毕业论文参考_非线性方程求根的迭代法

1、第4章 非线性方程求根的迭代法 本章重点介绍求解非线性方程 的几种常见和有效的数值方法.无论在理论上,还是在实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突破性开拓和补充,许多问题的求解,在解析方法无能为力时,数值方法则可以借助于计算机出色完成.0)(xfnf(x)=0某个区间上可能有奇数重根或者有偶数重根，都可以转换为讨论单根的情形（具体数学细节不多加解释）。所以此节我们考察单根情形。4.1二分法求非线性方程0)(xf 确定方程的有根区间 计算根的近似值的根的方法分为两步：n首先确定有限区间：依据零点定理。 设 ，且 ，则方程 在区间 上至少有一个根。如果 在 上恒正或恒负，则此根唯一。,)

2、(baCxf0)()(bfaf0)(xf),(ba)(xf),(ba等步长扫描法求有根区间 n用计算机求有根区间：等步长扫描法。 设h0是给定的步长，取 ，若 则扫描成功；否则令 ，继续上述方法，直到成功。如果 则扫描失败。再将h 缩小，继续以上步骤。haxax10,0)()(10 xfxfhxxxx0110,bx 1等步长扫描算法 （了解）n算法：（求方程 的有根区间）(1) 输入 ；(2) ； (3) ，若 输出失败信息，停机。(4)若 。输出 ，已算出方程的一个根，停机。0)(xfhba,)(0aff )(,1xffhaxbx 01fx等步长扫描算法(5) 若 。输出 为有根区间，停机(

3、6) ，转 3）n注：如果对足够小的步长h扫描失败。说明：在 内无根在 内有偶重根010ff, ,xaxaxa ,ba,banQustion: 有没有更直观的方法呢？二分法 n用二分法(将区间对平分)求解。 令 若 ，则 为有根区间，否则 为有根区间 记新的有根区间为 ， 则 且 )(,1121111bacbbaa0)()(11cfaf,11ca,11bc,22ba,2211baba)(112122abab二分法n对 重复上述做法得n且 ,22ba.,.,2211nnbababa)(211ababnnn二分法 设 所求的根为 ， 则 即 取 为 的近似解 x.2 , 1,nbaxnn.2 ,

4、1nbxann0)(21lim)(lim1nababnnnnxbannnnlimlim)(21nnnbacxxn二分法特点：（1）条件简单，只需要满足连续性即可。（2）收敛速度慢，精度要求比较高时，时间花费比较大。例题n例1 设方程 2 , 1 , , 1)(3baxxxf4.2 基本迭代法n迭代法及收敛性 对于 有时可以写成 形式 如： 0)(xf)(xx3331101xxxxxxxxxxcos0cos迭代法及收敛性 考察方程 。不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值 ， 代入 中的右端得到 ，再以 为一个猜测值，代入 的右端得 反复迭代得)(xx0 x)(xx)(01xx1x)(xx

5、)(12xx,.1 , 0)(k1kkxx迭代法及收敛性 若 收敛，即 则得 是 的一个根kx xxkklimx)(xx)()lim()(limlim1nxxxxxnnnnn基本迭代法 上述方法称为 基本迭代法将 变为另一种等价形式 。选取 的某一近似值 ，则按递推关系 产生的迭代序列 。这种方法算为简单迭代法。0)(xf)(xxx,0bax ,.1 , 0)(k1kkxxkx 若 收敛，即 称迭代法收敛，否则称迭代法发散kx xxkklim迭代法的几何意义n 交点的横坐标 *x)()(xyxyxxy=x2x0 x1x例题 例 试用迭代法求方程 在区间(1，2)内的实根。 解：由 建立迭代关系

6、 k=10,1,2,3.计算结果如下:31xx01)(3xxxf311kkxx例题n精确到小数点后五位5102132472. 1x例题n但如果由 建立迭代公式 仍取 ，则有 ， 显然结果越来越大， 是发散序列1x3x,.2 , 1131kxxkk 5 . 10 x 2.3751x 12.392x kxn下面考虑如下两个问题：n什么时候收敛？n收敛速度怎么刻画？迭代法的收敛性n定理（压缩映像原理）（了解）设迭代函数 在闭区间 上满足（1）（2） 满足Lipschitz条件即 有且 。 )(x ,ba,)(,baxbax)(x,21baxx )()(2121xxLxx10 L压缩映像原理则 在 上

