实变函数练习及答案

1、实变函数练习及答案、选择题1、以下集合，()是不可数集合。A所有系数为有理数的多项式集合；B.0,1中的无理数集合；C.单调函数的不连续点所成集合；D.以直线上互不相交的开区间为元素的集。2、设E是可测集，A是不可测集，mE0,则EUA是()A可测集且测度为零；B.可测集但测度未必为零；C.不可测集；D.以上都不对。3、下列说法正确的是()A. f(x)在a,bL一可积f(x)在a,bL一可积；B. f(x)在a,bR一可积f(x)在a,bR一可积；C. f(x)在a,bL可积|f(x)在a,bR一可积;D. f(x)在a,R广义可积f(x)在a,bL一可积4、设En是一列可测集，EiE2.E

2、n.,则有()A.m(UEn)limmEn;B.m(UEn)limmEn;n1n1C.m(IEn)JmmEn；D.以上都不对。n15、ABUCABC成立的充分必要条件是()AAB；B.BA；C.AC；D.CAo6、设E是闭区间0,1中的无理点集，则()AmE1；B.mE0；C.E是不可测集；D.E是闭集。7、设mE,fnx是E上几乎处处有限的可测函数列，fx是E上几乎处处有限的可测函数,则fnx几乎处处收敛于fx是fnx依测度收敛于fx的()A.必要条件;B.充分条件;C.充分必要条件；D.无关条件。8、设fx是E上的可测函数，则（）Afx是E上的连续函数；B.fx是E上的勒贝格可积函数；C.

3、fx是E上的简单函数；D.fx可表示为一列简单函数的极限。c二、填空题：1、设ERn,x0Rn,如果x0的任何邻域中都含有E的点，则称x0是E的聚点。2、设ERn,若E是有界点集，则E至少有一个聚点。3、设fx是E上的可测函数，mA0,则fx是EUA上的函数。4、设在E上，fnx依测度收敛于fx,则存在fnx的子列.x,使得在E上,fnx敛于fx。nk1,5、设设An1,2-,（n1,2,.），则血A。nn6设P是Cantor集,G0,1P,则mG。7、写出一个（0,1）与（，）之间一一对应关系式8.设fxex,x是有理数x2,娓无理数fxdx0,19、设E是0,10,1中有理数全体，则E的闭

4、包E为10、直线上的任意非空开集可以表示成的并集。三、判断题。231、R2与R3的势是不等的。2、设mE,fn（x）为E上一列a.e有限的可测函数，若在E±fn（x）a.e收敛于a.e有限的可测函数f(x),则fn(x)在E上依测度收敛于f(x)。()3、若fn(x)LP,p1,limfn(x)f(x)Lp,则limffII0。()nnnp4、设f(x)在(0,)上R可积，则f(x)在(0,)上必L可积。5、若P不是E的聚点，则P是E的孤立点。()6、设mE0,则对E上的任何实值函数f(x)都有ef(x)dx0。()7、设f在ERq上可测，则由f在E上可积可以推出f在E上可积，但反之

5、不对。()8、若fn为E上非负单调可测函数列，且limfn(x)f(x),则nlimfn(x)dxf(x)dx。()nEE四、计算题与证明题1、证明：若AB,B:BUC,则A:AUC。一_1._.2、设fx是R上的实值连续函数，a是任意给定的实数，证明Gxfxa是开集3、设E1,E2都是可测集，试证：mE1mE2mE1UE2mE1IE2。4、设在可测集E上，fnxfx,且fnxfn1xae于En1,2,LL,试证明:limfnxfxae于E.n5、设fnxfx,fnxgx,则f(x)g(x)在E上几乎处处成立.36、叙述并且证明鲁津定理的逆定理7、计算nrn21nx0(12、nx)dx。18、

6、右r,p,q0,-r11-,且有关函数的积分存在，证明:pqllfgllr|f|lp|g|lq°答案.选择题1.B2,C3.A4.B5.D6.A7.B8.D二.填空题1.无穷多个2.无穷3.8.19.0,10,1三、判断题1 .X2.,3.6. V7、X8.四、证明与计算1 .证明：根据集合的性质有：AABUCUAI并且集合ABUC与AI由于BA,因此BAI可测4.几乎处处收敛10.有限个或可列个构成区间X4.X5.XX5.1,26.17.yctgBUCAUCABUCUBUCBUC,ABUC与BUC是不相交的。BUCBUC,由题设B:BUC可知AIBUC于是A:AUC2、设X0A7,

7、则存在A中的互异点列Xn,使彳tXn而f%a,n1,2,LL,由极限的保号性，由于GA,故G是开集。3、证明：由于E1,E2都是可测集，根据可测集的性质,如果mE1和mE2中至少有一个为Xo,因fx连续，所以fXolimfXnnfXoa,因此x0A,故A是闭集。E1UE2和E11E2都是可测集,则结论显然成立。设mE1,mE2。根据集合的性质可知E1UE2E1E1IE2UE2E1IE2UE1IE2而且上式右端三个集合是两两不相交的可测集，因此根据测度的有限可加性有mE1UE2mEiEiIE2mE2EiIE2mEiIE2mE1mE1IE2mE2mE11E2mE11E2mE1mE2mE11E2所以

8、mE1mE2mE1UE2mE11E2成立。4、证明：因fnxfX,则由黎斯定理，存在子列fnx，使得limfnxfx.a.e.于E。1kknk令EoUEfnXn1fn1xUEfnkxfx，则mEo0o对任意xoEEo,有fnXofn1Xo，且limfnXokfXoofXo,因此在EEo上恒有fxa.e.于E.g(x),由于fnxo是增加数列，故limfnxolimfnxonkklimfnxfx成立，故limfnxnn5、.证明：由于f(x)g(x)f(x)fk(x)fk(x)故对任何自然数n,1,1、，1、xE:1fgi7xE：1ffk1弥xE：|fkg|痴从而m(xE:|fg|)m(xE:|

9、fn,1、,1、fk|点)m(XE:|fkg|常令k，即得m(xE:|fg|)0.n1、但是xE:fgxE:|fg|n1n故m(xE:fg)0,即f(x)g(x)a.e.于e.6.叙述：设f(x)是E上a.e.有限的函数，若对任意0,存在闭子集FE,使f(x)在F上连续，且m(EF),证明：f(x)是E上的可测函数。1._证明：nN,闭集匕E,m(EFn),f(x)在匕连续。令F2UIFn,则k1nkxFk,xIFnf(x)在x连续nkf(x)在F连续，又对k,m(EF)m(E(IFn)m(U(Enknk1Fn)m(EFn)获，nk2故m(EF)0,f(x)在FE连续，又m(EF)0,所以f(x)是EF上的可测函数，从而是E上的可测函数。7.解：令fn(x)21nx2n(1x)易见fn(x)21nxZ21nxfn(x)2nnx2n(1x)nF2n1(1x)n422(n1)xx令g(x)4x2则在0,1上fn(x)g(x),由0g(x)dx与1g(x)dxg(x)在R是可积函数,于是由控制收敛定理得:rr，于是由HO&