第4章静电场中的导体

1、12005年春季学期年春季学期 陈信义编陈信义编 电磁学（第三册）电磁学（第三册）第第4章章 静电场中的导体静电场中的导体2目目 录录【演示实验演示实验】鸟笼演示静电屏蔽、空心球壳演鸟笼演示静电屏蔽、空心球壳演示静电屏蔽、电风轮演示尖端放电、电风吹火示静电屏蔽、电风轮演示尖端放电、电风吹火演示尖端放电、正负电荷间的尖端放电演示尖端放电、正负电荷间的尖端放电4.1 导体的静电平衡条件导体的静电平衡条件4.3 有导体存在时静电场的分析与计算有导体存在时静电场的分析与计算4.2 静电平衡的导体上的电荷分布静电平衡的导体上的电荷分布4.44.5 静电场的唯一性定理静电场的唯一性定理 静电屏蔽静电屏蔽补

2、充：补充：静电场唯一性定理的证明静电场唯一性定理的证明34.1 导体的静电平衡条件导体的静电平衡条件 静电平衡：静电平衡：导体导体放入电场放入电场 自由电子定向运自由电子定向运动动 改 变 导 体 电 荷 分 布改 变 导 体 电 荷 分 布 改 变 电 场改 变 电 场 金属导体：金属导体：存在大量可自由移动的存在大量可自由移动的自由电子，自由电子，自由电子对电场变化响应很快自由电子对电场变化响应很快（1019s）。有导体存在时电场的性质？有导体存在时电场的性质？电场一般利用带电导体形成。电场一般利用带电导体形成。只讨论各向同性、均匀的金属导体。只讨论各向同性、均匀的金属导体。称称电场和导体

3、之间达到电场和导体之间达到静电平衡静电平衡导体内部和表面无自由电荷的定向移动导体内部和表面无自由电荷的定向移动4 E内内=0， E表面表面 表面表面E0静电平衡的形成：静电平衡的形成：+EE0静电平衡的条件静电平衡的条件：导体内部导体内部 E内内=0， E表面表面 表面。表面。导体成为等势体，表面成为等势面。导体成为等势体，表面成为等势面。5一、一、导体内部净电荷处处为零，电荷只能分布导体内部净电荷处处为零，电荷只能分布在表面上。在表面上。4.2 静电平衡的导体上的电荷分布静电平衡的导体上的电荷分布0, 0 vSEEVinSinind dd d 实心导体，电荷只分布在表面上。实心导体，电荷只分

4、布在表面上。有空腔的导体有空腔的导体如果腔内无带电体，则电荷只分布在导体外如果腔内无带电体，则电荷只分布在导体外表面上，内表面无电荷。表面上，内表面无电荷。0, 00 inininE ( )0 in V可任取，则可任取，则6+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +- -E腔内无带电体腔内无带电体内表面无电荷，电荷只分布在外表面上。内表面无电荷，电荷只分布在外表面上。等势体等势体【演示实验演示实验】空心导体空心导体7+ + + + + + + + + + + + +腔内有带电体腔内有带电体【思考思考】移动腔内带电体或改变腔内带电体电移

5、动腔内带电体或改变腔内带电体电量，是否影响内、外表面电荷分布？量，是否影响内、外表面电荷分布？ 由导体内场强为零和高斯定理：由导体内场强为零和高斯定理：内表面带与内表面带与腔内带电体等量反号电荷。腔内带电体等量反号电荷。+ + + + +8二、二、静电平衡导体的表面电荷密度，与当地表静电平衡导体的表面电荷密度，与当地表面紧邻处的电场强度的大小成正比。面紧邻处的电场强度的大小成正比。nE0 00 SSES 【思考思考】场强场强E只由电荷只由电荷 S 产生产生吗？吗？0 E EnS S 0 inE9三、三、孤立导体处于静电平衡时，表面曲率大孤立导体处于静电平衡时，表面曲率大 处，面电荷密度大处，面

6、电荷密度大电场强度大。电场强度大。【演示实验演示实验】尖端放电尖端放电 静电平衡导体静电平衡导体尖端放电尖端放电10雷击尖端雷击尖端114.3 有导体存在时静电场的分析与计算有导体存在时静电场的分析与计算电荷守恒、静电平衡条件、高斯定理电荷守恒、静电平衡条件、高斯定理【例】【例】面电荷密度为面电荷密度为 0 的无限大绝缘板旁，有一的无限大绝缘板旁，有一无限大的原不带电的导体无限大的原不带电的导体平板。求静电平衡后导体平板。求静电平衡后导体板两表面的面电荷密度。板两表面的面电荷密度。 12解解. .设导体板两表面电荷密度为设导体板两表面电荷密度为 1 和和 2电荷守恒：电荷守恒： 1 + 2 =

