普通物理第五讲-机械振动

1、机械振动目录1、机械振动 2、简谐运动3、旋转矢量法4、机械振动的能量5、同方向简谐运动的合成一、机械振动的一般概念F1、机械振动：物体在一定位置的附近作来回往复的运动(周期性或非周期性)共振(简谐振动） 振动受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动振动的形式:重要的振动形式是: 简谐振动(S.H.V.) simple harmonic vibration二、简谐振动kxF0 xmF胡克定律:物体所受弹性力与物体的位移成正比而反向0Fxm0F22d xFkxmamdt 220d xkxdtmdtdxv )cos(tAx-简谐振动表达式)sin(tA22dtx

2、da )cos(2tA讨论：由初始条件可确定A和 ：cos0Ax sin0Av2020vxA00 xvarctg0 xx 0vv )cos(tAx22mTkmk相位差和相位的超前与落后)cos(1111tAx)cos(2222tAx)()(1122tt)()(1212t12tA例1：原长为0.50m的弹簧上端固定，下端挂一个质量为0.1kg的砝码。当砝码静止时，弹簧的长度为0.60m,若将砝码向上推，使弹簧回到原长，然后放手，则砝码做上下振动。（1）证明砝码上下运动为简谐运动；（2）求此简谐振动的振幅、角频率和频率；（3）若从放手时开始计时，求此谐振动的振动方程 （取正向向下）。xom0 xx

3、0lxom0 xx0lmmg0()k xx220d xkxdtm因此，砝码的运动为简谐振动，其解为 由上二式，可得km令2220d xxdtcos()xAtA、根据初始条件确定。解：（1）以物体的平衡位置为坐标原点，建立如图坐标系。设t时刻砝码位于x处，由牛顿第二定律，得202()d xmgk xxmdt0mgkx（2）xom0 xx0lmmg0()k xx00/9.9(/ )mg xgrad smxkm1.582fHz由初始条件，t=0时，00.1 , 0 xxm 0.1cos0sinAA 可得：0.1 Am（3）振动方程0.1cos(9.9)(m)xt小试牛刀：例2、一质点在x轴上作简谐振

4、动，已知t0时，x00.01m，v00.03m/s， rad/s，则质点的振动方程为（ ）A B.C D.3)323cos(02. 0tx40.02cos( 3)3xt40.01cos( 3)3xt20.01cos( 3)3xt三、 旋转矢量法（相量图法）xoA0 x0cosxAt=0时时 绕 O 点 逆时针旋转的矢量A 的 端点 在 x 轴 上的投影点的运动为简谐运动.xoAtt t)cos(tAx时时xoAtt t)cos(tAx时时矢量A的模：振幅A矢量A的角速度：角频率矢量A与x轴夹角：相位t+x如 文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点 在正的端点Ax 0t旋转矢量与轴夹角为零123t 质

5、点经二分之一振幅处向负方向运动xoA意味A意味2Ax 0)cos(tAxA质点过平衡位置向负方向运动32t43t5Axt同样432 0向负方向运动x12xoAA2Ax 0注意到：AA0 x 00 x 02或2Ax 0 xoxAAA6786780 向正向运动)cos(tAx例3：用旋转矢量法讨论质点在不同初位移时谐振动的初相位：(1)A；(2) 0，且向负方向运动；(3) -A；(4)-A/2，且向正方向运动。2AAA342解：00020320例4、一弹簧振子振动方程为 m。若振子从t0时刻的位置到达x0.05m处，且向x轴负方向运动，则所需的最短时间为 （ ） A s B s C0.5sD 1

6、s)3cos(1 . 0tx3153小试牛刀：例5、s/ tm/xO212解：从图中可看出2 ,2Am Ts2T而0 0tx0cos()xAt0cos0A02 取0/2则振动方程为：2cos()( )2xtm例6、物体沿x轴作谐振动，其振幅为A=10.0cm周期为T=2.0 s，t=0时物体的位移为x0=-5cm.且向x轴负方向运动.试求 ：(1) t=0.5s时物体的位移；(2) 何时物体第一次运动到x=5cm处?(3) 再经过多少时间物体第二次运动到x=5cm处?解由已知条件，可知 23由旋转矢量可知， 210.0, 2s, Acm TT则振动方程为20.1cos3xtx0t -5O(1)

7、将t=0.5s代入振动方程，20.1cos0.50.087m3x (2) 当物体第一次运动到x=5cm处时，旋转矢量转过的角度为，所以有 1t即即 11s2Tt(3)当物体第二次运动到x=5cm处时，旋转矢量又转过2323t 22s333Tt x0t 23-552t1ttAxcos1） 直观地表达振动状态优点tx0Axt旋转矢量图可直观地显示综量分析解析式可知:用图代替了文字的叙述)(t2）方便计算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算四、谐振动的能量-以弹簧振子为例: pkEEE222121kxmv)(cos21)(sin2122222tkAtmA221kA2221Ammk 注意:弹簧振子的动能

8、和势能是随时间(或位移)而变化总的机械能保持不变，即动能和势能相互转化谐振动系统的总能量与振幅的平方成正比小试牛刀：例7、一个弹簧振子作简谐振动，已知振子势能的最大值为100J，当振子处于最大位移一半处时其动能瞬时值为（ ）A25JB50JC75JD100J解：(1)222121kxmv )(cos)(sin22222tkAtmA)(cos)(sin22tt4kt)cos(tAxA220 x4t2)(ttA2242t4kmt4五、简谐运动的合成一、同频率同方向的运动合成111cos()xAt222cos()xAtxA2合振动可用矢量表示法求得 12xxxcos()At仍为一简谐振动，其参数为221212212()AAAA A cos11221122sinsinarctancoscosAAAAxA2讨论: 合振动仍然是简谐振动，其频率与分振动相同 合振动振幅不但与两分振动的振幅有关，而且与相 位差有关221212212()AAAA A cos11221122sinsinarctancoscosAAAA讨论： 当两振动同相时，合振幅最大2k 12AAA(2) 当反相时，合振幅最小(21)k 12AAA1212AAAAA(3) 当 为其他值时xA255cm/ xs / t005. 01 . 012cm5As1 . 0TT22000 x00v2150 xA2)220cos(10521tx