概率论与数理统计期末复习资料

1、Ch1 Ch1 概率论的基本概念概率论的基本概念1.1.随机现象、随机试验随机现象、随机试验2.2.样本空间、样本点样本空间、样本点3.3.随机事件（事件）随机事件（事件）事事件件基本事件基本事件复合事件复合事件事事件件不可能事件不可能事件必然事件必然事件一般事件一般事件事件间的关系事件间的关系包含关系包含关系：事件：事件A发生必然导致发生必然导致B发生，记为发生，记为相等关系相等关系： ，记为，记为A=B。积事件积事件：事件：事件A与与B同时发生，记为同时发生，记为AB。和事件和事件：事件：事件A或或B至少有一个发生，记为至少有一个发生，记为 差事件差事件：事件：事件A发生而发生而B不发生，

2、记为不发生，记为A- -B。互斥事件互斥事件：事件：事件A、B不能同时发生，即不能同时发生，即 ，又称，又称A、B为为互不相容事件互不相容事件。逆事件逆事件：“A不发生不发生”这一事件称为这一事件称为A的逆事件，记为的逆事件，记为 ，A与与 又称为又称为对立事件对立事件。ABABABABBA且AAAA, AASASA事件间的关系与事件的运算事件间的关系与事件的运算事件的运算律事件的运算律交换律交换律：结合律结合律：分配律分配律：对偶律（对偶律（De Morgan德摩根律）德摩根律）：减法减法：;ABBAABBA()()AB CA BC()();ABCABC()()();AB CACBC()()

3、()ABCABAC;ABAB;ABABABAABAB例例1 1 某工人连续生产了三个零件，某工人连续生产了三个零件， 表示它生表示它生产的第产的第i个零件是正品个零件是正品 ，试用，试用 表示表示以下事件：以下事件：（1 1）没有一个是次品）没有一个是次品（2 2）至少有一个是次品）至少有一个是次品（3 3）只有一个是次品）只有一个是次品（4 4）至少有两个不是次品）至少有两个不是次品（5 5）恰好有三个是次品）恰好有三个是次品iA(1,2,3)i iA 概率概率：做：做n次重复试验，事件次重复试验，事件A发生的次数记为发生的次数记为 ，当当n很大时，若频率很大时，若频率 稳定在常数稳定在常数

4、P附近，则称附近，则称P为随机事件为随机事件A发生的概率，记作发生的概率，记作P(A)=P。概率的公理化定义概率的公理化定义：设：设E是随机试验，是随机试验，S是样本空是样本空间，对间，对E的每个随机事件的每个随机事件A，赋予一个实数，赋予一个实数P(A)，若它满足：若它满足：非负性非负性：规范性规范性： ，S为为必然事件必然事件可列可加性可列可加性：若事件：若事件 中中 则则则称则称P(A)为事件为事件A的发生的发生概率概率。An/Ann( )( )()nfAP A n0( )1P A( )=1P S12,nA AA,ijA Aij1212()()()P AAP AP A概率的定义概率的定义

5、有限可加性：有限个两两互斥的事件有限可加性：有限个两两互斥的事件 则则 是是A的对立事件，则的对立事件，则 则则一一 ，当，当A，B互斥互斥 即即 时时 推广：推广：12,nA AA()( )( )()P ABP AP BP AB1212()()()()nnP AAAP AP AP AA 1P AP A AB()= ( )( )P BAP BP A( )0,P( )1P S ( ) 1P A ()( )( )( )P ABCP AP BP C()()()P ABP ACP BC()P ABCAB()( )( )P ABP AP B概率的基本性质概率的基本性质已知P(A)=0.4,P(B)=0.

