画法几何直线的投影

1、教学目标：1、掌握直线的投影及与投影面之间的位置关系2、根据直线的投影判断空间直线的位置关系3、熟练运用直角三角形法解决作图问题4、熟练运用直角投影定理解决作图问题教学重点：1、掌握两直线的相对位置的判定2、熟练运用直角投影定理教学难点：1、掌握两直线的相对位置的判定2、熟练运用直角投影定理ABabbabZXYaVHW2.2.1 2.2.1 直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置2.2.1.1 2.2.1.1 直线的投影直线的投影 根据初等几何，两点决定一直线，所以，直线上两点的同面投影的连线就是直线在该面上的投影。其作图方法与点的作图方法一样。 yW

2、yH1、真实性：在与直线相平行的投影面上的投影，反映实长。（a）直线的真实性ABbaH（c）直线的收缩性ABbaH(b)直线的积聚性a(b)BAH3、收缩性：直线与投影面处于倾斜位置时，在该投影面上的投影长度小于真实长度。2、积聚性：直线的方向在与投影线的方向一致（或垂直于投影面）时，其在该面的投影积聚为一点。 直线投影的特点（三性）直线投影的特点（三性）投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线正平线（平行于面）

3、正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）垂直于某一投影面垂直于某一投影面正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）2.2.1.2 2.2.1.2 与投影面成各种位置状态的直线与投影面成各种位置状态的直线 直线与投影面的位置关系有三种：直线与投影面的位置关系有三种：平行、垂直、一般位置直线（倾斜直线、任意位置直线）平行、垂直、一般位置直线（倾斜直线、任意位置直线）1 1、 一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性 ABababa”b”XYZ0YHYWXZababb”a”0（2）

4、其三面投影都小于空间直线的实长，也（1）一般位置直线的三面投影都与投影轴倾斜；一般位置直线与投影面的倾角一般位置直线与投影面的倾角 一般位置直线与某投影面的夹角，称为直线对该投影面的倾角倾角。对H面的倾角记为“a a”；对V面的倾角记为“ ” ；对W面的倾角记为“ ”。ZXYOVHWabbabaABCZXYOababab Xa b ab baOzYHYW AB投影特性：投影特性：1a b OX ; a b OYW 2 ab=AB 3反映反映 、 角的真实大小角的真实大小(1) (1) 水平线水平线 只平行于水平投影面的直线只平行于水平投影面的直线ZXYOaababbXabab baOZYHYW

5、AB 投影特性：投影特性： 1 1ab ab OX OX ; ; a a b b OZOZ 2 2a a b b = =ABAB 3 3反映反映 、 角的真实大小角的真实大小（2 2）正平线）正平线只平行于正面投影面的直线只平行于正面投影面的直线ZXYO（3 3）侧平线）侧平线只平行于侧面投影面的直线只平行于侧面投影面的直线aa b a bbAB投影特性：投影特性： 1 1a a b b OZOZ ; ; ab ab OYOYH H 2 2a a b b = =ABAB 3 3反映反映 、 角的真实大小角的真实大小XZa b bbaOYHYWab b a a a ab ba a b b b b

6、 a aa a b b b ba a 投影面平行线的投影特性归纳为：投影面平行线的投影特性归纳为： 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。与另两投影面倾角。 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：与与H H面的夹角面的夹角: : 与与V V面的角面的角: : 与与W W面的夹角面的夹角:实长实长实长实长实长实长b ba a a aa a b b b b 3 3、投影面垂直线、投影面垂直线ABa(b)aba”b”HVW

7、0XYZa(b)aba”b”XYWYHZ0（1 1）正面投影）正面投影OX ；平行于；平行于Z轴轴（2 2）侧面投影）侧面投影OYW;平行于平行于Z轴轴（3 3）水平投影积聚成一点。）水平投影积聚成一点。（1 1）铅垂线）铅垂线（2 2）正垂线）正垂线 ABa (b)aba”b”HVW0YZXabb”a”a (b)XYHYW0Z（1 1）水平投影）水平投影OXOX , ,平行于平行于YH轴轴; ;（2 2）侧面投影）侧面投影OZ OZ , ,平行于平行于YW轴轴; ;（3 3）正面投影积聚成一点。）正面投影积聚成一点。ABababa”(b”)HVW0XYZababa”(b”)XYHYW0（1

