外圆内方和外方内圆

1、教学内容外方内圆和外圆内方杨冰飞教学年级六年级课时安排外方内圆和外圆内方是人教版六年级上册第五单元圆新增内容，是在学习了各平面图形的面积、圆的认识、圆的周长、圆的面积及圆环的面积的基础上学习的。教材的文字和图片分析，由欣赏古代建筑物的图片引入，抽象出图形提出问题：你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？针对圆内方的图形，书上出现分割法，借助图形直观帮助学生突破“圆内方”难点。最后，在学生反思验证过程中通过推理得到一般性规律，培养学生严谨的数学意识。前置学习单:L停学回圈些里面雌的面枳7民中学过的出面枳与Isl的面枳有仆幺关熟?海明理由“工O入正方格面枳是小正方形面枳的几倍娓?你是怎之想的?可画因表

2、达想法.瞪的功候为Q”米.网胞百存不（）力*.国1晌冏长阡（）介*,回的tfutn是<）中万分*r占的省良士人正席的冏长（）s（）（比的f见回以保留TI）4,在卜面值皿内mu个附大的心阴保姆H世1旧地<.让别人有咱口做比志么岫山O课前有对学生进行访谈以及前测，95%的学生可以看出并且画图表达大正方形面积是小正方形面积的2倍。100%的学生能理解圆的直径就是正方形的边长并区分圆的周长和面积的计算方法。对于画圆内最大的正方形，约50%的学生利用对折绘制；有30%的学生利用外切正方形绘制。可以看出，对于外方内圆的面积，学生已经掌握，但是学生对观察组合图形间的关系经验比较欠缺，认识有限。教

3、学整体教学目标上限目标下限目标适合学生1.结合具体情通过画图、分析、能掌握计算此类图目标境，学生通过画图、推理等活动，在探形面积的方法，并预设分析、推理等活动过程探究圆和止力究过程中掌握知识，建立数学模型，能准确计算。形的组合图形的面积差和面积比的关系，掌握计算此类图形面积的方法，并能准确计算。灵活解决此类图形计算问题。2、通过数学建模的过程，得到一般性结论，渗透分割法，借助图形旋转的动态方式帮助学生积累经验，发展几何直观，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。积累活动经验，发展几何直观，串联沟通已有的知识经验和活动经验，能方法迁移，解决类似数学问题，可以用动态的眼光看数学图形

4、。在小组讨论，全班交流的过程中，推理出一般性结论，应用结论，解决简单的外圆内方和外方内圆的问题。3、结合例题渗透传统文化的教育，通过体验图形和生活的联系感受数学的价值，提高学生对数学的兴趣。渗透数学文化，让学生用数学的眼光观察生活，提出有价值的数学问题体验数学与生活的联系，感受学习数学的乐趣。教学重、难点教学重点：1 .认识外方内圆和外圆内方的组合图形的特征2 .掌握此类图形的面积方法教学难点：外圆内方的组合图形的特征分析教学准备随堂练习单，学习课件等教学空间形式°QO*D5JQ,J0C_joq10c1|0beyyULI1:0教学过程教学划、节教师引领学生活动特别设计意图及目标落实情

5、一'、问题导入，明晰课题1.全班学生分享（一）谈话引入，引发思考交流前测结果2.学生交流圆与1.学生前1.圆与正方1.学生前测作品呈现正方形的关系。生1：圆出于矩,测单以及访谈的问题，找到学生的学习L你学过鹏半面醉的面积明理由。形没有这样的特形有亲密关系，引导学生思考：可以研究两者什么自哪即端殁说系同学们，通过访谈和测试,了解到你们都认为把圆平均分成若干份，可以拼成近似的三角形、梯形、长方形、平行四边形，都可以推导出圆的面积公式。不能拼成正方形。2 .思考：正方形与圆有什么关系？3 .小结：看来正方形和圆也有很亲密的关系。（二）图片欣赏，揭示课题1.呈现图片：2,中国建筑中经常见到这样