6、25,P(A-B)=0.25,求P(AB),P(AB),P(B-A),P(AB).例例2 2预备知识：排列、组合预备知识：排列、组合分类计数原理分类计数原理( (加法原理加法原理) )：设完成一件事有设完成一件事有k类方类方法，每类分别有法，每类分别有 种方法，则完成这件事种方法，则完成这件事情共有情共有 种方法种方法. .分步计数原理分步计数原理( (乘法原理乘法原理) )：设完成一件事有设完成一件事有k个步个步骤，第一步有骤，第一步有 种方法，种方法，,第第k步有步有 种方法，种方法，则完成这件事情共有则完成这件事情共有 种方法种方法. .排列：排列：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出

7、m个元素，按一定次个元素，按一定次序排成一列序排成一列. . 排列数：排列数：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的所有排个元素的所有排列的个数记为列的个数记为(1)(1)mnAn nnm12,km mm12kmmm12kmmmkm1m!()!nnm,mnA等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）组合：组合：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素并成一组个元素并成一组( (与与顺序无关顺序无关).). 组合数：从组合数：从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的所有组个元素的所有组合的个数，记为合的个数，记为,mnCmnC!()!nm nm!mnAm(1)(1)!n

8、nnmm定义：具有以下性质的随机试验称为等可能概型定义：具有以下性质的随机试验称为等可能概型试验的样本空间的元素只有试验的样本空间的元素只有有限个有限个试验中每个基本事件发生的试验中每个基本事件发生的可能性相同可能性相同等可能概型中事件概率的计算公式：等可能概型中事件概率的计算公式： n为随机试验的总的结果数，即样本点的总数，为随机试验的总的结果数，即样本点的总数，k为事件为事件A包包含的结果数。含的结果数。 kP An等可能概型（古典概型）的定义及概率计算等可能概型（古典概型）的定义及概率计算例例3 3 将将3 3只球随机地放入只球随机地放入4 4个杯子中，则杯子中个杯子中，则杯子中球的最大

9、个数为球的最大个数为1 1的概率为（的概率为（ ）. .例例4 4 从从1 1至至1010共十个自然数中任取一个，然后共十个自然数中任取一个，然后放回，先后取出放回，先后取出5 5个数字，则所得个数字，则所得5 5个数字全不个数字全不相同的概率等于（相同的概率等于（ ）。）。定义定义：事件A已发生的条件下事件B发生的概率，称为条件概率条件概率，记为P(B|A)。例例 将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正面的情况，设A=至少有一次为正面H，B=两次掷出同一面，求P(B|A)解：样本空间S=HH,HT,TH,TT,A=HH,HT,TH, B=HH,TT。则可得： P(B|A)1/3条件概率的计算公式条

10、件概率的计算公式：ABA中包含的基本事件中包含的基本事件 |P ABP BAP A条件概率定义及计算条件概率定义及计算例例5 5 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7 7，求其中有一颗为求其中有一颗为1 1点的概率点的概率. .112设P(A)=,P(A|B)= ，P(B|A)= ，求P(AB)，423P(B)，P(AB)。例例6 6乘法定理乘法定理：设设P(A)0，则有，则有P(AB)=P(B|A)P(A)推广：推广：P(AB)0，则有，则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB) = P(C|AB) P(B|A)P(A)设设 为为n个事件个事件 ，且，且12

11、1()0nP A AA12,nA AA(2)n 12121121()(|) ()nnnnP A AAP AA AAP A AA1211122211(|,) (|,)(|) ( )nnnnP AA AAP AA AAP AA P A例例7 7 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，（他随意地拨号，（1 1）求他拨号不超过）求他拨号不超过3 3次而接通次而接通所需电话的概率；（所需电话的概率；（2 2）若已知最后一个数字是）若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？奇数，那么此概率是多少？乘法定理乘法定理：设设P(A)0，则有，则有P(AB)=

12、P(B|A)P(A)推广：推广：P(AB)0，则有，则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB) = P(C|AB) P(B|A)P(A)设设 为为n个事件个事件 ，且，且121()0nP A AA12,nA AA(2)n 12121121()(|) ()nnnnP A AAP AA AAP A AA1211122211(|,) (|,)(|) ( )nnnnP AA AAP AA AAP AA P A定理定理：设随机试验：设随机试验E的样本空间为的样本空间为S，A为为E的事件的事件. . 为为S的一个划分，且的一个划分，且 则则 ，称之为，称之为全概率公式全概率公式。注：注：全概率公式给出我们