7、存在 唯一解 ，且对 ，由 产生的序列 收敛于 。 )(xx,0bax )(k1kxx.1kxx,bax关于压缩映像教材上有另外一种形式Th4.2.1 则基本迭代格式收敛的充要条件是：*/( )(),( )xxxxx xxx是的根，U设连续，*10()(kkx基本迭代格式xx 的初始值xU）( )1xL*(xxU）例题n例例 证明函数 在区间1，2上满足迭代收敛条件。n证明：31)x(x上严格单调增函数。是区间所以因为,)(2 , 1 0) 1(31)x(32baxxx例题 2 , 1 1431|) 1(31| )(|332xLxx又23)2(12) 1 (33，而）。满足条件（，所以即1)(

8、2 , 1 )2(),1 (x）。满足条件（所以2)(x满足压缩映像原理。在故2 , 1 1)x(3x例题n若取迭代函数 ， 不满足压缩映像原理，故不能肯定 收敛到方程的根。 1)x(3 x2 , 1 3|3| )(|2xxx因为,.1 , 0)(1nxxnn简单迭代收敛情况的几何解释 是否取到合适的初值，是否构造合适的迭代格式，对于是否收敛是关键的。对于初值，实际操作时，可以先画出函数图形，然后，观察根大概在什么地方。对于迭代格式，可以对 求导，看看 是否小于1（ x）/0()x n迭代法收敛的阶迭代法收敛的阶 定义定义 设序列 收敛到 ，若有实数 和非零常数C，使得 其中， ，则称该序列是

9、p 阶收敛的，0nx*x1pCeepnnn1lim*xxenn迭代法收敛的阶迭代法收敛的阶当p=1时，称为线性收敛；当p1时，称为超线性收敛；当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。n误差估计 n若 满足定理条件，则n )(xx1L|1Lkkkxxxx0L|1 Lkkkxxxx*/11110( )LL,LkkkkkkkkLxxxxxxxxx是根附近（x的某邻域）上的最大值，实际中，我们可以如下估计 及 ，L下面定理给出判别迭代收敛阶的一个方法n定理： 记 是 的根， ，设 在 附近连续，若对 ，有则基本迭代法 是P阶连续的。( )xx*()xx( )( )px*x1p /*/*(1)*( )*()

10、()()0,()0,ppxxxx1()kkxx*x基本迭代法的matlab实现nfunction k,piancha,xk=diedai1(x0,k)n% 输入的量-x0是初始值,k是迭代次数nx(1)=x0; nfor i=1:kn x(i+1)=fun1(x(i);%程序中调用的fun1.m为函数y=(x) n piancha= abs(x(i+1)-x(i); ni=i+1;xk=x(i);(i-1) piancha xknendMatlab中与或非，分别是：& | 与或非 nif (piancha 1)&(k3)n disp(请用户注意：此迭代序列发散，请重新输入新的迭

11、代公式)n return;n endn if (piancha 3)n disp(祝贺您！此迭代序列收敛，且收敛速度较快)n return;n endnp=(i-1) piancha xk;关于程序里面的fun1,可以如下类似定义nfunction y1=fun1(x) y1=(10-x2)/2;作业： 1. 编程求方程 在区间(1，2)内的实根。2. 习题4.4（P104） 01)(3xxxf4.3 Newton迭代法n设x * 是方程f (x ) = 0的根，又x0 为x * 附近的一个值 ，将f (x ) 在x0附近做泰勒展式 令 ，则 之间和在其中020000)()(21)()()()

12、(xxfxxxfxxxfxf *xx )()(21)()()()(020*00*0*fxxxfxxxfxf Newton迭代法即以x1代替x0重复以上的过程，继续下去得：0)()()(000*0 xfxxfxxf*000()()f xxxfx0100()()fxxxfxNewton迭代法,.1 , 0)()(1nxfxfxxnnnn以此产生的序列Xn得到f(x)=0的近似解，称为Newton法，又叫切线法。Newton迭代法几何解释n几何意义例题例 用Newton法求 的近似解。解：由零点定理。0cos)(xxxf内有根。在)2, 0(0cosxx迭代公式得及由Newtonxxfsin1)(,

13、.1 , 0sin1cos1nxxxxxnnnnn例题085133739. 0739085133. 0739085133. 0739085178. 0;73936133. 044*43210 xxxxxxx故取得取例题n例 用Newton法计算 。解：22( )02f xxaa其中迭代公式得及由Newtonxxf2)(21212()0,1,.22nnnnnnxxxxnxx。有十位有效数的近似值是已的精确值相比，。与，则取332102414213562. 1414215686. 11.416666675 . 1xxxxxNewton迭代法算法。输出）转（做输入1101001001000:)4(;