6、的设计，这两个图有什么相同之处和不同之处？小结：我们把这样的设计分别称为“外方内圆”和“外圆内方”。点。3.在欣赏中国建筑图片中，感受正方形与圆组合的图形的特点：外圆内方和外方内圆的图形。4.学生自主提问生1:两者面积比的关系生2:两者面积差的关系。板书：外方内圆和外圆内方的想法：关于圆与正方形的关系3.学生提出与价值的数学问题呢？面积不相等，还可以研究面积相差关系和倍数关系。激发学生的好奇心，培养学生发现问题和提出问题的能力。2.具体的情境创设，让学生抽象出图形，有前面的积累，可以帮助学生提出有价值的数学问题二、合作交流，探究新知3 .你想研究圆和正方形面积的什么关系呢？4 .揭示课题：今天

7、我们就一起研究外方内圆和外圆内方的面积。（一）探究外方内圆1.明确问题，正方形和圆之间部分的面积是多少？2.这个问题，你最少rfn知道几个数据？补充条件：圆的半径是1米3.当圆的半径是r,外方内圆的面积差是多少？讨论交流。汇报如下打HlvX凯嶂就隹嗦工-菽肝4.反思验证：r可以表示数字几呢？验证一下，当r是1时，面积差成立。（二）探究外圆内方1 .呈现学生外圆内方作品2 .说一说，你是怎么画的？3 .明确问题，正方形和圆之间部分的面积是多少？4 .解决这个问题，你最少需要知道几个数据？5 .挑战一下，只给一个条件：圆的半径是1米6 .仔细观察画的图，有什（一）1 .学生独立尝;试，汇报解释每一

8、步算式的意义。2 .小组讨论，交流字母r,外方内圆的面积差是多少？3 .过渡到字母时，抽象成推理过程，得到一般性的规律，学生在这个过程中积累一般性的问题解决经验。4 .反思验证，冉由一般性回到特殊性，培疗学生反思严谨的数学习惯。（二）1.学生画法：方法1:利用对折，回两条互相垂直的直径，连接交点绘制方法2:利用外切正方形，连接父点绘制。1 .基于学情前测分析，该问题简单，学生已经掌握。2 .给小组充分交流的时间，部分思维弱的学生推理一般化的规律时，可能不知道怎么表达，多给学生一些时问自我梳理，同时要不断鼓励表达自己的想法。3 .突破重难点时，利用好画图过程中的直观图，学1.经过观察、分析、推理

9、获得一般性的规律，积累一般性的问题解决经验，反思验证再由一般性回到特殊性。2.通过学生的画图过程，知道外圆内方的画法，为下面探究小正方形的面积提供直观图形，通过学生的对折方法，可以明显看出作图痕迹，根据痕迹，学生可以自然地联想到分割法和其它方法，进行推理探究，为突破难点提供经验积累和方法。(1)分割成两个三角形结合学生回答课件展示图(1)图(2)图2.学生观察画的图，根据痕迹，学生可以自然地联想到分割法和其它方法。(三)1 .讨论交流，分享想法生1:小正方形看成两个三角形追问：三角形的底和高分别是多少？相当于什么？(底和高相当于圆的直径和半径。)结合学生回答课件展示。生2:分割成四个小三角形。

10、追问：每个三角形的底和高各是多少呢？相当于什么？(底和高相当于圆的半径。)借助课件，呈现动态旋转图，帮助学生理解切割的三角形的底和高。2 .在多个例子中计算，学生在汇报中解释每一步算式的道理，帮生有脚手架。4 .旋转动态法，也是沟通学生的知识和经验，动态看图。5 .要充分给学生交流方法和算式的意义的时间，让学生在经验的基础上去推理，在反思验证中得到一般化结论。3.分割的方法可以很好地解决，但是旋转的方法，圆外接大正方形，打开学生的思维，沟通联系之前学过的知识和经验：如前测的大正方形面积是小正方形面积的2倍，学生自然可以突破难点，化未知为已知。么发现？独立思考后，同桌互相交流。(三)合作交流，深

11、入探究1 .分割法探究外圆内方根据画法一，想到分割法(2)分割成四个小三角形2.外切大正方形，旋转法根据画法二，想到旋转法(3)借助课件，观察图1和图2,有什么相同点和不同点吗？(1)图1是怎么变成图2呢？动画演示明确：图1中的圆和小正方形通过旋转得到图2,图形形状大小不变，面积不变。(2)观察图2,思考小正方形面积还可以怎么计算？(3)根据学生的回答，呈现图(3)交流汇报如下：三方聿小正方七面。tEf蜒中立3.中方米和怛4HE和,卜匹小(4)改变数据，圆的半径是2、3、4米，计算出外圆内方面积差。请任意选择一个数据计算，汇报交流，具体说一说用的是什么方法。(5)当圆的半径是r,外圆内方的面积