13、一个用来计算在众多原全概率公式给出我们一个用来计算在众多原因因 的作用下事件的作用下事件A发生概率的方法发生概率的方法. . （由因得果由因得果）12,nB BB()0(1,2, )iP Bin1122nn( )( |) ()( |) ()( |) ()P AP A B P BP A B P BP A BP B12,nB BB全概率公式全概率公式由因求果由因求果设设E的样本空间为的样本空间为S，A为为E的事件的事件. 为为S的一个划分，且的一个划分，且 ，则则 为为贝叶斯（贝叶斯（Bayes）公式）公式.称称 为为先验概率先验概率；称称 为为后验概率后验概率.( )0, ()0.(1,2, )

14、iP AP Bin12,nB BB1122nn()( |) ( )( | )=( )( |) ( )( |) ()( |) ()iiiiP ABP A B P BP B AP AP A B P BP A B P BP A B P B()iP B(|)iP BA贝叶斯公式贝叶斯公式执果索因执果索因例例8 8 某商店成箱出售玻璃杯，每箱某商店成箱出售玻璃杯，每箱2020只，假定各只，假定各箱中有箱中有0,1,20,1,2只次品德概率依次为只次品德概率依次为0.8,0.1,0.1,0.8,0.1,0.1,一顾客购买时，售货员随机地取一箱，而顾客随一顾客购买时，售货员随机地取一箱，而顾客随机地察看该箱

15、中的玻璃杯，若无次品，则买下该机地察看该箱中的玻璃杯，若无次品，则买下该箱玻璃杯；否则退回。求箱玻璃杯；否则退回。求（1 1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；）顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2 2）在顾客购买下的一箱中确实没有残次品的）在顾客购买下的一箱中确实没有残次品的概率概率. .独立事件独立事件：两事件：两事件A、B，A发生对发生对B发生没有影响，发生没有影响，B发生也对发生也对A没有影响，则称两事件相互独立没有影响，则称两事件相互独立. .即即P( (A| |B)=)=P( (A) )且且P( (B| |A)=)=P( (B) )，则，则P( (AB)=)=P( (A) )P( (B| |A)

16、 )= =P( (A) )P( (B) )例例 抛甲，乙两枚硬币，抛甲，乙两枚硬币，A=甲出现正面甲出现正面H ，B=乙乙出现正面出现正面H ，问，问A，B同时发生的概率同时发生的概率. .定理定理 四对事件四对事件 中有一对相互独中有一对相互独立，则另外三对也相互独立立，则另外三对也相互独立. .独立与互斥的区别独立与互斥的区别： A，B相互独立：相互独立：P( (AB)=)=P( (A) )P( (B) )； A，B互斥：互斥：P( (AB)=0)=0。, ;A BA BA BA B； ； 事件的独立性事件的独立性1212112,2, ,kjnkiiiijnA AAnknP A AAP A

17、A AA定义：设为 个随机事件，若对 均有：则称相互独立多个事件的独立性多个事件的独立性甲、乙、丙三人射击同一目标,各发一枪，三人1 1 1的命中概率依次为 , , ,求：(1)目标至少中一2 3 4枪的概率；(2)目标只中一枪的概率。例例9 9定义定义 定义在试验定义在试验E E的样本空间的样本空间S S上的单值实值函数上的单值实值函数 X=X(e) X=X(e)称为随机变量称为随机变量. .一般用大写字母一般用大写字母X，Y，Z，W 等表示。而以小写字母等表示。而以小写字母x, y, z, w表示实数表示实数. (1) (1)随机变量的特点：随机变量的特点： 变量；变量； 取值依赖与试验的

18、结果，其取值具有随机性；取值依赖与试验的结果，其取值具有随机性； 取某些值或落入某个区间上的具有一定的概率。取某些值或落入某个区间上的具有一定的概率。随机变量分为离散型和连续型：随机变量分为离散型和连续型：离散型离散型：X的取值是有限个或可列无限个。的取值是有限个或可列无限个。1.1.连续型连续型：X的取值是连续的。的取值是连续的。Ch2 Ch2 随机变量及其概率（一维）随机变量及其概率（一维）随机变量的定义随机变量的定义 称为离散型随机变量称为离散型随机变量X的的分布律分布律，分布律可用列表的方式直观的表示出来，分布律可用列表的方式直观的表示出来(1,2,)kkP Xxp kXkp1p1x2

