近世代数_杨子胥_第二版课后习题答案(最新发行版)

1、近世代数题解第一章基本概念§1.11.证任取AntBUC),QiJ工W-A且宜WUUU.从而若工&工?A门&从而xC<AQB)J<-ADO.因此An<bu<')<anuno,反之任取上W(ar»B)U(AC|G儿撚似可得疋EAnCBUO.故u<AO<?>An(BUO.因此>An(BUo=(AriB)u(zno,同理可得册中另一等式.2. 若AHB-ApC.冋；是否B=c?把n改成u时又如何？鰭不一定有B-a例如A=“人=1,3,C=门，3把门改成U后也不一定有B=C.例如4一1,C-1,2.3-设

2、A是有限儀合，且|小二林证明仁证因为IA丨一壮故A的含冷个元倉的子集共有C：个，从而A共冇2"=(1十”一c：+L：；-+C：千于巣，即1PC人I=卽-4.证设IAI»»(|B=n*1ADB|=k,则显然1AUB|=mH-nJt,曰此即得要还的菩式”5.证设jre(AUB>£PxAkJfJ.故工氐A且芒氐比从而工WA故工人5成从而(AUBTUA'riE：反推上去得人TiBJWURr.故得证.另一尊式可类似证明.近世代数题解§1.2耦爭是映射，且是淆射，但不是单射.2.3./（B）fCCACTJ一C/（A）C1即爭是FTA到FEj的

3、一个映射.又类似易知呻是单射和满射*从丽是XX射.近世代数题解§1.31. 解1）与3）是代数运算，2）不是代数运算.2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数nn.3. 解例如A：B=E与A:B=ABAB.4.解1丁£皿|-27,|5（M|=6乘法表从略.例如“1r：15.*1雯其余工X:录1弓其余JT卫七近世代数题解§1.41.解结合律利交换律都不满足.例如（1-0.）-0=41-（Q-C）=2t故（1-0）-0!又12=2*01£故"工n.2.®O交换律满足，但结合律不滿足.例如（】门厂0=心1-（1-0）一2.2）结合律

4、、交换律祁满足*因为易知isZOf与3"弋）都等于盘tbIfJQt>beac-ubc.3. 解1）略2）例如规定=ac*其中Ut>cE1V1T但互异.4.解口显燃雄代数运算且満足交换律.乂结合锌也溺足，因为根据最高公因式的性质知*广心5,D=<<川）=（厂百加，4. 略近世代数题解§1.51. 解1）是自同态映射，但非满射和单射；2）是双射，但不是自同构映射3）是自同态映射,但非满射和单射.4）是双射，但非自同构映射.2. 略3.購例如”衬：产-2<V斗CQ）.显.然"吧2袂康作倉个北0及1朋村理敷后沖均为Q施非粗等自同构.4.解当苗

5、满足结合律时八不一定满足.例如，M为整数集/渗运算是减法（不满星结合律“又儿代数运算为乘法当然満足结直律）但艮然<ptjr1（VjG是M列衍的同态满射，故5.证"由IM】兰51八设4n->CYaM；»昂其一同恂映射则<':v一亠,x£我中平.=q显撚足A1,到M,的一卩冋构映肘，故*2）同理由MjA1l，分别设宥同构映射宀石Ra1ufh、rsh*"c*3'|r/y：ac是A4到的同构映射»故M,=M,（应注廷心不能焉成因为此时k是无恵义妁.）§1.61.解J?是M的一个摊系.乂显然満足对称性.但屋反鬲

6、性和传罐性不满足*例如L龙又显魅4,3+1.41+?,但*4>3H-7,.即3RISR7r2. 解1）不是因为不满足对称性；2）不是因为不满足传递性；3）是等价关系；4）是等价关系.3. 解3）每个元素是一个类，4）整个实数集作成一个类.4.解上血第2题中JJ与2屋符合本题题恵的两个例子.乂设Q昂有理数集-规定uHb«J-h/03需WQ*则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性（若把Q换成实数域的任一子域均可;实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系）5.证若中二元素爼与片符含关系就记为现在一切这样的抑作成的集合记为R它是尺的一个子集.反之设尺

