3.3二元函数的分布ppt课件

1、第三节第三节二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们学习了二维随机变量，来进一步讨论: 当二维随机变量当二维随机变量X, Y的联合分布已知的联合分布已知时，如何求出它们的函数时，如何求出它们的函数 Z=g(X, Y)的联合分布的联合分布?(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj) pp11p12pijZ=g(X,Y)g(x1,y1) g(x1,y2) g(xi,yj)一、离散型分布的情形一、离散型分布的情形设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X，Y)， (X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 那

2、么那么 Zg(X, Y)P(Zzk) pk , k1, 2, kjizyxgjiijp),(:,或或例例1 设设X,Y)的概率分布为：的概率分布为： Y X -1 0 2 0 0.1 0.2 0 1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1求求XYYX,的概率分布。的概率分布。(X,Y) (0,-1) (0,0) (0,2) (1,-1) (1,0) (1,2) (2,-1) (2,0) (2,2)p0.10.2 00.3 0.05 0.1 0.15 0 0.1X+Y -102013124XY000-102-204=X+Y -101234 p0.10.50.200.10.1=XY -

3、1-2024 p 0.150.30.35 0.10.1因此，因此，X+Y与与XY的分布列分别为的分布列分别为例例2 若若X、Y独立，独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求Z=X+Y的概率函的概率函数数.解解: )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由独立性由独立性此即离散此即离散卷积公式卷积公式r=0,1,2, 同书中同书中P95例例3.3.2解：依题意解：依题意 riirYiXPrZP0),()( 例例3 若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服

4、从参数为 的泊松分布的泊松分布, 证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为21,21的泊松分布的泊松分布.由卷积公式由卷积公式i=0,1,2,j=0,1,2,!)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 riirYiXPrZP0),()(由卷积公式由卷积公式ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rre即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布(可加性可加性).21r =0,1，同书中同书中P96例例3.3.3.例例4 设设X和和Y相互独立，相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求求Z=X+Y

5、的分布的分布. 回忆第二章对服从二项分布的随机变量回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释所作的直观解释: 我们给出不需要计算的另一种证法我们给出不需要计算的另一种证法:同样，同样，Y是在是在n2次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A出现出现的次数的次数,每次试验中每次试验中A出现的概率为出现的概率为p. 若若X B(n1,p),则则X 是在是在n1次独立重复试次独立重复试验中事件验中事件A出现的次数出现的次数,每次试验中每次试验中A出现的出现的概率都为概率都为p. 故故Z=X+Y 是在是在n1+n2次独立重复试验次独立重复试验中事件中事件A出现的次数，每次试验中出现的次数，每次试

6、验中A出现出现的概率为的概率为p，于是，于是Z是以是以n1+n2，p为为参数的二项随机变量，即参数的二项随机变量，即Z B(n1+n2, p).二、连续型分布的情形二、连续型分布的情形 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X，Y)的联合的联合概率密度为概率密度为f(x,y),z=g(X,Y)为连续函数，为连续函数，则则z=g(X,Y)为一维为一维r.v.,它的分布函数为它的分布函数为),()()(zYXgPzZPzFZdxdyyxfzyxg),(),()( )(zFzfZZ-分布函数法分布函数法例例5 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f (x,y),求求Z=X+Y的密度的密度. 解

7、解: Z=X+Y的分布函数是的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(这里积分区域这里积分区域D=(x, y): x+y z是直线是直线x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面. 化成累次积分化成累次积分,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( 固定固定z和和y,对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换, 令令u=x+y,得得 zZdyduyyufzF),()( zdudyyyuf),(变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序由概率密度与分布函数的关系由概率密度与分布函数的关系, 即得即得Z=X+Y的概率密