19、xnx2pnp1、写出可能取值即写出了样本点、写出可能取值即写出了样本点2、写出相应的概率即写出了每一个样本点出现的概率、写出相应的概率即写出了每一个样本点出现的概率分布律（概率分布）分布律（概率分布）离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律, 2 , 1, 0 kpk1 kkp例 1设随机变量 X 的分布律为：PX=k=ka4，, 2 , 1 k，则参数 a1212 0 1 0 1X Xkp1.1.两点分布，又称为两点分布，又称为(0-1)(0-1)分布分布(0-1)(0-1)分布的分布律为分布的分布律为也可以写为也可以写为对随机试验，若样本空间只包括两个元素，即对随机试验，若样本空

20、间只包括两个元素，即 ，则一定能在，则一定能在S上定义一个服从上定义一个服从(0-1)(0-1)分布分布的随机变量，令的随机变量，令例例 抛硬币一次，定义随机变量抛硬币一次，定义随机变量X为出现正面的次数，为出现正面的次数，则则 0 1 0 1X Xkp1-p p1()(1),0,1kkP Xkppk12 ,Se e120 1 eeXee0 1 X反面正面三种重要的离散型随机变量三种重要的离散型随机变量2.2.二项分布二项分布随机试验随机试验E只有两个可能结果：只有两个可能结果：A和和 ，则称，则称E为为伯伯努利试验努利试验。设。设P( (A)=)=p( (0p -2,P1X3，P1X3.对于

21、离散型随机变量对于离散型随机变量X，若其分布律为，若其分布律为则其分布函数则其分布函数若假定若假定 ，则，则( )kkxxF xP XxP XxkkP Xxp11121223110,( ),ikiikxxpxxxppxxxF xpxxx 1231iixxxxx对离散型随机变量，若已知分布函数，其分布律为对离散型随机变量，若已知分布函数，其分布律为()(0)kkkP XxF xF x定义：对于随机变量X的分布函数 若存在 非负的函数 使对于任意实数 有： ( ),f x( )( )xF xf t dt( ),F x, x( )f x其中 称为X的概率密度函数，简称概率密度概率密度。 则称X为连续

22、型随机变量，连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度00()( )( )( )xxF xxF xP xXxxf xF xlimlimxx ( )f x概率密度的性质：1) ( )0f x +2) ( )1f x dx211221123) () ( ) 0 xxxx xxP xXxf t dtP Xa对于任意的实数 ，4) ( ) ( )( )f xx F xf x在连续点 ，( )f x即在的连续点( )yf x1x2x1面积为12 P xXx例 7. 设随机变量 X 的概率密度函数为 xf= 其其它它021312xx, 则 1 XP=a)0b)31c)32d)1例 8. 设随机变

23、量 X 的概率密度函数为61010 x(x),xf( x),其他, 求 X 的分布函数。1.1.均匀分布均匀分布定义：定义：设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度 则称则称X在区间在区间( (a, ,b) )上服从上服从均匀分布均匀分布。记为。记为注注：X落在落在( (a, ,b) )上任一子区间内的概率只依赖于子上任一子区间内的概率只依赖于子区间的长度，而与位置无关。区间的长度，而与位置无关。1 ( )0 axbf xba其他三种重要的连续型随机变量三种重要的连续型随机变量( , )XU a b 1c lcacclblP cXcldtcbaba 设 -与 无关均匀分布的分

24、布函数均匀分布的分布函数0 ( ) 1 xaxaF xaxbbaxb f x0bxa1b a F x0bxa1例 9. 设随机变量 XU（0,1） ，求方程24420 xxXX有实根的概率.定义：连续型随机变量定义：连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 称称X服从参数为服从参数为 的指数分布，记为的指数分布，记为指数分布的分布函数指数分布的分布函数1 0( ) (0)0 xexf x其它 0 0( ) (0) 1 0 xxF xex2.2.指数分布指数分布X E().例 9. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 XE(5)（单位：分钟）, 即其概率密度为51050 xXe,xf ( x),

25、其他某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟，他就离开。他一个月要到银行 5 次。以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。写出 Y 的分布律，并求PY1.定义：定义：设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 其中其中 为常数，则称为常数，则称X服从参数为服从参数为 的的正态分布正态分布（也称为（也称为GaussGauss分布分布），记为），记为,(0) 2()2212( )()xf xex , 2( ,)XN 三种重要的连续型随机变量三种重要的连续型随机变量3.3.正态分布正态分布 f( (x) )图形的性质：图形的性质：关于关于 对称对称结论：结论：当当 时，取得

