数理逻辑练习题及答案-4

1、一阶逻辑基本概念1 在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：  （1）凡有理数都能被2整除。  （2）有的有理数能被2整除。其中(a)个体域为有理数集合,(b)个体域为实数集合。2 在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：  （1）对于任意的x，均有x2-2= (x+)(x-)。  （2）存在x，使得x+5=9。其中(a)个体域为自然数集合，(b)个体域为实数集合。3 在一阶逻辑中将下列命题符号化：  （1）没有不能

2、表示成分数的有理数。  （2）在北京卖菜的人不全是外地人。  （3）乌鸦都是黑色的。  （4）有的人天天锻炼身体。4 在一阶逻辑中将下列命题符号化：  （1）火车都比轮船快。  （2）有的火车比有的汽车快。  （3）不存在比所有火车都快的汽车。  （4）“凡是汽车就比火车慢”是不对的。5 给定解释I如下：  (a)个体域DI为实数集合R。  (b)DI中特定元素=0。  (c)特定函数(x,y)=

3、x-y，x,yDI。  (d)特定谓词(x,y)：x=y，(x,y)：x<y，x,yDI。  说明下列公式在I下的含义，并指出各公式的真值：  （1）xy(G(x,y)F(x,y)  （2）xy(F(f(x,y）,a)G(x,y)  （3）xy(G(x,y)F(f(x,y),a)  （4）xy(G(f(x,y),a)F(x,y)6 给定解释I如下：  （a）个体域D=N（N为自然数）。  （b）D中特定元素=2。 

4、60;（c）D上函数(x,y)=xy，(x,y)=x·y。  （d）D上谓词(x,y)：x=y。  说明下列公式在I下的含义，并指出各公式的真值：  （1）xF(g(x,a),x)  （2）xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)  （3）xyz(F(f(x,y),z)  （4）xF(f(x,x),g(x,x)7 证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：  （1）x(F(x)y(G(y)H(x,y)  （2）xy(F(

5、x)G(y)H(x,y)答案1  （1）(a)中，xF(x)，其中，F(x)：x能被2整除，真值为0。        (b)中，x(G(x)F(x)，其中，G(x)：x为有理数，F(x)同(a)中，真值为0。  （2）(a)中，xF(x)，其中，F(x)：x能被2整除，真值为1。        (b)中，x(G(x)F(x)，其中，F(x)同(a)中，G(x)：x为有理数，真值为1。2  （1）(

6、a)中，x(x2-2=(x+)(x-)，真值为1。        (b)中，x(F(x)(x2-2=(x+)(x-)，其中，F(x)：x为实数，真值为1。  （2）(a)中，x(x+5=9)，真值为1。        (b)中，x(F(x)(x+5=9)，其中，F(x)：x为实数，真值为1。3. 没指定个体域，因而使用全总个体域。  (1) x(F(x)G(x)或x(F(x)G(x)，其中，F(x)：x为有理数，G(

7、x)：x能表示成分数。  (2) x(F(x)G(x)或x(F(x)G(x)，其中，F(x)：x在北京卖菜，G(x)：x是外地人。  (3) x(F(x)G(x)，其中，F(x)：x是乌鸦，G(x)：x是黑色的。  (4) x(F(x)G(x)，其中，F(x)：x是人，G(x)：x天天锻炼身体。  4. 因为没指明个体域，因而使用全总个体域。  (1) xy(F(x)G(y)H(x,y)，其中，F(x)：x是火车，G(y)：y是轮船，H(x,y):x比y快。  (2) xy(

8、F(x)G(y)H(x,y)，其中，F(x): x是火车，G(y)：y是汽车，H(x,y):x比y快。  (3) x(F(x)y(G(y)H(x,y)    或x(F(x)y(G(y)H(x,y)，其中，F(x): x是汽车，G(y)：y是火车，H(x,y):x比y快。  (4) xy(F(x)G(y)H(x,y)    或xy(F(x)G(y)H(x,y) )，其中，F(x): x是汽车，G(y)：y是火车，H(x,y):x比y慢。5.  (1) xy(x<yxy)，

9、真值为1。  (2) xy(x-y=0)x<y)，真值为0。  (3) xy(x<y)(x-y0)，真值为1。  (4) xy(x-y<0)(x=y)，真值为0。6.  (1) x(x·2=x)，真值为0。  (2) xy(x+2=y)(y+2=x)，真值为0。  (3) xyz(x+y=z),真值为1。  (4) x(x+x=x·x),真值为1。 7.  (1) 取个体域为全总个体域。      解释I1：F(x)：x为有理数，G(y)：y为整数，H(x,y)：x<y      在I1下：x(F(x)y(G(y)H(x,y)为真命题，所以该公式不是矛盾式。     &#