界值，基体不能承担纤维断裂后所转移的全部载荷，纤维断裂时复合材料立刻断裂的情况。与处纤维断裂后所转移的全部载荷，纤维断裂时复合材料立刻断裂的情况。与处理连续纤维复合材料类似，可以得出临