26、最大值时，取得最大值 固定，改变固定，改变 ，f( (x) )的图形不变，沿的图形不变，沿x轴平移轴平移 固定，改变固定，改变 ，由最大值，由最大值 知，知， 越小，越小，图形越尖，图形越尖，X落在落在 附近的概率越大。附近的概率越大。 时，时， ，即曲线以，即曲线以x轴为渐近线。轴为渐近线。 分布函数分布函数F( (x) )x0, hPhxPxh x12( )f12( )fx ( )0f x 22()()22221122( )ttxxF xedtedt例 9. 设随机变量),(2NX，其概率密度644261)(xxexf，则=,.标准正态分布标准正态分布 时，称时，称X服从标准正态分布，服从

27、标准正态分布， 概率密度函数概率密度函数 分布函数分布函数 结论结论： (0,1)XN0,12212( )xxe2212( )tx xedt()1( )x x 正态分布转变为标准正态分布正态分布转变为标准正态分布定理定理 若若 ，则，则结论：结论： ，则它的分布函数，可写成：，则它的分布函数，可写成： 正态分布的问题都可以通过变换转化为标准正态分正态分布的问题都可以通过变换转化为标准正态分布，然后查书中标准正态分布表得解布，然后查书中标准正态分布表得解例例 ，求，求(0,1)XZN( )()XxxF xP XxP2( ,)XN 2( ,)XN 1212xxXP xXxP21()()xx(1,4

28、)XN01.5PX例 11. 某地区 18 岁的女青年的血压 （收缩压，mmHg）服从2110 12N(,)分布。在该地区任选一 18 岁的女青年， 测量她的血压 X. 求（1）PX105，P100 x0.05.随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布离散型离散型离散型随机变量的函数分布律的求法：离散型随机变量的函数分布律的求法：找出找出Y=g(=g(X) )的所有可能取值的所有可能取值找出每个值对应的找出每个值对应的X取值，将对应概率相加取值，将对应概率相加例例 设随机变量设随机变量X的的分布律分布律求求 的分布律。的分布律。X -1 0 1 2 -1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0

29、.4 0.2 0.3 0.1 0.4kp2YX问题提出问题提出：已知随机变量：已知随机变量X的概率分布，且已知的概率分布，且已知Y=g(X)， g()连续。求连续。求Y的概率分布。的概率分布。关键是找出关键是找出Y与与X的的等价事件。等价事件。连续型连续型 方法：方法：（1）先求）先求Y 的分布函数：的分布函数：( )YFyP Yy ()P g Xy（2）对分布函数求导：）对分布函数求导：( )( ).YYfyFy( ),( )0 ( )0)() XXfxxg xg xYg XY ：设，或。， 则 具有概率密度为：定定理理( ( )( ) , ( ) 0, XYfh yh yyfy其他min(

30、 (),() max( (),()( )( )ggggh yxyg x其中，若若g(x)单调可导时，也可以利用以下定理求：单调可导时，也可以利用以下定理求：例 11. 设随机变量X的概率密度00( )xe,xf x,其他,求2YX的概率密度.例 12. 设随机变量X在区间（0,1）内服从均匀分布，求Y=2lnX 的概率密度函数)(yfY.Ch4 Ch4 随机变量的数字特征随机变量的数字特征定义：定义：定义：定义：111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXE Xx pE Xx p绝对收设离散型随机变量 的分布律为：若级数则称级数的和为随机变量的，数学期记望为即 敛， , 0

31、，有2( )( ).D XP XE X切比雪夫不等式的等价形式2()()1.D XP XE X 注注： 1. 切比雪夫不等式可用来估计不是服从正态分布的随机变量落在E(X)附近的概率。 2. 切比雪夫不等式的主要作用是进行概率论的理论研究。例 11.已知()3E X ，()D X 2，由切比雪夫不等式估计概率34P| X|.011222222220111212221(,) 1,2, ,(,)niiinnnnnnCC XC XC XN CCCCCCXNinC CC 则它们的线性组若且它们相互独立是不全合：为0的常数 (1,3)(2,4),23XNYNX YZXY如:，且相互独立，则n独立的 个正

