小学奥数讲义4年级-1格点面积-难版

1、第16讲格点面积%*知识梳理生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。先来介绍什么是“格点”。见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。图中带阴影的小方格就是一个面积单位。借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图

2、形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。正方形格点阵中多边形面积=图形一周的格点数+2+（中间格点数一1）三角形格点阵中多边形的面积=多边形内包含的格点数X2+多边形周界上的格点数一2。看典型例题【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有是格点多边形.【例2】计算下图中各图形的面积：【解析】先仔细观察图中的每个图形，选择方法。显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。(1)图

3、中长方形包括3X2=6(个)面积单位，所以它的面积为6。(2)将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3X2=6,而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3X2=6。(3)将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。(4)图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3X2=6,而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。(5)将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。长方形的面积为(2+4)X3=18,而梯形的面积为长方形的面积的一半。所以

4、梯形的面积为：(2+4)X3+2=9。(6)将图中梯形用虚线分成3块，它包含有5个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有6个面积单位，所以它的面积为6。【例3】相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米。分别连接各点，组成下面12个图形，你发现有什么排列的规律？算出各图形的面积。点子数与面积三者之间的关系。【解析】仔细观察图形：横看，从左往右图形一周的格点数逐渐增多，中间的格点数不变；竖看，从上往下图形一周的格点数不变，中间的格点数逐渐增多。图形一周的格点数、中间的格点数与面积究竟有什么关系呢？我们可以将图形按中间没有个点、中间有一个格点和中间有两个格点进行分组列表分析。找出图形外面一周的点子数、

5、中间的米）中间有一个格点时，面积=一周格点数+2+（11）第（3）组图形编号()：1一周格点数46184中间格点数:222面积（平方厘米）3i458中间有两个格点时，面积=一周格点数+2+（21）解答过程：（1）中间格点数相同时，图形的面积随着一周的格点数增加而增加；当一周的格点数相同时，图形的面积同样随着中间的格点数增加而增加。（2）各图形的面积见表格。各图形面积的大小与一周的格点数、中间的格点数都有关系，格点图形的面积计算公式是：图形面积=图形一周的格点数+2+（中间格点数一1）【例4】计算下面这个格点多边形的面积。【解析】这是一个不规则的多边形，不能直接求出它的面积。可用长方形的面积减去

6、4个直角三角形的面积，如图1所示；另外还可将该四边形分割成几块，如图2。3X4(2X1+2+2X1+2+2X2+2+3X1+2):方法二：1X2+2+1X3+2+1X1+2+3X1+2+1X2=6.5图1图2=6.5（面积单位）（面积单位）方法一：【小试牛刀】如图（a）,计算这个格点多边形的面积.【解析】方法一（扩展法）.这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图（b）,这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积.矩形面积

7、是6M4=24；直角三角形I的面积是：6M2+2=6；直角三角形口的面积是：4M2-2=4；直角三角形出面积是4M2;2=4；所求三角形的面积是24_（6+4+4）=10（面积单位）方法二（割补法）.将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如（c）图.此二角形的面积是：5M2+2+5父2+2=10（面积单位）,【例5】下图是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积：【解析】这是一个组合图形，面积可分成几个部分来求。本图可分为两个三角形和一个长方形三部分。每一部分面积的求法，因图而异。如两个三角形需要扩展成长方形再求面积，而长方形只要直接数单位面积即可。左边三角形面积=4X41X2+24X3

8、+24X2+2=5;右边三角形面积=4X41X3+2X24X4+21X1=4;长方形的面积为6X2=12;所以礼盒面积为：5+4+12=21此题还可以直接用公式，请你自己试一试。【小试牛刀】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【解析】16-9.5=6.5平方厘米.【例6】在下图中有21个点，每相邻三点构成一个单位面积的等边三角形，计算三角形ABC的面积。BBBB图1 1图2 2图3 3【解析】此题是一个三角形格点图。每三个相邻的格点构成一个正三角形，为一个面积单位。三角形格点图形面积的计算类似于正方形格点图形面积的计算，可以直接数图形所包含的面积单

9、位，也可将之转化为几个易求的三角形，在通过加减运算得到。此题中三角形ABC的面积不能通过直接数格点面积来求，可以把它扩展成三一个大三角形，再减；也可以把它分成几个小的三角形，然后再加。方法一：给三角形ABC添力口I、n及出部分小的三角形，则得到由25个单位三角形构成的大三角形，现在只要分别求出I、n及出三个小三角形的面积即可。三角形I是一个平行四边形的面积的一半，如图4中的虚线平行四边形。这个平行四边形包含6个面积单位，所以他的面积为6,三角形I的面积为：6+2=3B B图4同理，三角形n及出的面积分别为4和8,所以三角形ABC的面积为：25-3-4-8=10（面积单位）说明：关于三角形格点多

10、边形的面积也有类似于正方形格点多边形的面积计算公式。可以按照例3的方法归纳总结，就可以得到三角形格点多边形面积的计算公式：三角形格点多边形的面积=多边形内包含的格点数X2+多边形周界上的格点数一2。【小试牛刀】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算口ABC的面积.【解析】因为N=5；L=3：所以S=2MN十L-2=2父5+32=11（面积单位）【例7】在下图中有45个正方形格点，过图中三点连一个三角形，并且至少有一条边水平或垂直。问共有多少个这样的格点三角形？【解析】如果要在图中找一个面积为8的格点三角形很容易，但是要求出有多少个这样的格点三角形就有些困难，不过功夫不负