7、 0静电平衡条件：静电平衡条件：E0+ +E1- -E2 = = 0 0/(2 0) + 1/(2 0) 2/(2 0) = 0 1 2= 0结果结果： 1 = 0 /2 2 = 0 /2 1 1 2 2 E0E2E113【例】【例】带电导体球带电导体球A与带电导体球壳与带电导体球壳B同心，求同心，求（1）各表面电荷分布）各表面电荷分布（2）导体球）导体球A的电势的电势UA（3）将）将B接地，各表面电荷分布。接地，各表面电荷分布。（4）将）将B的地线拆掉后，再将的地线拆掉后，再将A接地时各表接地时各表面电荷分布。面电荷分布。R3R2R1BAqQ14A 表面表面: :q解解. .（1）求）求表面

8、电荷表面电荷（2）求）求A的电势的电势UA三层均匀带电球面三层均匀带电球面, , 电势叠加电势叠加302010444RqQRqRqUA R3R2R1BAqQB 内表面内表面: :B 外表面外表面: :Q + +q-q-qQ +q15B 内表面内表面：- -qA 表面表面： q （3）B 接地接地, , 求求表面电荷。表面电荷。B 外表面外表面：无电荷无电荷0430 RqUBB 外外BqA-qBR30 BU接地结果：接地结果：16（4）B的接地线拆掉的接地线拆掉, ,再将再将A接地接地, , 求求表面电荷。表面电荷。设设A表面表面电荷为电荷为q 则则B 内表面：内表面：- -q B 外表面：外表

9、面：- -q + +q 0444302010 RqqRqRqUA 可解出可解出 q ( q) 。BAq-q-q+qUA=0UA= 017 针对特定体系：针对特定体系：边界边界S内只包围若干个静止导内只包围若干个静止导体，给定导体的几何形状、相互位置。体，给定导体的几何形状、相互位置。4.44.5 静电场的唯一性定理静电场的唯一性定理 静电屏蔽静电屏蔽边界边界S导体导体导体导体自由空间：自由空间：E=? 此外，再给定哪些条件，边界此外，再给定哪些条件，边界S内自由空间内自由空间的电场才能唯一确定？的电场才能唯一确定？180)(2 UUE 给定哪些边值条件，边界给定哪些边值条件，边界S内自由空间的

10、电内自由空间的电场才能唯一确定？场才能唯一确定？一、静电边值问题一、静电边值问题0,0 E自由空间：自由空间：0 解出解出 ，由，由 求电场分布。求电场分布。),(zyxUUE 静电边值问题：静电边值问题：02 U边值条件边值条件19（3）给定一些导体的）给定一些导体的电势电势和其余导体的和其余导体的电量。电量。（1）给定每一个导体的）给定每一个导体的电势。电势。（2）给定每一个导体的）给定每一个导体的电量。电量。 给定边界给定边界S上的电势分布上的电势分布 ，或，或 ，再，再给定下列条件之一，给定下列条件之一，S内内静电场分布唯一确定静电场分布唯一确定SUnU S导体导体导体导体自由空间：自

11、由空间：E=?n S二、二、静电场的唯一性定理静电场的唯一性定理20 不论导体壳是否接地，壳内电场都不受壳外不论导体壳是否接地，壳内电场都不受壳外电荷位置和数量变化的影响，壳外电场也不受电荷位置和数量变化的影响，壳外电场也不受壳内电荷位置变化的影响。壳内电荷位置变化的影响。唯一性定理的证明见本章补充。唯一性定理的证明见本章补充。三、三、 静电屏蔽静电屏蔽金属金属导体壳导体壳QinQout 但为了使壳外电场不受壳内电荷数量变化的但为了使壳外电场不受壳内电荷数量变化的影响，导体壳必须接地。影响，导体壳必须接地。21QinQout -QinQin1、导体壳不接地、导体壳不接地壳内空间的边值条件：壳内

12、空间的边值条件：Qin 、 Qin 壳外空间的边值条件：壳外空间的边值条件：Qin 、QoutS0 nUS等势体等势体22壳外壳外Qout位置和数量变化，不改变壳内空间的位置和数量变化，不改变壳内空间的边值条件，因此，边值条件，因此，不改变壳内空间电场分布。不改变壳内空间电场分布。壳内壳内Qin位置变化，位置变化，不改变壳外空间电场分布。不改变壳外空间电场分布。QinQout -QinQinS0 nUS等势体等势体但壳内但壳内Qin数值变化，改变壳外表面电荷数值变化，改变壳外表面电荷Qin， 因此，因此，将改变壳外空间的电场分布！将改变壳外空间的电场分布！232、导体壳接地、导体壳接地壳内边值