32、态变量的线性组合仍服从正态分布：222( ,) (,)XNYaXbYN ab a 一般若，( 4,48)NCh3 Ch3 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布定义定义 设设E E是试验，它的样本空间是试验，它的样本空间S S，设，设X=X(e)X=X(e)和和Y=Y(e)Y=Y(e)是定义在是定义在S S上的随机变量，由它们构成的一上的随机变量，由它们构成的一个向量个向量(X,Y)(X,Y)叫做二维随机变量叫做二维随机变量. 二维随机变量二维随机变量(X,Y)(X,Y)的性质不仅与的性质不仅与X X及及Y Y有关，而且有关，而且还依赖于它们的相互关系。还依赖于它们的相互关系。二维随机变量分

33、为离散型和连续型：二维随机变量分为离散型和连续型：离散型离散型：(X,Y)的取值是有限对或可列无限对。的取值是有限对或可列无限对。连续型连续型：(X,Y)的取值是连续在充满平面上某个区域。的取值是连续在充满平面上某个区域。定义：定义：设（设（X,Y）为二维随机变量，）为二维随机变量，x，y是任意实数，是任意实数， 二元函数二元函数 称为随机变量（称为随机变量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量）的分布函数，或称为随机变量X和和Y的联合分布函数。的联合分布函数。( , )()(),F x yPXxYyP Xx Yy二维随机变量分布函数的定义及性质二维随机变量分布函数的定义及性质y( , )F x

34、 y 的几何意义：x(x,y)2. 0F(x,y)11. x1x2, F(x1,y)F(x2,y) y1y2, F(x,y1)F(x,y2)联合联合0),(1),(0),(0),(. 3FFyFxF4. F(x+0,y)=F(x,y), F(x,y+0)=F(x,y)121222122111,)= (,)- ( ,)- (, )+ ( , )0P xXxyYyF x yF x yF x yF x y5. (x2,y1)xy(x2,y2)(x1,y2)(x1,y1)二维离散型随机变量及其分布律二维离散型随机变量及其分布律 定义定义 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取所有

35、可能取 值为值为 ，记，记1 2ijijP Xx ,Yyp ,i, j, ,.1 2()ijx ,y ,i, j, ,. 称为称为(X,Y)的分布律，或称的分布律，或称X和和Y的联合分布律的联合分布律.联合分布律的性质联合分布律的性质, 2 , 1, 0) 1 (jipijijijp1)2(也可以用表格来表示也可以用表格来表示X和和Y的联合分布律的联合分布律XYixxx2112111ipppijjjppp2122212ippp12jyyy例 1.在一箱中装有 12 只开关，其中 2 只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验： （1）放回抽样； （2）不放回抽样。定义随机变量 X，Y

36、如下：01,X,若第一次取出的是正品若第一次取出的是次品，01,Y,若第二次取出的是正品若第二次取出的是次品试分别就（1） （2）两种情形，写出 X 和 Y 的联合分布律.( , )( , ),yxF x yf u v dudv 设设 为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)分布函数分布函数, ,如果存在非负函数如果存在非负函数 使对任意实数使对任意实数 有有 ),(yxF),(yxfyx,则称则称(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量, ,其中其中 称为称为随机变量随机变量(X,Y), ,或称为随机变量或称为随机变量. .),(yxf二维连续型随机变量的概率密度二维连续型随机变量的

37、概率密度按定义，概率密度具有下列按定义，概率密度具有下列性质性质: 设设G为平面为平面xoy上的一个区域上的一个区域, 则随机点则随机点(X,Y)落在落在G内的概率为内的概率为: .),(),(GdxdyyxfGYXP);),(0),(2Ryxyxf ; 1),(dxdyyxf曲顶柱体曲顶柱体的体积的体积确定概率密度中确定概率密度中的待定参数的待定参数.),(),(2yxyxFyxf 若若 在点在点 处连续处连续,则有则有),(yxf),(yx由分布函数由分布函数求概率密度求概率密度边缘分布边缘分布, 2 , 1, jipyYxXPijji),.(.YXvrdjyYP iijpjp ), 2