7、me则规定皿与*符令关系当且仅泮即R的子集可it定M的一个关系.4. 证1）略2）由1）及分配性以及习题1第E题可知（AUB）-（AnB）=（AUBjn（AnB）/=AUE）ncA'uJ又U52=（"再】A）=cAnsz>ubinr（AnBz）uf=3Uf»n（BUBnnrcAUA'jncAuEf）AUHmum由d）与（2>知#得证.7.证L）任取xea,则警丘吋a）从而护0A”*故A匚乎1）,若翠是窄肘!<任取*W护“（护"）儿必器0从而有氓找使爭3=咄”但因申是单射，故”ygjL'EAt牛1A）內此夕=2）任取审（平f

8、R、）*则有jrG1（B）使=卸工人但由于瓷J心儿故以JGE,即丫=以刃£3因此心5B）UE又当护为满射时，任取xrGB.则祁在hCX使裁（£=.二于是rt<<3）,於工>0砂卩一气£）儿即,誓1ftBUpgv（B：>，ra此呂”8.证1>任取.ytp<AUB）t则存在工丘AUB*使了1护.丹若八则型&如八几丁&I亠护（工）E怦AM妒成乃）若xGB.则同理可得上式”因此<AUB）（A）U?>（B）-反之任収yW誓（八>U护（迟-不妨设*恥、于是行在j?W毘使_y=乎）.而fCAUALJH*因此$

9、=¥（龙WtpiAUB,从而A>U（B>C（AUB）.故护（A）U*（£】=（PAU母A2）任取y氐0AC幷八则有H使护5）由于jtCAQB>故jl-CA.jlCB,从而了=护（工>匕0A）=甲（工）丘护£3）,因此*朝J护tA摯（故护f八门E）匚爭I/O口密fRX证1）乘积"是集合.4到C的映射.谏，厂氐A.且c弄%由十疔是单射，故口（上CJ（.工2）$又由于rJ&雎射，因此T（a（巧>>r（/T<2）*即Qb>】）/©ra）<r?）*故8建聚合A到C的单射，反之设e蜓A到V的单射

10、，则对A中任二不同元素刁，竝有（rrr>（jlx鼻（r）（一口），r_a（一了，>Hz£c匕业*从而以皿）=口（孔）*即er是A到R的单射*2）设口辽都是満肘，则任取疋。由于是满射故存在6CB使rCb）=c.又由?afiA到U的满射，故对于bB有“人使旅肚）=&（2）从而由（D,（2）得r<a）«r+Bp（raXa）=c,亦即桁是4到C的满射*反上，设乘积“是a到u的满射则任取t-ecT必有卫WA便现令b二机QE好，则rC）=.Mr是集合H到匕的满射.注应注意当巾是单射时山不一定是单射.例如A是正整数樂合任坊U都是雅数集含，又6A*E*a*a

11、9;、riBC*bb9则易知讓积w足单射但壬不是单射.对满射也可举出类個例子.10.证】）设比是单射，令R'hW扩点穴AH,则B=*AU后J旦水A）门R'hQ现任取一固定uA.1由于是单射，故易知r：ba+当&旗A）$E/,雪bfQB是樂合匕到A的一个映射貝对任意&WA都有（巾（ci）=a*即nr1a反之，若存在映射“BAfcfem=贝4戻1A是权射，斗然是单射故由上题知2是单射.少）设b是满射，则任取hRf在A的子集b弋Q中任意取定一个元索s并令rt/?A«h*r=盘、其3于#显然对枉意brB都有（口匚=”<r（6）>因此r?rljt&#

