抛物线及其性质知识点大全与经典例题及解析

1、抛物线及其性质【考纲说明】1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。【知识梳理】1.抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线.2.抛物线四种标准方程的几何性质:图形支参数p几何意义参数:p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.开口方向右左上下标准方程2c,-、y=2px(p>0)2-，一、y=-2px(p>0)2c,-、x=2py(p>0)2c,八、x=-2py(p>0)焦点位置X正X负丫正Y负焦点坐标(50)2(-旦0)2(°，m2(0,-2)

2、2准线方程Px=-2px=2pyFpy=I范围x>0,yRxW0,ywRy>0,x=Ry<0,x=R对称轴X轴X轴Y轴Y轴顶点坐标(0,0)离心率e=1通径2p叶径A(xi,yi)AF=x1+卫2AF=-x1+R2AF=y1+卫2AF=y+卫2焦点弦长ab|(x1+x2)+p一(x+x?)+p(y1+y2)+p一(必+y?)+p焦点弦长ab|以AB为直径的圆必与准线l相切的补充Ay)B(x2,y2)若AB的倾斜角为a,阴=.2p若AB的倾斜角为ot,则AB=2psinacos2a2p2x1x2y1y2-P411AF+BFAB2AFBF-AF,BF-AF,BF-p3 .抛物线y

3、2=2px(p>0)的几何性质：(1)范围因为p>0,由方程可知x>0,所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向.顶点(0,0),离心率：e=1,焦点F(-,0),准线x=-,焦准距p.22(4)焦点弦：抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB,A(xi,yi),BM*),则|AB|=x+x2+p.弦长|AB|=xi+x2+p,当xi=x2时，通径最短为2p。4 .焦点弦的相关性质：焦点弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),焦点F(-,0)22_222-中。2p(2)

4、(4)右AB是抛物线y=2pXp>0)的焦点弦(过焦点的弦)，且A(K,yi),B(x2,y2),则：咯=一,4若AB是抛物线y2=2pXp>0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为“，则ab|=2P(”才0)。sin2:c11AFBFAB2已知直线AB是过抛物线y2=2px(pA0)焦点F,'+'=£尤=AB=上AFBFAF*BFAFBFp焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径.(5)两个相切：(1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5 .弦长公式：A(x

5、1,yJ,B(x2,y2)是抛物线上两点，则AB=J(x1一x2)2+(y一丫2)2=V1+k2|x1-x2|=、1+J|必-y2|【经典例题】(1)抛物线一一二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.【例1】P为抛物线y2=2px上任一点，F为焦点，则以A.相交B.相切C.相离【解析】如图，抛物线的焦点为F'-,0i,准线是2l:x=R.作PHLl于H,交y轴于Q,那么PF=PH2P且Q

6、H=OF.作MNLy轴于N则M渴梯形PQOF勺21,11中位线，MN=OF+PQ=-PH=-PF.故以222PF为直径的圆与y轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.PF为直径的圆与丫轴（）D.位置由P确定（2）焦点弦一一常考常新的亮点弦对破解这些试题是大有帮助的有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质,A（x,v加*）两点,求证:(1)AB=x+x2+p11(2)十AFBF【证明】（1）如图设抛物线的准线为l,作AA-LlA1,BB1_Ll于B1,则AF=AA1|=x1+-p-BF=BBiAB(2)AF=x2十艮.两式相加

7、即得:2当AB±x轴时，有=BF二p,V-1AFBF=2成立;p当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为:卫1.代入抛物线方程:2k2x-p2=2px.化简得:k2x-pk222xk2014方程（1）之二根为Xi,x2,x1X24【例2】过抛物线y2=2px（pA0）的焦点F作直线交抛物线于11aF-bf11十AABB1x2Xx2P2PPX1X2-)X2x1x2PX|x2p222=-二Pj£x1x2?-x1x2PP故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有+AFlBF(3)切线一一抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的

8、基本功【例3】证明：过抛物线y2=2px上一点M(x。，y。)的切线方程是：y0y=P(x+x。)，.p.、，k=yxh=.由点斜式万程:y。【证明】对方程y2=2px两边取导数：2y,yhZP；y'=2切线的斜率yp2y-y。=一x-x。=y0y=px-px。y。1y。；*y；=2px。，代入(1即得：yoy=p(x+x。)(4)定点与定值一一抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=。相切，则此动圆必过定点()A4,。B.2,。C.0,2D.。

9、,-2显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.22 .抛物线y=2px的通径长为2p；3 .设抛物线y2=2px过焦点的弦两端分别为A(x1，y1),B(x2,y2),那么：%丫2=-p2以下再举一例【例4】设抛物线y2=2px的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1,证明：以AB1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1Bi=AB=2r而AB与AB的距离为p,可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为A(,y1),B(x2,y2),那么：y1y2=-p=|CA1cB