38、, 1( jixXP jijp ip ), 2 , 1( i(X,Y)(X,Y)关于关于X X，Y Y的边缘分布律为：的边缘分布律为： ),(AYXP ijijpAyxji ),(XYixxx211y2yjy11p12pjp121p22pjp2.1 ip2ipijp. 1p 2p ip1 p2 pjp ipjp ),.(.YXvrc),(yxf(X,Y)(X,Y)关于关于X X，Y Y的边缘概率密度为：的边缘概率密度为： dyyxfxfX),()( dxyxfyfY),()(设随机变量设随机变量 X与与Y的联合分布律为的联合分布律为求求X,Y的边缘分布律的边缘分布律. 例例2.2. 例例3.3

39、., 0, 6),(2其它xyxyxfCh5 Ch5 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理中心极限定理中心极限定理(1) 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理,1nXX独立同分布，独立同分布，,)( kXE), 2 , 1(0)(2 kXDk 有有,Rx )(2122xdtetx xnnXPnkkn 1lim bXaPnkk1 nnb nna xpnpnpPnn)1(lim (2) 棣莫佛棣莫佛拉普拉斯定理拉普拉斯定理),(pnbn ),10( p有有,Rx )(2122xdtetx bXaP npa)1 (pnp npb)1 (pnp 例 1.一加法器同时收到 20 个噪

40、声电压kV)20, 2 , 1(k，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间)10, 0(内服从均 匀 分 布 ， 记201kkVV， 求105VP的 近 似 值 。 （652. 0)387. 0(）例 2. 某人寿保险公司有 3000 个同龄人参加人寿保险，在 1 年内每人的死亡概率为 0.1%（设每个参保人在 1 年内是否死亡是相互独立).参加保险的人在 1 年的第一天交付保险费 10 元， 死亡时家属可以从保险公司领取 2000元，试用中心极限定理求保险公司亏本的概率Ch6 Ch6 样本及抽样分布样本及抽样分布样本样本总体：总体：试验中全部可能的观察值（试验中全部可能的观察值（研究对象的全

41、体，研究对象的全体，如一批灯泡的寿命），如一批灯泡的寿命），一个总体对应于一个随机变量一个总体对应于一个随机变量X。个体：个体：每个可能观察值称为个体（每个可能观察值称为个体（组成总体的每个元组成总体的每个元素，如某个灯泡的寿命）素，如某个灯泡的寿命）抽样：抽样：从总体从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。取值过程。随机样本：随机样本：随机抽取的随机抽取的n个个体的集合个个体的集合(X1,X2,Xn), n为样本容量。为样本容量。简单随机样本（简称样本）：简单随机样本（简称样本）：满足以下两个条件的随满足以下两个条件的随机样本机样本(X1,X2,Xn

42、)1. 每个每个Xi与与X同分布同分布2. X1,X2,Xn是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量说明说明：后面提到的样本均指简单随机样本。后面提到的样本均指简单随机样本。统计量：统计量：设设 是总体是总体X的样本，则函数的样本，则函数 如果不包含任何未知参数则称为样本如果不包含任何未知参数则称为样本 的一个统计量。的一个统计量。 221231232123323121, 1 2 2 3 max, 1 4 5 iiNXXXXXXXXXXXXX 思考题：设在总体中抽取样本其中 已知，未知指出在哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？答：只有(4)不是统计量。统计量统计量12,nXXX12,ng X

43、XX12,nXXX简言之，样本的不含任何未知参数的函数。简言之，样本的不含任何未知参数的函数。常用的统计量常用的统计量样本平均值：样本平均值：样本方差：样本方差：样本均方差：样本均方差：样本样本k阶阶( (原点原点) )矩：矩：样本样本k阶中心矩：阶中心矩：11niiXXn22111niiSXXn22111niiXnXn22111niiSSXXn11,1,2,nkkkiiAXXkn11,2,3,nkkiiBXXkn统计学三大分布统计学三大分布 22122221,0,1 1,2, 11ininiXXXXXNinnn 设设随随机机变变量量相相互互独独立立， 则 则称称 服 服从从自自由由度度为为

