复变函数第一1单元复数及复变函数

1、1CH1 复数及复变函数复数及复变函数 1 1、复数及其代数运算复数及其代数运算 2 2、复数的表示方法复数的表示方法 3 3、复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根 4 4、区域区域 5 5、复变函数复变函数 6 6、复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性2 2009, Henan Polytechnic University2& 1. 1. 复数的概念复数的概念 1 1复数及其代数运算复数及其代数运算& 3. 3. 共轭复数共轭复数& 2. 2. 代数运算代数运算3 2009, Henan Polytechnic University3A 一般任意两个复数不能比较大

2、小一般任意两个复数不能比较大小. .1. 复数的概念复数的概念 定义定义 对任意两实数对任意两实数x、y ,称称 z=x+iy或或z=x+yi为复数为复数.,1 2称为虚单位称为虚单位其中其中ii 复数复数z 的实部的实部 Re(z) = x ; 虚部虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)0)Im()Re(0,222111212121 zzziyxziyxzyyxxzz其中其中 判断复数相等判断复数相等4 2009, Henan Polytechnic University4定义定义 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：的

3、和、差、积和商为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)0(|222211222212121 zzyxyxizyyxxzzz2. 代数运算代数运算四则运算定义四则运算定义5 2009, Henan Polytechnic University5z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .运算规律运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与

4、实数相同与实数相同）即：）即：6 2009, Henan Polytechnic University6共轭复数的性质共轭复数的性质2121)()1(zzzz 2121)(zzzz 2121)(zzzz zz )2(2|1zzz 2222ImRe)3(yxzzzz ）（）（)Im(2 )Re(2)4(zizzzzz 3.共轭运算共轭运算定义定义 若若z=x+iy , 称称 z=x-iy 为为z 的共轭复数的共轭复数.(conjugate)7 2009, Henan Polytechnic University7.,)( ,43,55212121虚部虚部及它们的实部及它们的实部求求设设zzzzi

5、ziz 574355:21 iiizz解解例例1 1)(.,0 :0111现现实实多多项项式式的的零零点点成成对对出出也也是是其其根根则则的的根根是是实实系系数数方方程程若若证证明明zaxaxaxaznn-nn 例例28 2009, Henan Polytechnic University8& 1. 1. 代数形式代数形式 2 2 复数的表示方法复数的表示方法3 3 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根& 4. 4. 指数形式指数形式& 3. 3. 三角形式三角形式& 2. 2. 几何形式几何形式9 2009, Henan Polytechnic Universit

6、y91. 代数形式（点表示）代数形式（点表示）),(yxiyxz一一对对有有序序实实数数易易见见， ),(),(),(yxPiyxzyxyxP平平面面上上的的点点一一对对有有序序实实数数任任意意点点系系，则则在在平平面面上上取取定定直直角角坐坐标标 此此时时，表表示示的的点点，可可用用平平面面上上坐坐标标为为复复数数.)(Pyxiyxz 平平面面复复平平面面或或平平面面虚虚轴轴轴轴实实轴轴轴轴zyx)(yxPiyxz，复复平平面面上上的的点点 点的表示：点的表示：A 数数z与点与点z同义同义. .10 2009, Henan Polytechnic University10.,)(iyxzOP

7、yxOPyxPiyxz 表表示示可可用用向向量量，点点2. 几何形式（向量表示）几何形式（向量表示）zyxrOPzArg:,|22记记作作辐辐角角模模： oxy(z)P(x,y)rz xy 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值；以正实轴以正实轴 为始边为始边, 以以 为终边的角的为终边的角的弧度数弧度数 称为复数称为复数z=x+iy的的辐角辐角.(z0时时)OP向向量量xyzz/)Argtan(0 时，时，11 2009, Henan Polytechnic University11辐角无穷多：辐角无穷多：Arg z=0+2k， kZ， 0把其中满足把其中满

8、足 的的0称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值，记作记作0=argz.A z=0=0时，辐角不确定（不定义）时，辐角不确定（不定义） 0, 00, 0arctan0, 02, 0arctanargyxyxxyyxRyxxyz 计算计算argz(z0) 的公式的公式12 2009, Henan Polytechnic University12A 当当z落于一落于一, ,四象限时，不变四象限时，不变. . A 当当z落于第二象限时，加落于第二象限时，加 . . A 当当z落于第三象限时，减落于第三象限时，减 . . 2arctan2 xy 13 2009, Henan Polytechnic U

9、niversity13oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z112121212)(:zzzzzzzz 三三角角不不等等式式由由此此得得由向量表示法知由向量表示法知之间的距离之间的距离与与点点2112zzzz 14 2009, Henan Polytechnic University143. 3. 三角形式三角形式)sin(cos irz 得得由由 sincosryrx 乘积与商乘积与商设设 z1=r1(cos1+isin1)，z2=r2(cos2+isin2) 则则 z1z2=r1r2(cos1+isin1)( cos2+isin2) = r1r2cos (1+2)+isin(1+2)因

10、此因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2)sincoscos(sinsinsincoscos2121212121 irr15 2009, Henan Polytechnic University15几何意义：几何意义： 将复数将复数z1按按逆时针逆时针方向旋转一个角度方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到再将其伸缩到|z2|倍倍.1 oxy(z)1z2 z1z22 z2A 定理定理1 1可推广到可推广到n 个复数的乘积个复数的乘积. .16 2009, Henan Polytechnic University16设设z=r(cos +isin ) ，由复数

11、的乘法定理和数学归纳法，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明可证明 zn=rn(cos n+isin n). innnerz 由由定定义义得得复数的复数的乘幂乘幂定义定义 n个相同的复数个相同的复数z 的乘积，称为的乘积，称为z 的的n次幂，次幂， 记作记作z n，即，即z n=z z z（共（共n个）个）.1nnzz 定义定义特别：当特别：当|z|=1时，即：时，即：zn=cosn+isin n，则有，则有 (cos+isin)n=cosn+isinn -棣模佛棣模佛(De Moivre)公式公式.17 2009, Henan Polytechnic University17问题问题 给定复数

