BB对弧长和曲线积分PPT课件

1、1主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学高等数学 第二十五讲第1页/共36页2第五节第五节一、对弧长的曲线积分的概念和性质一、对弧长的曲线积分的概念和性质二、对弧长的曲线积分的应用二、对弧长的曲线积分的应用对弧长的曲线积分 第八章 二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法第2页/共36页3一、对弧长的曲线积分的概念与性一、对弧长的曲线积分的概念与性质质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB , 其线密度为“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得为计算此构件的质量,1.1.引例引例: 曲线形构件的质量采用第3页/共36页4设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有

2、界函数, 都存在,上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点, 2. .定义定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量和对第4页/共36页5如果如果 L 是是 xoy 面上的曲线弧面上的曲线弧 ,如果 L 是闭曲线 , 则记为则定义对弧长的曲线积分为思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.此为一种新的和式极限。 定积分：线积分：不是定积分。第5页/共36页63. 性质性质（k 为常

3、数)( 由 组成) ( l 为曲线弧 的长度)由定义可知：此曲线积分不论积分弧段的方向如何，总取正值，定义中右端的和式极限不变，则有：换向不变号换向不变号第6页/共36页7二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分说明说明:因此积分限必须满足(2) 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 第7页/共36页8如果曲线如果曲线 L 的方程的方程为为则有如果方程为极坐标形式:则推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为则第8页/共36页9小弧段的求小弧段的求法：法：取极限得：曲线曲线：第9页

4、/共36页10曲线：极坐标：第10页/共36页11解解例例1.第11页/共36页12例例2. 计计算算其中 L 是抛物线与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:上点 O (0,0)第12页/共36页13例例3. 计算计算其中L为双纽线解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性 , 得第13页/共36页14例例4. 计算曲线积分计算曲线积分 其中为螺旋的一段弧.解解: 线第14页/共36页15例例5. 计算计算其中为球面解解: 化为参数方程 则第15页/共36页16例例6：计计算：算：L 为图示三角形周界解：解：第16页/共36页17例例7：计计算算其中曲线 L 为单位圆从点A(0,

5、1)到点解法一解法一：第17页/共36页18解法二解法二例例7：计计算算其中曲线 L 为单位圆从点A(0,1)到点第18页/共36页19例例7：计计算算其中曲线 L 为单位圆从点A(0,1)到点解法三：解法三：第19页/共36页20例例8：计算计算L 由解：解：第20页/共36页21例例8：计算计算L 由第21页/共36页22例例9. 计算计算其中为球面 被平面 所截的圆周. 解解: 由对称性可知第22页/共36页23例例101. 已知椭圆周长为a , 求提示提示:原式 =利用对称性分析分析:第23页/共36页24例例111. 设 C 是由极坐标系下曲线及所围区域的边界, 求提示提示: 分段积

6、分第24页/共36页25三几何与三几何与物理意义物理意义第25页/共36页26第26页/共36页27思考思考: 例例9中中 改为改为如何计算解解: 令, 则圆的形心在原点, 故第27页/共36页28例例1. 计算半径为计算半径为 R ,中心角中心角为为的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解解: 建立坐标系如图,有对称性则 第28页/共36页29截下部分的面积 A 。解：解：如图所示，先作柱面例例2：求由抛物柱面求由抛物柱面第29页/共36页30例例3：已知曲杆方程为已知曲杆方程为其上各点的密度求 1、曲杆的长 S . 2、质量 M .3、质心4、曲杆的转动惯量解：解：第30页/共36页31例例4 L为球为球面面坐标面的交线 , 求其形心 . 在第一卦限与三个解解: 如图所示 , 交线长度为由对称性 , 形心坐标为第31页/共36页32例例5 设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧L的方程的方程为为(1) 求它关于 z 轴的转动惯量(2) 求它的质心 .解解: 设其密度为 (常数).(2) L的质量而(1)第32页/共36页33故质心坐标为第33页/共3