13、条件：壳内边值条件：Qin 、U=0壳外边值条件：壳外边值条件：Qout 、U=0 一个接地的封闭金属壳，可以起到壳内外互一个接地的封闭金属壳，可以起到壳内外互不影响的屏蔽作用。不影响的屏蔽作用。QinQout US=0SU=024静电屏蔽的应用静电屏蔽的应用 金属表面对电磁波有很强的反射作用，反射金属表面对电磁波有很强的反射作用，反射系数几乎是系数几乎是1。所以。所以封闭的金属导体壳可以完封闭的金属导体壳可以完全屏蔽电磁波。全屏蔽电磁波。 电磁波进入导体的深度称为电磁波进入导体的深度称为“穿透深度穿透深度”，它正比于它正比于 ，高频电磁波的穿透深度很小，高频电磁波的穿透深度很小，很快衰竭。很

14、快衰竭。 13、电磁波的屏蔽、电磁波的屏蔽 原因：导体中自由电子在入射场驱动下原因：导体中自由电子在入射场驱动下形成传导电流，其焦耳热消耗了电磁场的能形成传导电流，其焦耳热消耗了电磁场的能量。量。25【思考题解答】【思考题解答】+ + + + + + + + + + + + + + + + +带电体带电体 移动金属腔内带电体，或改变腔内带电体的移动金属腔内带电体，或改变腔内带电体的电量，不影响外表面电荷分布，只影响内表面电量，不影响外表面电荷分布，只影响内表面电荷分布。电荷分布。S0 nUS26四、电像法介绍四、电像法介绍【例】【例】点电荷点电荷q放在放在无限大接地导体平板上方无限大接地导体平

15、板上方h处。求板面上的电荷分布。处。求板面上的电荷分布。hqo27边界面内导体电量给定为边界面内导体电量给定为q。板上方空间的电场分布是唯一的。板上方空间的电场分布是唯一的。U=0U =0hqo边界面电势给定边界面电势给定U=U =0，按静电唯一性定理：按静电唯一性定理：解：解：? E28 上方空间和所求空间的上方空间和所求空间的边值条件（边值条件（U=U =0，q）相同。相同。由唯一性定理：由唯一性定理：上方空间电场，即为所求。上方空间电场，即为所求。U=0U =0hqh-q（q 的电象）的电象） 用用q的电象的电象q，代替接地板对上方代替接地板对上方空间电场的作用。空间电场的作用。29 2

16、322042haqhEp 232202haqhEpp U=0U =0hqh-qpapE 电象法本质：电象法本质：用域外的象电荷来等效边界上用域外的象电荷来等效边界上的未知电荷对域内的影响，以简化计算。的未知电荷对域内的影响，以简化计算。30 就一般情况就一般情况“给定一些导体的电势和其余导给定一些导体的电势和其余导体的电量体的电量”证明。证明。假设存在两个解：假设存在两个解：UU ,即电场的分布唯一确定。即电场的分布唯一确定。 如果能证明如果能证明UU 则则EE 常数，常数， nUUQUUSSIII2,0或给定给定 或或 SUnU S给定给定导体导体U导体导体给定给定Q自由空间：自由空间：E=

17、?n S补充：补充：静电场唯一性定理的证明静电场唯一性定理的证明静电边值问题：静电边值问题：31把导体把导体的电荷条件变换成电势条件的电荷条件变换成电势条件 SQsEd0 S其中其中 代表代表导体导体的外表面。的外表面。 SQsnUd0 得电势条件：得电势条件：32 nUUQsnUUUSSS0I2,d,0或 静电边值问题改写成：静电边值问题改写成：给定给定 或或 SUnU S给定给定导体导体U导体导体给定给定QSn n SQsnUd0 33 nUnUUUQsnUUUUSSSSS02,d,0II或 nUnUUUQsnUUUUSSSSS02,d,0II或 设存在两个解：设存在两个解： 和和 U U ，令，令UUU * 00,0d, 00S*S*2nUUsnUUUS或34常常数数 UUU*如果如果 ，则电场分布唯一。，则电场分布唯一。 1、先证明下式成立先证明下式成立 sUUVUVdd*2* V 其中其中 代表任意封闭面代表任意封闭面 包围的自由空间体积。包围的自由空间体积。 00,0d, 00S*S*2nUUsnUUUS或关于关于 的边值问题的边值问题:*U （ 向外为正）向外为正）35 2*2*UUUUUUUA sAVAVdd 高斯定理（数学）：高斯定理（数学）： *U