14、2) 3;)2;/) 1|while(3);();()2(;,) 1 (xendwhilexxffxxfxffxffxNewton迭代法收敛性定理4.3.1给定方程 ，若满足条件：（1）在根附近，f(x)二次连续可微。（2） 则Newton迭代法是局部二阶收敛的。（即初值取根附近的值时，是二阶收敛的）( )0f x /*()0fxn定理告诉我们：定理告诉我们：单根附近是二阶收敛的单根附近是二阶收敛的Newton法的matlab实现nfunction k,xk,yk,piancha,xdpiancha=newtonqx(x0,tol,ftol,gxmax)nx(1)=x0; Newton法的ma

15、tlab实现nfor i=1: gxmaxn x(i+1)=x(i)-fnq(x(i)/(dfnq(x(i)+eps); piancha=abs(x(i+1)-x(i);n xdpiancha= piancha/( abs(x(i+1)+eps); i=i+1;nxk=x(i);yk=fnq(x(i); (i-1) xk yk piancha xdpianchanif (abs(yk)ftol)&(pianchatol)|(xdpianchagxmaxn disp(请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax。)n k=i-1; xk=x(i);(i-1) xk yk piancha x

16、dpianchan return;nendn (i-1),xk,yk,piancha,xdpiancha;重根情形Newton 迭代重根时仅有线性收敛速度，经修改后可以有二阶收敛性。设重数为m.（1）m已知时，迭代公式修改为：1/()()kkkkf xxxmfxn（2）m未知时，在根的附近 有单根，对 构造newton迭代公式： ( )0( )f xfx/1/2/()()()()()kkkkkkkf xfxxxfxf xfx( )0( )f xf x求重根的matlab实现n（一）（一） 已知方程根的重数已知方程根的重数n供名为供名为newtonxz.m的的M文件：文件：nfunction k

17、,piancha,xdpiancha,xk,yk=newtonxz(m,x0,tol,ftol,gxmax)nx(1)=x0;nfor i=1: gxmaxnx(i+1)=x(i)-m*fnq(x(i)/(dfnq(x(i)+eps); npiancha=abs(x(i+1)-x(i);nxdpiancha=piancha/( abs(x(i+1)+eps); i=i+1; nxk=x(i);yk=fnq(x(i); (i-1) piancha xdpiancha xk yk;n if (pianchatol)|(xdpiancha tol)&(abs(yk)gxmaxn disp(请

18、注意：迭代次数超过给定的最大值请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax.)n k=i-1; xk=x(i); yk=fnq(x(i); n(i-1) piancha xdpiancha xk yk;nreturn;nend求重根的matlab实现n（二）（二） 未知方程根的重数未知方程根的重数nfunction k,piancha,xdpiancha,xk,yk=newtonxz1(x0,tol,ftol,gxmax)nx(1)=x0;nfor i=1: gxmaxnu(i)=fnq(x(i)/dfnq(x(i);ndu(i)=1-fnq(x(i)*ddfnq(x(i)/(dfnq(x(i)

19、2+eps);nx(i+1)=x(i)-u(i)/du(i); piancha=abs(x(i+1)-x(i);nxdpiancha=piancha/( abs(x(i+1)+eps); i=i+1; xk=x(i);yk=fnq(x(i);n if (pianchatol)|(xdpiancha tol)&(abs(yk)gxmaxn disp(请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax.)nk=i-1; xk=x(i); yk=fnq(x(i); (i-1) piancha xdpiancha xk yk ;nreturn;nendn例例 用牛顿切线法求方程 在 附近的近似根，要求

20、精度 .n解解 n在MATLAB工作窗口输入程序k,xk,yk,piancha,xdpiancha=newtonqx(-0.4,0.001, 0.001,100)n k,xk,yk,piancha,xdpiancha=newtonqx(-0.4,0.001, 0.001,100)013223 xx00.4x 310nfunction k=fnq(x)n k=2*x3-3*x2+1;n%计算x处的函数值nfunction k=dfnq(x)nk=6*x2-6*x;n%计算x处的一阶导数值作业1： 求 ，要求精度为 .要求（1）写出牛顿迭代格式，并分析其收敛速度（可仿照p97例4.3.1） （2）写出matlab实现程序（写清程序newtonqx(x0,tol,ftol,g