数学竞赛辅导托勒密定理一docx

1、托勒密定理Ptolemy(约公元85年165年)，希腊数大天文学家，他的主要著作天文集被后人称为“伟大的数学书”。托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和。已知：四边形ABCD内接于圆，如图，求证：AB·CD+BC·AD=AC·BD证明：在BAD内作BAE=CAD，交BD于E。因ABE=ACD，所以ABEACD，从而AB·CD =AC·BE ；易证ADEACB，所以BC·AD=AC·DE；+得AB·CD+BC·AD=AC·BD。托勒密定理的逆定理：

2、如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积，此四边形必内接于圆。已知四边形ABCD满足AB·CD+BC·AD=AC·BD，求证：A、B、C、D四点共圆。证明：构造相似三角形，即取点E，使BCE=ACD，且CBE=CAD，则CBECAD。所以BC·AD=AC·BE ；又，BCA=ECD，所以BCAECD。AB·CD =AC·DE ；+得AB·CD+BC·AD=AC·（BE+DE）。显然有BE+DEDB。于是AB·CD+BC·ADAC·DB。等号当且仅当E在BD上成

3、立，结合已知条件得到此时等号成立，这时CBD=CAD，即A、B、C、D四点共圆。托勒密定理的推广托罗密不等式在四边形ABCD中， 有AB·CD+AD·BCAC·BD. 并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立。推论1（三弦定理） 如果A是圆上任意一点，AB，AC，AD是该圆上顺次的三条弦，则推论2（四角定理） 四边形ABCD内接于，则直线上的托勒密定理（或欧拉定理） 若A，B，C，D为一直线上依次排序的四点，则一、直接应用托勒密定理例1如图，P是正ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)， 求证：PA=PBPC分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形

4、，均为繁冗若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·ACPC·AB，AB=BC=ACPA=PB+PC二、完善图形借助托勒密定理例2证明“勾股定理”：在RtABC中，B=90°，求证：AC2=AB2BC2证明：如图，作以RtABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形由托勒密定理，有 AC·BD=AB·CDAD·BC 又ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，AC=BD把代人，得AC2=AB2BC2例3如图，在ABC中，A的平分线交外接圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(ABAC)证明

5、：连结CD，依托勒密定理，有AD·BCAB·CDAC·BD1=2， BD=CD故 AD·BC=AB·BDAC·BD=BD(ABAC)三、构造图形借助托勒密定理例4若a、b、x、y是实数，且a2b2=1，x2y2=1求证：axby1证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作RtACB和RtADB，使ACa，BC=b，BDx，ADy由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的据托勒密定理，有AC·BDBC·AD=AB·CDCDAB1，axby1四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理例5已知a、b、c是ABC的三

6、边，且a2=b(bc)，求证：A=2B分析：将a2=b(bc)变形为a·a=b·bbc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c证明：如图，作ABC的外接圆，以 A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DAAD=BC，ABD=BAC又BDA=ACB(对同弧)，1=2依托勒密定理，有BC·AD=AB·CDBD·AC而已知a2=b(bc)，即a·a=b·cb2 BAC=2ABC五、巧变形妙引线借肋托勒密定理例6在ABC中，已知ABC=124，分析：将结论变形为AC·BCAB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形如图，作ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，有AC·BDBC·AD=AB·CD易证AB=AD，CD=AC，AC·BCBC·AB=AB·AC，作业1.已知ABC中，B=2C。求证：AC2