12、187;反之，巻存在映射tiB*A使x丄“则曲于足収射.当然區满射，故曲上瞒知y是潢射.11.证1）设Q是单射，且眄=ar?，其中ri虽祁是集合X到A的映射，则任取aX,有（errtXr!>=（OT）（口），机“3）=/（粒（口）*因为疔是单射，故g（a）从而rjra<反之，设对任意集合X3JA的任意映射cm,由如二佗可得T-72,511）（7必为单射.因若不然I在A中存在元素工仇，使a（u）=a（<iz）今取X=A并令?）:xaj与rs:x*a空（JO,则（ar,）（r）=rrfn（工）=疔（口1）*（tjr：）（x）=o（代（工）=（T他）.但因）=0（«2）&

13、#187;®<ffTi）（JT>=（"?Xjt），从而QTy6T2.一良由于Tj（文=°1工他=口（工），故T'TTi.这与假设矛盾因此（T必为单射.2）没/为蒲射，且Ti（J=r,其中G,口是奠合8到集合y的關个映射肌对任意珏B冇&A使点小=札于是（口cj）（a）=（陀疔）（"），n（）r；SS此G3口*反之“设对E到任恿集合Y的任意映射n.rj有r-r?cr必有门尸空则”磁为满射.固若不然则必E'=B（A）工0；再任図一个阶不小于2的集合匕巫在V中任意取定元素了及Vi易知FljbN*Ml与r5:bV、K*Vi是B到

14、丫的两个不同映射，其中办Ea（AA且对集合A中任意元盍&都有Tj（”（日）m（Ty0）（0；=TgOf算）二frlg验仇但是严W*矛盾”因此2必为满肘再12.证反还志假设P（A）与A之间存在双射，令,4E=|/（M）|下面来考察f（A4若fmEASN根摇A,之定文儿中无jg、,矛盾孑若毎占则同样根据岛之览义又有和AJEA也矛盾.因此,P<A）-MA乞间不存在取射.第二章群§2.1群的定义和初步性质一、主要内容1 群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子.2 群的初步性质1）群中左单位元也是右单位元且惟一；2）群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一

15、：3）半群G是群二方程ax=d与ya=b在G中有解（-a,bG）.4）有限半群作成群两个消去律成立.二、释疑解难有资料指出，群有50多种不同的定义方法.但最常用的有以下四种：1）教材中的定义方法.简称为“左左定义法”；2）把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元（其余不动.简称为“右右定义法”；3）不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”；4）半群G再加上方程ax=b与ya=b在G中有解（-a,bG）.此简称为“方程定义法”.“左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说.“双边定义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的

16、，多了一层手续（虽然这层手续一般是比较容易的）；优点是：不用再去证明左单位元也是右单位元，左逆元也是右逆元；从群定义本身的条件直接体现了左与右的对称性.征数的运算中，如果UJCb3工0儿则工=，体现了徃数中可M施行除迭运算，即乘法的逆运算.如果我们把群的运算也叫做“弟法J那么在样中方裡b5是群中任意元塞，无任何限制有解记为工=三实为k'b、同时方程ya=6也有螂.也暂时记为$=必实为也'）当燃，由于机乘袪”不一定可换严勺b/u（即Q5与加-J不定相等.但无论如何这体现了幺群中可以施行“除法运算”，即“乘法”的逆运算.因此，群的方程定义法”直接体现了在群中可以施行“乘法与除法”运

17、算.于是简言之，可以施行乘法与除法运算的半群就是群.为了开阔视野，再给出以下群的另一定义.定义一个半群G如果满足以下条件则称为一个群：对G中任意元素a,在G中都存在元素a4，对G中任意元素b都有4-1a（ab）=（ba）a=b.这个定义与前面4种定义的等价性留给读者作为练习.2在群的“方程定义法”中，要求方程ax=b与ya=b都有解缺一不可即其中一个方程有解并不能保证另一个方程也有解4关于结合律若代数运算不是普通的运算（例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法），则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法

