平面向量的奔驰定理解析版

1、专题九平面向量的奔驰定理如图，已知P为ZABC内一点，则有SzpbcPA+S»apacPB+SzpabPC=0.SAABDSZBPDS/PAB证明：如图，延长AP与BC边相交于点则D，DCSMCD-SACPDSAPAC,DC-),BD->S-pac>Sapab>.PD=-PB+PC,-PD=-PB+-PC,BCBCSapac+SapabSzpac+SzpabPDSbpdSacpdSabpd+SzcpdSapbcqSapbc>=,.PD=-pA,PASabpaSacpaSabpa+S/cpaSapac+SapabSpac+Spab即SzpbcPA=S，A；PBT

2、SAPABPC,SapbcPA+SapacPB+SapabPC=0.S咛ac+SapabS咛ac+SzpabSapac+Sapab由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一推论：已知P为那BC内一点，且xPA+yPB+zPt=0.(x,v,zCR,xyzw0,x+y+zw0).则有(1)Sapbc:Safac:Safab=|x|：|y|：忆|.Spbc_xSmc_ySafab_z(2)S3bcx+y+z|'Saab

3、cx+y+z|'Szabcx+y+z”【例题选讲】例1(1)设点O在那BC的内部，且有OA+2(DB+3(DC=0,则那BC的面积和AAOC的面积之比为()A.3B.5C.2D.332答案A解析分别取AC、BC的中点D、E,OA+2OB+30t=0,/.OA+Ot=-2(OB+Ot),即20b=40E,O是DE的一个三等分点，.衿C=3.SAAOC秒杀根据奔驰定理得，Saabc：Szaoc=(1+2+3):2=3,(2)在4ABC中，D为那BC所在平面内一点，且AD=3aB+/，则等于()1A.o6答案B解析C.2如图，由点D在那BC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，

4、从c1用有Saabd=2Sabc,1111crn,SabcdSaacd=§Saabc,Szbcd=12-3Szabc=gSmbc,所以sbd13,秒杀由ADmAB+JAC得，DA+2D6+3DC=0,根据奔驰定理得，SaBCD：Saabd=1：3.32已知点A,B,C,P在同一平面内,i5q=1rA,qr=qb,曲=；RC,则SAABC:SZPBC等于(3331(PBPQ),整理得Pr=1Pb+-2Pq=1Pb+-2PA,由俞=33339A.14：3B.19：4C.24：5D.29：6答案b解析由徐=3曲，得PRPQ=1RC,得RP=1(PCPR),整理得Pr=-1Pc,-1Pc=i

5、5b+-2PA,整理得4pA+6Pfe+9Pt=o,根据奔驰定理得,332239Smbc:Sapbc=(4+6+9):4=19:4.(4)已知点P,Q在AABC内，PA+2由+3Pt=2QA+3Qfe+5QC=0,则有|Ab|“1A30答案AC32解析根据奔驰定理得，S/pbc：Szpac:Sapab=1：2：3,D，33SAQBC:SAQAC:SaQAB=2：3：5,.JPQJ=1_1=i|岫5630=0,整理得AO=2AB+99AC,故选A.Sapab=S/qab=Saabc)，PQIIAB,又Szpbc=nS%bc)Saqbc=Saabc,265(5)点O为"BC内一点，若Sa

6、aob:Szboc：Smoc=4：3：2,设AO=rABFdC则实数入和科的值分别为()AI，4B.4,2C.2D.-2,1,99999999答案A解析秒杀根据奔驰定理，得3(DA+2Ofe+4(DC=0,即3OA+2(OA+A6)+4(OA+AC)(6)设点P在AABC内且为那BC的外心，/BAC=30°,如图.若APBC,APCA,4PAB的面积分别为12，x,y,则x+y的取大值是答案解析根据奔驰定理得，gpA+xPfe+yPfe"即AP=2xFB+2yFb,平方得扉2=4/奇32+4y2pC2+8xy|PB|pC|cOsBPC，又因为点P是9BC的外心，所以|改|=