8、度为的概率密度为: 由由X和和Y的对称性的对称性, fZ (z)又可写成又可写成 dyyyzfzFzfZZ),()()(以上两式即是两个随机变量和以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式的概率密度的一般公式.dxxzxfzFzfZZ),()()( zZdudyyyufzF),()( 特别，当特别，当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的边的边缘密度分别为缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为则上述两式化为: dyyfyzfzfYXZ)()()(这两个公式称为卷积公式这两个公式称为卷积公式 .dxxzfxfzfYXZ)()()(下面我们用卷积公式来求下面我们

9、用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度的概率密度,),()(dyyyzfzfZdxxzxfzfZ),()(为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例6 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 .其它, 010, 1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解: 由卷积公式由卷积公式1010 xzx也即也即zxzx110为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 其它, 021,210,)(110zzZzzdxzzdxzf如图示如图示:1010 xzx也即也

10、即zxzx110于是于是dxxzfxfzfYXZ)()()(同课后习题三同课后习题三15用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明: ),(222121NYXZ 若若X和和Y 独立独立,),(),(222211NYNX 结论又如何呢结论又如何呢? 此结论可以推广到此结论可以推广到n个独立随机变量之个独立随机变量之和的情形和的情形,请自行写出结论请自行写出结论. 例例7(书中例书中例3.3.5) 若若X和和Y 独立独立,具有相同的具有相同的分布分布N(0,1),则则Z=X+Y服从正态分布服从正态分布N(0,2). 有限个独立正态变量的线性组合仍然有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布服从正态

11、分布.更一般地更一般地, 可以证明可以证明:一般地，设随机变量X1, X2，., Xn独立且Xi服从正态分布N(i ,i2),i=1,.,n, 那么),(21211iniiniiiniiiaaNXa dxbxzfaxfbazfbYaXZYXZ)()(1)( , 1 . 4 . 2的概率密度为可得由卷积公式和定理dxzxfxfzfYXZYXZ)()()(的概率密度为因此，的的概概率率密密度度。求求，相相互互独独立立，且且都都服服从从和和已已知知22)1 , 0(YXZNYX 例例8 从前面例子可以看出，从前面例子可以看出， 在求随机向量在求随机向量(X,Y)的函数的函数Z=g(X,Y)的分布时，

12、关键是设法的分布时，关键是设法将其转化为将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出从而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布的分布.三、三、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 设设X，Y是两个相互独立的随机变量，它是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为们的分布函数分别为FX(x)和和FY(y),我们来我们来求求M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布函数的分布函数.又由于又由于X和和Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到M=max(X,Y)的分布函数为的分布函数为: 即有即有 FM(z)= FX(z)FY

13、(z) FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz) 由于由于M=max(X,Y)不大于不大于z等价于等价于X和和Y都不大于都不大于z，故有，故有 分析：分析：P(Mz)=P(Xz,Yz) 类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是可进行推广。可进行推广。 即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz) =1-P(Nz)=1- P(Xz)P(Yz) 需要指出的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立相互独立且具有相同分布函数且具有相同分布函数F(x)时时, 常称常称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极

14、值为极值 . 由于一些灾害性的自然现象，如地震、由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值的意义和实用价值. 下面我们再举一例，说明当下面我们再举一例，说明当X1,X2为离为离散型散型r.v时，如何求时，如何求Y=max(X1,X2)的分布的分布.解一解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n)nkknpqpq1111111nkknpqpqqqqpnn1112qqqpnn11112)2(11nnnqqpq记记1-p=q例例9 设随机变量设随机变量X1,X2相互独立相互独立,并且有相同的并且有相同的几何分布几何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求求Y=max(X1,X2)的概率分布的概率分布 .n=1,2,解二解二: P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1)211nkkpq=P(max(X1,X2) n )-P(max(X1,X2) n-1)=P(X1 n, X2n)-P( X1 n-1, X2 n-1)2111nkkpq2211qqpn2)1 (nq21211qqpn21)1 (nq)2(11nnnqqpqn=1,2,若求若求Y=min(X1,X2)的分布呢？的分布