18、表来研究检验结合律是否成立的方法但无论哪种方法，一般都不是太简单5关于消去律根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可6在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为ei是左单位元，而ei与e2都有右逆元且均为ei.但G并不是群.7群与对称的关系1）世界万物，形态各异但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的.由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现

19、出左右对称的本质属性.2）几何对称.设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换（即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称），则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群.这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的.凡对称图形（即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合），总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群.反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形.不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变换.显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多.也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度

20、的高低与其对称群的阶数密切相关.因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称.所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论.4关于结合律若代数运算不是普通的运算（例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法），则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法但无论哪种方法，一般都不是太简单5关于消去律根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可6在群定义中是否可要求有“左”单

21、位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为ei.但G并不是群.7群与对称的关系1）世界万物，形态各异.但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性.而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的.由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性.2）几何对称.设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换（即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称），则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群.这个图形的对称性和它的完全对称群是密切

22、相关的.凡对称图形（即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合），总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群.反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形.不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变换.显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多.也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关.因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称.所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论.4关于结合律若代数运算不是普通的运算（例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变

23、换和线性变换的普通加法或乘法），则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法但无论哪种方法，一般都不是太简单5关于消去律根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可6在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为ei.但G并不是群.7群与对称的关系1）世界万物，形态各异.但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性.而在这些具有对

24、称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的.由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性.2）几何对称.设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换（即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称），则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群.这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的.凡对称图形（即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合），总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群.反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形.不是对称的图形，就不能有非恒

25、等的对称变换.显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多.也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关.因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称.所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论.4关于结合律若代数运算不是普通的运算（例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法），则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法但无论哪种方法，一般都不是太简单5关于消去律根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律

26、是否成立而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可6在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为ei.但G并不是群.7群与对称的关系1）世界万物，形态各异.但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性.而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的.由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性.2）几何对称.设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换（即平常的反射、旋转、反演和平移

27、变换的统称），则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群.这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的.凡对称图形（即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合），总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群.反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形.不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变换.显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多.也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关.因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称.所以人们就把群论说成

28、是研究对称的数学理论.4关于结合律若代数运算不是普通的运算（例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法），则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法但无论哪种方法，一般都不是太简单5关于消去律根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可6在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为

29、ei.但G并不是群.7群与对称的关系1）世界万物，形态各异.但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性.而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的.由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性.2）几何对称.设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换（即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称），则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群.这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的.凡对称图形（即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合），总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换

30、一起构成该图形的完全对称群.反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形.不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变换.显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多.也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关.因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称.所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论.4关于结合律若代数运算不是普通的运算（例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法），则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来

31、研究检验结合律是否成立的方法但无论哪种方法，一般都不是太简单5关于消去律根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可6在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为ei.但G并不是群.7群与对称的关系1）世界万物，形态各异.但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性.而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的.由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现

32、出左右对称的本质属性.2）几何对称.设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换（即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称），则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群.这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的.凡对称图形（即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合），总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群.反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形.不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变换.显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多.也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度

33、的高低与其对称群的阶数密切相关.因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称.所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论.4关于结合律若代数运算不是普通的运算（例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法），则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法但无论哪种方法，一般都不是太简单5关于消去律根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可6在群定义中是否可要求有“左”单

34、位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为ei.但G并不是群.7群与对称的关系1）世界万物，形态各异.但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性.而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的.由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性.2）几何对称.设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换（即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称），则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群.这个图形的对称性和它的完全对称群是密切

35、相关的.凡对称图形（即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合），总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群.反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形.不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变换.显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多.也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关.因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称.所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论.4关于结合律若代数运算不是普通的运算（例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变

36、换和线性变换的普通加法或乘法），则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法但无论哪种方法，一般都不是太简单5关于消去律根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可6在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为ei.但G并不是群.7群与对称的关系1）世界万物，形态各异.但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性.而在这些具有对

37、称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的.由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性.2）几何对称.设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换（即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称），则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群.这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的.凡对称图形（即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合），总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群.反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形.不是对称的图形，就不能有非恒