7、|PB|=|PC|,且/BPC=2/BAC=60°,所以x2+y2+xy=1,4x+y+22,解得0<X+以(x+y)max=.3【对点训练】1.设O是那BC内部一点，且QA+oC=-2oB,则AAOB与3OC的面积之比为1.答案2解析设d为ac的中点，连接od,则OA+Ot=2OD.又OA+Ot=2Ofe,所以OD=(5b,1即。为BD的中点，从而容易得AAOB与9OC的面积之比为2.秒杀由OKoC=-2qB,得OA+OC+2qB=0,根据奔驰定理得，AAOB与"OC的面积之比2.设O在那BC的内部，D为AB的中点，且OA+Ofe+2OC=0,则那BC的面积与9OC

8、的面积的比值为.2.答案4解析d为ab的中点，则Ob=1(5A+(5B),又OA+OB+2Ot=0,.,.(5b=-Ot,，O1一1一一为CD的中点.又D为AB的中点，S/aoc=2Saadc=4Saabc,则S/ABCSaaoc=4.秒杀因为OA+Ofe+2Ot=0,根据奔驰定理得，SaBC=4.SMOC3,已知P,Q为那BC中不同的两点，且3PA+2PB+pC=0,qA+qB+qC=0,贝USafab:SZXQAB为.3 .答案1：2解析因为3pA+2FB+命=2（冰+FB）+FA+Pt=0,所以P在与BC平行的中位线上，且是该中位线上的一个三等分点，可得Szpab="6smbc

9、,QA+QB+QC=0,可得Q是"BC的重心，因此SAQAB=3sAabc,Sapab:Saqab=1-2,故选A.秒杀由3PA+2PB+|PC=0,QA+Qfe+QC=0,根据奔驰定理得，SAPAB:Szabc=1：6,Szqab:Saabc=1：3=2:6,所以Szpab:Saqab=1：2,故选A.4 .已知D为那BC的边AB的中点，M在DC上满足5AM=危+血，则那BM与祥BC的面积比为（）C35 .答案C解析因为D是AB的中点，所以AB=2AD,因为5AM=痈+血，所以2AM2AD=3AC33AM,即2DM=3MC,所以5DM=3DM+3MC=3DC,所以DM=DC,设hi

10、,h2分别是AABM,AABC51Saabm3Saabc=5'6 .若M是那BC内一点，且满足BA+EBC=4Bm,则那BM与3CM的面积之比为（）B-3c4D.2是2Bb=4BMl,从而Bd=2Bm，即m为bd7 .答案A解析设AC的中点为D,则BA+BC=2BD,于的中点，于是&=2S=墨=2.秒杀由BA+BC=4iBM,得AM+2BM+CM=0,根据奔驰定理得,SAABM1SAACM26.已知6.答案=0,O是面积为4的祥BC内部一点，且有OA+OB+2OC=0,则9OC的面积为.1解析如图，设AC中点为M,BC中点为N.因为OA+oC+OB+OC=0,所以2OM+2（5

11、n所以OMi+ON=0,O为中位线MN的中点，所以Saaoc=2Saanc=2aSaabc=4x4=1.出秒杀根据奔驰定理得，Saobc:Saoac:Saoab=1：1：2.因为Szabc=4,所以Szaoc=1.7 .已知点D为那BC所在平面上一点，且满足AD=1Al-4CA,若4ACD的面积为1,则评BD的面积为558 .答案4解析由aD=1aB4cA,得5Ab=茹+4品，所以ADAfe=4(AtAD),即bD=4DC.所55以点D在边BC上，且|BD|=4|DC|,所以Saabd=4Saacd=4.秒杀由AD=1AB4CA,得8AD+BD+4CD=0,根据奔驰定理得，SMBD:S3cd=4：1,所以SMBD55=4.一.一.一.一一一二±-二L一9 .已知点P是4ABC的中位线EF上任意一点，且EF/BC,实数x,y满足RA+xPB+yPC=0,设祥BC,SiS2QPBC,APCA,APAB的面积分别为S,Si,S2,S3,记S1=4,q=瓦琶=3则加为取最大值时，SSS3x+y的值为（）1 _3_A.1B.2C.1D.28.答案D解析由题意