10、i=|刈丫2=p2.设抛物线的准线交x轴于C,那么CF|=p.2.AAFBCF=|CACB1.故NAFB1=90*.这就说明：以AiBi为直径的圆必过该抛物线的焦点通法特法妙法（1）解析法一一为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）【例5】（10.四川文科卷.10题）已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于（）A.3B.4C.3.2D.4.2【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】,一点A、B关于直线x+y=0对称，设直线A

11、B的方程为：y=x+m.x2xm-3=0y=xm2y=-x3设方程(1)之两根为x1,x2,则x1+x2=-1.xxc1111设AB的中点为M(x°,y°),则x0=.代入x+y=0:y0=.故有M,22222从而m=y-x=1.直线AB的方程为：y=x+1方程（1）成为：x2+x-2=0.解得:x=-2,1,从而y=1,2,故得：A(-2,-1),B(1,2).,AB=3。2,选C.（2）几何法一一为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习l,经过F且斜率为J3的直线与抛物线在x轴题望而生畏.针对这种

12、现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例6】（11.全国1卷.11题）抛物线y2=4x的焦点为F,准线为上方的部分相交于点A,AK±l,垂足为K,则4AKF的面积（A.4B,3赤C.473【解析】如图直线AF的斜率为时/AFX=60°.AFK为正三角形.设准线l交x轴于M,则FM=p=2,且/KFM=60,KF=4,S傍kf=*4?=4。3.选C.4【评注】(1)平面几何知识：边长为a的正三角形的面积用公式5人=巫22计算.4(2)本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几彳S

13、法简单.(3)定义法一一追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单【例7】(07.湖北卷.7题)双曲线22一XVCi：-r与=1(a>0,b>0)的左准线为l,左焦点和右焦点分别为Fi和F2；抛物线C2的线为l,焦点为abF2；Ci与G的一个交点为M,则IF1F2_MFiMF1-MF2A.-1B.1C.-D.122【分析】这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距c,离心率为ejMH_Ll于H,令MFj=q,MF2|=r

14、2:,点M在抛物线上，|mfJImfJq二MH=MF2=r2,故=e,|MHI|MF2|r2这就是说：|所|的实质是离心率e.IMF2I其次，|F1F2|与离心率e有什么关系？注意到:|MF1|正上二/二二e1二二e-1.MF111Ie这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于FEIIMFJIMFJIMF2I=e-1e=-1.，选A.(4)三角法本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”一一达到解题目的因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算【例8】(09.重

15、庆文科.21题)如图，倾斜角为a的直线经过焦点F,且与抛物线交于A、B两点。(I)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；(n)若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值。【解析】(I)焦点F(2,0),准线l；x=2.(n)直线AB：y=tanct(x2)(1)2y、一一一2一一一x代入(1)，整理得：ytana-8y-16tana=08设方程(2)之二根为y1,y2,则4y1+y2-tana.、y的=-16y_y1y2设AB中点为M(x0,y0)，则y024cot二2x0=cot-y02=4cot一：322.AB的垂直平分线方程是：y

16、-4cota=-cota(x-4cota2).令y=0,贝Ux=4cot2+6,有P(4cot2+6,0)一.,2/，2，一.2故FP=OP-OF=4cota+6-2=4(cota+1)=4cosa于是|FP|-|FP|cos2a=4csc2a(1-cos2a)=4csc2a2sin2a=8,故为定值(5)消去法一一合理减负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.【例9】是否存在同时满足下列两条件的直线l：(1)l与抛物线y2=8x有两个不同的交点A和B;(2)线段AB被直线L：x+5y-5=

17、0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程.【解析】假定在抛物线y2=8x上存在这样的两点A(Xi,%),B(x2,y2)则有:yi-y2x-x2V1V2y；=8%y=8x2=(y1+y21yLy2)="x1-x2)=;线段AB被直线l1:x+5y-5=0垂直平分，且kii一8,-kAB-5,即5yV28-y1y2=一5设线段AB的中点为M(x0,y0则y0=Y4,=.代入x+5y-5=0得x=1.于是:5AB中点为M,1,4:故存在符合题设条件的直线，其方程为:I5J4y=5(x1)即：25x-5y21=05(6)探索法一一奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”想一一证明一一再彳!想一一再证明.终于发现“无限风光在险峰”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜【例10(10.安徽卷.14题)如图，抛物线y=-x2+i与x轴的正半轴交于点A,将线段OA的n等分点从左至右依次