12、差是多少？讨论交流。3.汇报整理，交流验证(1)分割2个三角形方法2r乂1父222=2/其中，助学生积累经验，发现规律。3.学生通过推理，得到一般性规律。是三角形的底，I;的角形的高,(2)旋转法*之立方米大田膻:皿田二HI-iI-J.Hr，甲方*由*4011地+IL附立电(3)反思验证：当r=2、3、4,时，成立。(四)认识联系，完善脉络小结梳理：它们的面积比分别是多少？I!IMMtl"i*Jn-ftS>.I儿否门肝依而dU4P工学生梳理知识的叙述，根据什学生梳理圆，小么方法知正方形，大正力道的，完善形的面积比的关脉络体系。系脚久.入止方格：国：小正方粉-J!n15J三、应用

13、新知，解决生活问题。三、巩固练习，强化认识(一)基本过关t晒方蛾极刑哨痛被!*&*，*随与内卡的初概”T(二)巩固提高巴川山小小刖#1蚪E十FiJT阿船1好步(三)拓展延伸1 .基础练习学生直接应用外圆内方面积差的公式，也可以自己用方法推理出。2 .巩固提高学生1:通过外面画出整个大正方形后，可以知道大正方形的面积，通过面积比来算出圆的面积学生2:小正方形的面积就是1.解决方法多样，让学生能灵活应用所学知识来解决。2.学生由内接正方形与外切大正形面积探究,将方法迁移到正方形的内分层练习，发展学生的数学思维。发散思维，通过图形不断地延伸，学生由欣赏数学图形美上升到数学思维美，发现一般性规

14、律，拓展学生的思维1 .正方形的面积是2平方米，小圆和大圆的面积比是多少？2 .动画演示：如果不停地回卜去，你发现什么规律？r2推理出圆的回积。3.拓展延伸联系比的知识。结论：止方形的面积从内到外依次扩大2倍，圆的面积从内到外也是依次扩大2倍。接圆和外接圆的面积探究，并通过图形不断地延伸,发现一般性规律，拓展学生的思维。四、全课总结，畅谈收获请看黑板回顾一下，通过本节课的学习，你肩什么收获？谁来说一说。学生自由总结。谈感想，总结、提升，激发学生进一步学习的欲望。学生回顾学习过程，对知识和方法的梳理，形成系统的知识体系。板书设计外方内圆和外圆内方大正方形的面积是4I当国的学经是工时.圆的面积是3

15、.1"&小F方形的面积是2r2大止方形：自：小止方招-4:2设计说明一、基于学情，以生为本，培养问题能力本堂课的每个环节学生是主体，坚持“以生为本”的教学理念，根据前测问题的精心设计，分析学情，准确把握教学重难点。由数学文化，圆出于矩及中国建筑图片欣赏，抽象出图形，引发学生思考，发展学生发现问题、提出有价值的数学问题的能力，借助几何直观，培养学生分析问题、解决问题的能力。二、重视方法，积累经验，寻求解决路径1 .追本溯源，动手操作搭支架学生第一次来研究不同图形间的面积关系，分析圆和内接正方形之间的联系是有一定的困难的。追本溯源，图形是如何产生的？通过动手画外圆内方的过程，学生借助直观图形的作图痕迹，自然联想到分割法。2 .沟通联系，动态眼光看图形借助旋转的图形，研究圆内方，是在联系外切正方形和内切正方形的面积关系，可以很好的转化成前测已经解决的问题，串联学生已有的知识经验来突破难点，并且打开学生的思维方式，让学生感受到数学的趣味。三、精选习题，思维提升，体会数学的美分层练习是小班化的特色，在学生想清和说清的基础上，为了让学生进一步内化知识，形成扎实的转化，发展能力，同时体现新课标倡导的“人人学有价值的数学；人人获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”的新理念，我设计了基础性练习、形成性练习、综合性的练习和拓展训练四个层次的