38、等的对称变换.显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多.也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关.因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称.所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论.4关于结合律若代数运算不是普通的运算（例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法），则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法但无论哪种方法，一般都不是太简单5关于消去律根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律

39、是否成立而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可6在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为ei.但G并不是群.7群与对称的关系1）世界万物，形态各异.但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性.而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的.由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性.2）几何对称.设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换（即平常的反射、旋转、反演和平移

40、变换的统称），则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群.这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的.凡对称图形（即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合），总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群.反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形.不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变换.显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多.也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关.因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称.所以人们就把群论说成

41、是研究对称的数学理论.4关于结合律若代数运算不是普通的运算（例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法），则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法但无论哪种方法，一般都不是太简单5关于消去律根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可6在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为

42、ei.但G并不是群.7群与对称的关系1）世界万物，形态各异.但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性.而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的.由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性.2）几何对称.设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换（即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称），则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群.这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的.凡对称图形（即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合），总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换

43、一起构成该图形的完全对称群.反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形.不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变换.显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多.也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关.因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称.所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论.4关于结合律若代数运算不是普通的运算（例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法），则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来

44、研究检验结合律是否成立的方法但无论哪种方法，一般都不是太简单5关于消去律根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可6在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为ei.但G并不是群.7群与对称的关系1）世界万物，形态各异.但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性.而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的.由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现

45、出左右对称的本质属性.2）几何对称.设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换（即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称），则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群.这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的.凡对称图形（即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合），总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群.反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形.不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变换.显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多.也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度

46、的高低与其对称群的阶数密切相关.因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称.所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论.4关于结合律若代数运算不是普通的运算（例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法），则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法但无论哪种方法，一般都不是太简单5关于消去律根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可6在群定义中是否可要求有“左”单

47、位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为ei.但G并不是群.7群与对称的关系1）世界万物，形态各异.但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性.而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的.由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性.2）几何对称.设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换（即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称），则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群.这个图形的对称性和它的完全对称群是密切

48、相关的.凡对称图形（即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合），总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群.反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形.不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变换.显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多.也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关.因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称.所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论.4关于结合律若代数运算不是普通的运算（例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变

49、换和线性变换的普通加法或乘法），则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法但无论哪种方法，一般都不是太简单5关于消去律根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可6在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为ei.但G并不是群.7群与对称的关系1）世界万物，形态各异.但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性.而在这些具有对

50、称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的.由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性.2）几何对称.设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换（即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称），则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群.这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的.凡对称图形（即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合），总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群.反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形.不是对称的图形，就不能有非恒

51、等的对称变换.显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多.也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关.因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称.所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论.4关于结合律若代数运算不是普通的运算（例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法），则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法但无论哪种方法，一般都不是太简单5关于消去律根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律

52、是否成立而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可6在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为ei.但G并不是群.7群与对称的关系1）世界万物，形态各异.但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性.而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的.由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性.2）几何对称.设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换（即平常的反射、旋转、反演和平移

53、变换的统称），则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群.这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的.凡对称图形（即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合），总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群.反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形.不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变换.显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多.也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关.因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称.所以人们就把群论说成

54、是研究对称的数学理论.4关于结合律若代数运算不是普通的运算（例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法），则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法但无论哪种方法，一般都不是太简单5关于消去律根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可6在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为

55、ei.但G并不是群.7群与对称的关系1）世界万物，形态各异.但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性.而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的.由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性.2）几何对称.设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换（即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称），则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群.这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的.凡对称图形（即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合），总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换

56、一起构成该图形的完全对称群.反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形.不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变换.显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多.也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关.因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称.所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论.4关于结合律若代数运算不是普通的运算（例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法），则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来

57、研究检验结合律是否成立的方法但无论哪种方法，一般都不是太简单5关于消去律根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可6在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为ei.但G并不是群.7群与对称的关系1）世界万物，形态各异.但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性.而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的.由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性.2）几何对称.设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换（即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称），则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群.这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的.凡对称图形（