空间点线面之间位置关系知识点总结

1、重点记忆：直高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体一一由若干个平面多边形围成的几何体旋转体一一把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线 称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征棱柱一一有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些 面所围成的几何体叫做棱柱。圆柱一一以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱棱锥一一有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 圆锥一一以直角三角形的一直角边

2、所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆 锥。棱台一一用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台 圆台一一用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（二）空间几何体的三视图与直观图1. 投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。2. 三视图 正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形； 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3. 直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。4. 斜二测法：在坐标系x&

3、#39;o'y'中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于 x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于 y轴（或在y轴上）的线段长度减半厂观图面积二原图形面积（三）空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积S = 2冗rl +2冗r2圆锥的表面积Srlr2圆台的表面积Srlr2 Rl2R球的表面积S4 R2n R21 ,扇形的面积公式S扇形lr （其中l表示弧长，r表示半径）36022、空间几何体的体积 柱体的体积V S底h锥体的体积V 底h1 j43台体的体积V -（ S上 ,£上S下 ） h

4、 球体的体积V 3 R331平面含义：平面是无限延展的2平面的画法及表示（1） 平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成45°,且横边画成邻边的2倍长（如 图）（2）平面通常用希腊字母a、B、丫等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC平面ABC荧。3三个公理：（1）公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A LB L => L 匸 aAaBa -公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A B

5、 C三点不共线=> 有且只有一个平面a, 使 Aa、Ba、Ca。公理2作用：确定一个平面的依据（3）公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号表示为：PaGB => aPp =L，且P L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直. 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线a bcc / b强调：公理4实质上是

6、说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点： a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与0的选择无关，为简便，点0 般取在两直 线中的一条上； 两条异面直线所成的角8，）； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a丄b； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：

7、（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交一一有且只有一个公共点（3）直线在平面平行没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a a来表示第二章直线与平面的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系.直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a I ab B I=>aIlaa / b222 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。2、判定定理：一条直线与

8、一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形符号表示:梭IBa2、二面角的记法：二面角Aa-l- B 或 a -AB- Ba Bb匸j Ba A b = P »a/ab Ia 亠3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 2.3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理： 两个平面垂直，则一个

9、平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。2、判断两平面平行的方法有三种：(1) 用定义；(2) 判定定理；(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 直线与平面、平面与平面平行的性质本章知识结构框图1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a /aa匸B aAB = b -a / b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交， 符号表示：a/BaAy = aBAy = b/直线、平面垂直的判定及其性质直线与平面垂直的判定直线与直线的位置关系第三章直线与方程、公式:1

10、.若直线的倾斜角为(90 )，则直线的斜率k = tan1、定义如果直线L与平面a内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线L与平面a互相垂直，记作L丄a,直线2.过点心)和卩:化必)的直线的斜率为：丿1x2 X-|L叫做平面a的垂线，平面a叫做直线 L的垂面。如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足。3.若不平行于y轴的两直线I1/I2，则k=k2 ;若两直线l1 I2，则k1 k?!;4.直线的点斜式方程：y y° k(x x°)5.直线的斜截式方程：y kx b6.直线的两点式万程：yy1x 人y2y1X2捲7.直线的截距式方程：x 1 a b8.直线的般式方程：

11、ACAx By C 0，此时，斜率为一，截距为一BB9.对于两直线h : AxB1 y C10 和 12: A2 xB2 y C20(1)若 a1b2 a2b10,两直线相交；(2)若 A1B2 A2B10，两直线平行或重合；(3)若A1A2 B1B20，若两直线垂直。10. 点(xi,yj和区皿)的中点坐标是(仝X2, 迪)2 211. 若 R (xi, yi )和 P2 (x2, y2 )，贝U： RP2 V(Xi x2)(yi y2)12. 点(xo, yo)到直线Ax By C 0的距离为：By。C二、基本注意点：1. 过点(a,b)，且平行于x轴的直线方程是：y b ；2. 过点(a

12、,b)，且平行于y轴的直线方程是：x a ；三、典型习题：1.求过点(2,3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程。解：截距不为0时，设两轴上的截距都为a,则有直线方程为：-1， a a将(2,3)带入上式可得：a 5，所以直线方程为：-1，55即：x y 50；两轴上的截距都为0时，则直线过原点(0,0)，由两点式可得：U U，即：3x 2y 03 02 0综上所述：满足条件的直线方程为：x y 5 0或3x 2y 0 .(注：做本题时要分截距为0和截距不为0两种情况，切不可直接将方程设为-1，因为用该方程时，要求截距不为 0。)a b2. 已知直线11 : x my 60， l2 :(m 2

13、)x 3y 2m 0，求满足下列条件的 m值:(1)11 和 J相交；(2)11 J ；(3)I1/I2 ；(4)h和 J重合；解：(1)Qh和口2相交：A1B2A2B10，即：1 3(m2)m0解得：m1且m3(2)Ql1l2，AA2B1B20，即：1 (m2)3m0解得：m12(3)(4)A B2A'2B10,即：1 3(m2)m0解得：m1或m3检验:m1时寸,h:x y6 0,l23x 3y20,此时，两直线平行，所以,m3时,l1:x3y6 01:x3y 60,此时，两直线重合综上所示:m1时'两直线平行；m3时两直线重合.第四章圆与方程圆与方程2、1圆的标准方程：以

14、点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x a)2 (y b)2 r2.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2 y22 r .2、2点与圆的位置关系：1.设点到圆心的距离为d，圆半径为r:(1)点在圆上- d=r ；(2)点在圆外d > r ；点在圆内I'- ld< r2 22.给定点 M(X0,y。)及圆 C :(x a) (y b)2 r .222 M 在圆 C 内(X。a) (y0 b) rM在圆C上(x° a)2 (y° b)2 r22、 M 在圆 C 外 (xo a)2 (yo b)2 r23圆的一般方程:x2 y2 Dx E

15、y若点(X0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则y1 y°R bk(x1 X0)y1 k(a X1)，联立求出k,R2 1切线方程.D2D2D2E2E2E24F4F4F注：(1)方程0时,0时,0时,方程表示一个圆,方程表示一个点其中圆心方程无图形(称虚圆)2 2Ax Bxy Cy Dx Ey FCI，半径r.D2 E2 4F20表示圆的充要条件是：B0且 A C 0且 D2 E2 4AF 0.2、4直线与圆的位置关系：直线AxBy C0与圆(xa)2 (yb)2r2的位置关系有三种(1)若 d lAa Bb C,d r相离0 ；mA2 B2(2) d r相切0 ；(3) d r相

16、交0。还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组Ax ByC 0求解，通过解的个数来判断2 2x yDx EyF 0(1)当方程组有2个公共解时(直线与圆有2个交点)，直线与圆相交；圆的直径或方程：已知A(xi,yi)B(X2 ,y2)(x xi )(x X2) (y yi)(y y2)0(2) 当方程组有且只有 1个公共解时(直线与圆只有1个交点)，直线与圆相切；(3) 当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点)，直线与圆相离；即:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心C到直线I的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切 d=r = 0 (2)相交 d<r >0;(3)相离 d>r <0。2、5两圆的位置关系设两圆圆心分别为 。1, 02,半径分别为1,2 , O1O2 d。(1)dr1r2 外离 4条公切线；(2) d r1 r2外切3条公切线;(3)r1r2|dr1 r2相交 2条公切线；(4) d |r1r2内切 1条公切