44、的的， 指 指式式右右端端包包分分布布记记为为含含的的独独立立自自由由变变义义度度定定：量量的的个个数数 1222221,0 .2 0,ynnnyeynfy分布的概率密度为：其他 2 分分布布的的一一些些重重要要性性质质： 22221. ,2nEn Dn设则有 22211221212122. ,YnYnY YYYnn设且相互独立，则有22分布的可加性性质 称为，可推广到有限个的情形： 221211,mmiimiiiiYnY YYYn设且相互独立，则)0()(10 xdttexxt 2222222,01,nPnfy dynnn为分布的上 分对给定的正数称满足条件的点上 分位点的值可查位点分布表.

45、 2n02分布的分位点x( )f x0.1,25n例：20.12534.381 20,1 ,XNYnX YXtnttt nY n 设设并并且且相相互互独独立立， 服服从从自自由由度度为为 的的 分分布布，记记 则则称称随随变变量量为为机机定定义义： , 01,tnttnh t dtt ntt对给定的正数称满足条件P的点为分布的。 分布的上 分位点可分位点查上分布表t分布 121222 1, nnntt nh ttnn 分布的概率密度为： tn f xx0t分布的分位点10n 313x( )f x1n 4n 2021t分布的密度函数1( )( )tntn 221211212212, ,/,/ U

46、nVnX YU nFn nFFF n nV nnn设设且且独独立立， 则 则称称随随机机变变量量服服定定义义：从从自自由由度度的的 分分布布，记记为为 其 其中中称称为为第第一一自自由由度度，称称为为第第二二自自由由度度F分布 111212221121221212 ,2,0 2210,nnnnF n nnnn nyyynnn y n分布的概率密度为：其它12211( ,),(,)FF n nF n nF性质：则 121212,1212, 01,;,Fn nf x n ndxFn nF n nFn nF 对于给定的称满足条件的点为分布的。的值可分位点查上分布表0 x12 f x21,20nn22

47、5n 210n F分布的密度函数0 x12,Fn n( )f xF分布的分位点111221( ,)(,)Fn nF n n0.955,10F例如：例如：0.05110.211.10,54.74Fz,0,1 ,01XNzP Xzz此外 设标若满足准正态条件 分布的上则称点 为分位点。1ZZ ,)(,)(2XDXEnXXX,21222(),();().E XD XE SnnXXX,21);1() 1(222nSn).,(2nNX2,SX);1(/ntnSX(0,1)XNn或例 1.设总体 XN(1，9)，nXXX , , ,21是来自总体 X 的样本，2 , SX分别为样本均值与 样 本 方 差

48、， 则niiXX12)(91；niiX12) 1(91；2,SX2E(X ),D(X ),E(S ).第七章第七章 参数估计参数估计 121212121;, 1,2, ,1, 1,2,1121,2122 , kkkllknnlliiAkAkXF xXkE XE XlkXXXlAXlkn 设总体 的分布函数为是待估计的未知参数，假定总体 的 阶原点矩存在，则有：对于样用样本矩作为总体矩的估计，即本其 阶样本：矩是：令 1212 ,12,kkAkkk 解此方程即得的一个矩估计量矩估计法矩估计法最大似然估计的求法最大似然估计的求法写出似然函数写出似然函数求求 ，使得，使得 为为 的最大值，求法如下：

49、的最大值，求法如下： 求使得方程求使得方程 又又 在同一在同一 处取得极值，因此，处取得极值，因此， 的最的最大似然估计值可从方程大似然估计值可从方程 中求得中求得 称称 为似然方程为似然方程( )0L 的( )L( )L( )L( )( )LL与l nln ( )0Lln ( )0L单参数情形单参数情形),;(.)1(21mxfXvrc 的密度函数的密度函数L nimixf121),;( ),;(.)2(21mxPxXPXvrd 概率分布概率分布L nimixP121),;( 似然函数似然函数例 1.已知总体X服从), 1 (pb(二点分布)，nXXX,21为总体X的样本，试求未知参数p的矩估计量与最大似然估计量例 2.设总体X的分布律为：X0123Pp22p(1-p)p21-2p其中p(2/10 p) 是未知参数. 利用总体X的如下样本值：1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3. 求 (1)p的