8、1）正面投影）正面投影OZOZ , ,平行于平行于X X轴轴; ;（2 2）水平投影）水平投影OYOYH H，平行于平行于X X轴轴; ;（3 3）侧面投影积聚成一点。）侧面投影积聚成一点。（3 3）侧垂线）侧垂线 投影面垂直线的投影特性归纳为：投影面垂直线的投影特性归纳为： 在其垂直的投影面上，投影有积聚性在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 另外两个投影，反映线段实长；且同时平行于一另外两个投影，反映线段实长；且同时平行于一个投影轴或分别垂直于相应的投影轴。个投影轴或分别垂直于相应的投影轴。（a a）铅垂线）铅垂线（b b）正垂线）正垂线（c c）侧垂线）侧垂线判断下列直线是什么直线？判断下

9、列直线是什么直线？正平线正平线水平线水平线水平线水平线侧平线侧平线正垂线正垂线侧垂线侧垂线铅垂线铅垂线yW0XZyHaba”b”yW0XZyHaba”b”倾斜直线倾斜直线abababababab0Xabab0Xaba”b”yW0XZyHaba”b”0Z点与直线的关系：点与直线的关系：点在直线上点在直线上；点在直线外点在直线外。ABCa (b)EFDedf从属性：从属性：定比性：定比性：(c)XOkabcefg (h)iljkabcghiljddfe点点C C在直线在直线ABAB上上点点F F在直线在直线DEDE上上点点I I不在直线不在直线GHGH上上点点L L不在直线不在直线JKJK上上ab

10、abkkkabXZYHYWOK K 点点在在直直线线 AB AB 上上ababkkXOb0k0K K 点点在在直直线线 AB AB 上上XYHYWZababddabkD D点点不不在在直直线线ABAB上上OcccC C点点在在直直线线A AB B上上XababddOccc0d0b0D D点点不不在在直直线线ABAB上上C C点点在在直直线线A AB B上上ababC c cXO如图，三棱锥的棱线点如图，三棱锥的棱线点K K和和M M的正面投影，的正面投影， 求其余投影。求其余投影。已知已知方法一，利用从属性方法一，利用从属性方法二，利用定比性方法二，利用定比性sbb”s”skk”kmm”m(

11、)bmskbb”s”sbk已知点已知点C C在线段在线段ABAB上，求点上，求点C C 的正面投影。的正面投影。ccabc0cabBAabccaaabbbVHXXOc 求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一，也是工程上遇到的问题。而用直角三角形法求解实长、倾角又最为方便、简捷。求实长或可采用辅助平面法。直角三角形法直角三角形法ab bab bABabbabZXYa坐标差Z、Y、XH、V、W投影长、 1 1 求直线的实长及对水平投影面的夹角求直线的实长及对水平投影面的夹角 角角OABabcabX|zA-zB |AB|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-

12、zB|abXabab2 2 求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角 角角ABab|yA-yB|OABabcabX|yA-yB|aXabbabAB|yA-yB|AB|yA-yB|3 3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角角|xA-xB|aabbXOZXOZYYHYWabABbbabaa|xA-xB| 、XababOa0 方法一：方法一：XababOabAB真长 ZYHYW方法二：方法二：ababXOZAB=ZABC C在AB上量取AC=25mmccBA已知线段已知线段ABAB的投影，试定出属于线段的投影，试定出属于线段ABAB的的点点C

13、 C的投影，的投影， 使使BCBC 的实长等于已知长度的实长等于已知长度L L。LABzA-zBccabBC=LababX量取YABR=40mmYABababababYAB量取YABababz zABAB直线的直线的H投影长投影长以直线的以直线的H投影长投影长为半径，作圆弧为半径，作圆弧直线直线AB真长真长60602.2.3.2 2.2.3.2 已知直线的真长和倾角求解有关的定位已知直线的真长和倾角求解有关的定位和度量问题和度量问题dcOdZcc0c1ttt0efXOezzzff（交错）（交错）异面异面共面共面 ( (1)1)(2)(2)平行两线段之比等于其投影之比。平行两线段之比等于其投影之