11、有心人，一定能找到方法。注意到待计数的格点三角形的底与高的乘积为16,所以可以分类计数。因为16=4X4=2X8=8X2,所以可以分为以下几类来计数：（1）每个4X4的正方形中有4个直角三角形符合要求，总数为4X5=20（个）；（2）每个2X8的长方形中也有4个直角三角形符合要求，总数为4X3=12（个）；（3）符合要求的不是直角三角形的三角形有：4X4,状的有：5X7=35（个）；状的有：35个；口状的有：5X3=15（个）；V 状的有：15个；8X2,状的有：3X7=21（个）；守状的有：21个；2X8,0状的有：3X3=9（个）；状的有：9个；共有：（35+15+21+9）X2=160（

12、个）所以符合要求的三角形一共有：20+12+160=192（个）【例8】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分（如图1,图2）,然后适当连接A这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形.已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是平方分米.【解析】图1中阴影部分占整个三角形面积的12，图2中阴影部分占整个三角形面积的2516，故图2中阴影部分的面积为294+1216=200（平方分米）.x492549【小试牛刀】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【解析】如图，涂阴影部分的小正六角星形可分成12个与三角形PM睚等（能完全

13、重叠地放在一起）的小三角形.而图中的大正六角星形除去小正六角星形后.有6X4=24个与三角形PM歪等的小三角形，所以大正六角星形的面是小正六角星形的3倍，即48平方厘米.【例9】在下图中含有多少个格点正方形？【解析】这个问题可分类讨论：面积为1个单位面积的格点正方形面积为2个单位面积的格点正方形面积为4个单位面积的格点正方形共有3X3=9个;共有2X2=4个;共有2X2=4个;面积为5个单位面积的格点正方形共有2个;面积为9个单位面积的格点正方形只有1个。所以图中共有格点正方形9+4+4+2+1=20（个）。【解析】（1）直接计数，图1中包含5个面积单位，所以它的面积为5;（2）直接计数，图2

14、中包含6个面积单位，所以它的面积为6;（3）将图3分为上下两部分，上面的长方形包含有6个面积单位，下面的平行四边形可以转化为一个1X2的长方形，所以面积为2。图3的面积为6+2=8（面积单位）；（4）图中包含2个面积单位和4个单位面积的一半，所以图4的面积为4;（5）将图5按下图分割为上下两部分，上面的包含3.5个面积单位，下面的面积为X1+2=1.5（面积单位），所以图5的面积为5;（6）直接计数，图6中包含7个面积单位，所以它的面积为7。2 .下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？【解析】（1）喇叭图中包含2个面积单位和2个面积单位的一半，所以它的面积为3;课后作业1.计算下图中各多边形的

15、面积（点与点之间的距离都是1厘米）10,尾巴部分匚（2）将小猫图分为左右两部分，头与身子部分的面积为（可直接计数）是一个平行四边形，它的面积与一个单位面积相同，所以小猫图的面积为（3）小狗图面积的求法与小猫图形面积的求法相同，它的面积为6。说明：此题还有其他的分割方法，请你自己想一想。3 .求下图中梯形的面积。【解析】这个梯形图的一周共有6个格点，中间共有16个格点，运用正方形格点图形的面积公式的：6+2+161=18（面积单位）4 .下图中三角形的面积【解析】方法一：这个三角形图的一周共有6个格点，中间共有13个格点，运用正方形格点图形的面积公式的：6+2+131=15（面积单位）。方法二：

16、将三角形扩展成一个6X6的正方形时，增加了三个直角三角形，因为直角三角形的面积简单易求，所以我们将求三角形ABC的面积转化为求正方形的面积和直角三角形的面积，然后求差即可。正方形的面积为36,左上角的直角三角形的面积为2X6+2=6（面积单位），右下角的直角三角形的面积为3X6+2=9（面积单位），右上角的直角三角形的面积为4X3+2=6（面积单位），由此可得三角形ABC的面积：36-6-9-6=15（面积单位）5.下面图中有21个点，其中相邻的三点所形成的等边三角形的面积为1,试计算四边形的面积。11。【解析】方法一：这个四边形图的一周共有4个格点，中间共有5个格点，运用三角形格点图形的面积

17、公式的：5X2+4-2=12（面积单位）方法二：加一条辅助线，将四边形分成下图中的2个三角形，左上的三角形面积为4X1=4,右下的三角形面积为4X2=8,所以四边形的面积为4+8=12。6.计算下面三角形格点多边形的面积【解析】这个六边形图的一周共有7个格点，中间共有8个格点，运用三角形格点图形的面积公式：8X2+72=21（面积单位）。7.计算下面三角形格点中多边形的面积。【解析】方法一：这个多边形图的一周共有10个格点，中间共有9个格点，运用三角形格点图形的面积公式的：9X2+102=26（面积单位）。方法二：加辅助线将这个多边形分成如下图所示的三个三角形和一个平行四边形。左下角的三角形为

18、一个面积为10的平行四边形面积的一半是5,右上角的三角形的面积为3 （请你自己找出它所在的平行四边形），中间的等边三角形的面积为4X4=16,小平行四边形的面积为2,因此多边形的面积为：5+3+16+2=26（面积单位）8 .下图中有16个格点，以图中三点为顶点连一个三角形，并且至少有一条边水平或垂直。问共有多少个这样的格点三角形，面积分别是多少？【解析】 以这16个格点中任意三点为顶点连成的三角形面积最多为整个图形面积的一半,即任一三角形的面积至多为3X3+2=4.5（面积单位）。面积为4.5的直角三角形有4个；面积为4.5的非直角三角形有2X4=8（个）；面积为3X2+2=3的直角三角形有4X4=16（个）；面积为3X2+2=3的非直角三角形有6X4=24（个）；面积为2X2+2=2的直角三角形有4X4=16（个）；面积为2X2+2=2的非直角三角形有8X4=32（个）；面积为3X1+2=1。5的直角三角形有4X6=24（个）；面积为3X1+2=1。5的非直角三角形有4X6=24（个）；