14、比。AB:CD=ab:cd= AB:CD=ab:cd= = = xobaadbbccxobaabdcdcABCD 一般根据两面投影便能判断两直线是否平行：一般根据两面投影便能判断两直线是否平行：babadcdca”b”c”d”两面投影均平行的直线空间不一定平行两面投影均平行的直线空间不一定平行两直线平行的判定：两直线平行的判定：若直线的三面投影均平行，则空间两直线平行。若直线的三面投影均平行，则空间两直线平行。u当两直线为投影面平行线时，需判断两直线在其平行的投影面上的当两直线为投影面平行线时，需判断两直线在其平行的投影面上的投影是否平行，若平行则两直线平行，否则交错。投影是否平行，若平行则两

15、直线平行，否则交错。u两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影平行则两直线空间也平行两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影平行则两直线空间也平行判断两直线是否平行的方法判断两直线是否平行的方法ss3 3、同面投影对角连线的交点是否符合点的投影规律？、同面投影对角连线的交点是否符合点的投影规律？2 2、同面投影长度之比是否相等，且方向是否一致？、同面投影长度之比是否相等，且方向是否一致？1 1、第三面投影是否平行？、第三面投影是否平行？sobxaabkcddckxoBDACKbbaaccddkk：u 当其中有一条直线为投影面平行线时，则需要作出该直线当其中有一条直线为投影面平行线时，则需要作出

16、该直线在所平行的投影面上的投影来判断；也可根据其两面投影中在所平行的投影面上的投影来判断；也可根据其两面投影中的交点将直线分成的两段是否成比例来判断。的交点将直线分成的两段是否成比例来判断。一般根据直线的两面投影即可判断是否相交一般根据直线的两面投影即可判断是否相交u 两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影相交且交两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影相交且交点符合点的投影规律，则两直线空间也相交。点符合点的投影规律，则两直线空间也相交。abcdkb a c d k ObXaabcddc11(2)2XOBDACbbaaccdd211(2)21 （3 3） 两直线为投影面平行线时，若在平行的

17、投影面内的投影两直线为投影面平行线时，若在平行的投影面内的投影相交，则两直线交错。相交，则两直线交错。（2 2） 两直线的一面投影平行，其余两面投影均相交，则两直两直线的一面投影平行，其余两面投影均相交，则两直线交错线交错; ;（1 1） 两直线的三面投影相交，但交点不符合空间点的投影规律；两直线的三面投影相交，但交点不符合空间点的投影规律；判定条件：判定条件：cabdcabd123456判断下面形体的轮廓线为交错直线判断下面形体的轮廓线为交错直线判断两根管子的可见性判断两根管子的可见性dabcdabc4(3)34121(2)X0dabcabcd判断两直线的位置关系判断两直线的位置关系aabb

18、ccddeea a（f f）b bc cd de e0 0X XABAB与与CDCDABAB与与AEAECDCD与与AEAE交错交错相交相交交错交错0 0X Xaabbccdda ab bc cd dABAB与与CDCD平行平行ggg gffABAB与与FGFG 交错交错d dc cb ba ad dc cb ba ad dc ca a(b(b)d dc cb ba ad dc cb ba ac cb ba ad dc cb ba ad dc cb ba ad dc cb ba ad dd dc cb ba ad dc cb ba ad dc cb ba ad dc cb ba ad dc c

19、b ba ad dc cb ba ad dc cb ba a判断两直线的位置关系判断两直线的位置关系相交相交交错交错交错交错平行平行交错交错相交垂直相交垂直交错交错交错垂直交错垂直相交相交相交垂直相交垂直交错垂直交错垂直相交相交XaacddcbbodcabYWYHZ两两直直线线交交叉叉cboaacddbx11 =1d=1c两两直直线线交交叉叉d e f fecaabcd(b)(k)l lk作作kle f 作作klefCabcabZCDCD水平投影长CD真长以CD水平投影长为半径作弧d有两解d2.2.5 2.2.5 两直线垂直两直线垂直( (直角投影定理直角投影定理) )AHBCacbcOXba cba 垂直相交垂直相交( (交错）的两直线，其中有一条直线交错）的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。仍反映直角。（1 1）垂直相交两直线）垂