12、给定复数z，求所有的满足，求所有的满足n=z 的复数的复数.nz 记记,),sin(coszin 由由设设)sin(cos)sin(cos irninn 有有)(2,Zkknrn 复数的复数的方根方根（开方）乘方的逆运算（开方）乘方的逆运算 当当z0时，有时，有n个不同的个不同的值与值与 相对应，每一相对应，每一个这样的个这样的值都称为值都称为z 的的n次方根，次方根，nznkinnerz 2 )2sin2(cosnkinkrn )1, 2 , 1 , 0( nk18 2009, Henan Polytechnic University18A 当当k=0=0，1 1，n-1-1时，可得时，可得

13、n个不同的根，个不同的根， 而而k取其它整数时，这些根又会重复出现取其它整数时，这些根又会重复出现. .几何上几何上， 的的n个值是个值是以原点为中心，以原点为中心， 为半为半径的圆周上径的圆周上n个等分点，个等分点，即它们是内接于该圆周即它们是内接于该圆周的正的正n边形的边形的n个顶点个顶点.nznr（见见图图）如如)3 , 2 , 1 , 0()424sin424(cos2184 kkikik xyo0 1 2 3 822i 119 2009, Henan Polytechnic University194. 指数表示法指数表示法）结合得）结合得公式（公式（将三角形式与将三角形式与 sin

14、cosieEuleri irez 模一个辐角20 2009, Henan Polytechnic University20注意：注意： 复数的各种表示法可以相互转化复数的各种表示法可以相互转化,以适应以适应 不同问题的需要不同问题的需要.13(1)1(2) (3)3(4)2,.iii ） 求（的模 辐角及辐角主值例例1.,)3(3)2()1(22辐角辐角的模的模求求 eeeii例例2.5cos5sin式式化化为为三三角角形形式式与与指指数数形形将将 iz 例例321 2009, Henan Polytechnic University21).2 , 1 , 0( ,320sin320cos13

15、 kkik 0sin0cos1:i 解解.2321,2321, 1210ii 即即31求求例例422 2009, Henan Polytechnic University22此外引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程此外引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形程（或不等式）来确定它所表示的平面图形.例例5 5 用复数方程表示用复数方程表示:（1）过两点）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线；的直线；（2）中心在点）中心在点(0, -1), 半径为半径为2的

16、圆的圆.oxy(z)Lz1z2z解解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-t 0为半径的为半径的圆圆 | z -z 0|(或或 0 | z z 0| 0, 对任意对任意 z D, 均有均有zG=z | |z|R，则，则D是有界是有界区域区域；否则无界；否则无界.闭区域闭区域 区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域,.D记记为为.,00为为半半径径的的圆圆内内所所有有的的点点以以为为圆圆点点表表示示以以rzrzz 30 2009, Henan Polytechnic University30.轴的直线轴和表示分 别ImRexyz,z平行于.,.,1020201几个点几个

17、点只是边界增加了一个或只是边界增加了一个或它仍然是区域它仍然是区域几个点几个点如果在其中去掉一个或如果在其中去掉一个或组成组成它的边界由两个圆周它的边界由两个圆周而且是有界的而且是有界的表示一个圆环表示一个圆环rzzrzzrzzr .0Im,0Re表表示示下下半半复复平平面面表表示示右右半半复复平平面面 zz31 2009, Henan Polytechnic University312. 简单曲线（或简单曲线（或Jardan曲线曲线),)()(),()()(baCtytxbtatyytxx 、实实变变函函数数表表示示为为：平平面面上上一一条条连连续续曲曲线线可可令令z(t)=x(t)+iy(

18、t) atb ;则曲线方程可记为：则曲线方程可记为：z=z(t)， atb.0)( )( ,)( )( 22则则称称该该曲曲线线为为光光滑滑的的且且、若若 tytxbaCtytx有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线.32 2009, Henan Polytechnic University32重点重点 设连续曲线设连续曲线C：z=z(t)，atb，对于对于t1(a，b), t2 a, b,当当t1t2时，若时，若z(t1)=z(t2)，称称z(t1)为曲线为曲线C的重点的重点. 定义定义 称称没有重点没有重点的连续曲线的连续曲线C为简单曲线或为简单曲

19、线或 Jardan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C 满足满足z(a)=z(b)时，则称时，则称此曲线此曲线C是简单是简单闭闭曲线或曲线或Jordan闭闭曲线曲线 . z(a)=z(b)简单闭曲线简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲线33 2009, Henan Polytechnic University33简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， ta，b，把复，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为的内部；一个是无界区域

20、，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界的外部；还有一个是它们的公共边界.z(a)=z(b)内部内部外部外部边界边界34 2009, Henan Polytechnic University343. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域定义定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域 B ，如果如果B内的任何简单闭曲线的内的任何简单闭曲线的内部总在内部总在B内内，就称，就称 B为单连通为单连通域；非单连通域称为多连通域域；非单连通域称为多连通域.多连通域多连通域单连通域单连通域35 2009, Henan Polytechnic University35例如例如 |z|0）是单连通的；）是单连通

21、的； 0r|z|R是多连通的是多连通的.单连通域单连通域多连通域多连通域单连通域单连通域36 2009, Henan Polytechnic University365 5 复变函数复变函数& 3. 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射& 2. 2. 映射的概念映射的概念& 1. 1. 复变函数的定义复变函数的定义37 2009, Henan Polytechnic University371. 1. 复变函数的定义复变函数的定义与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似定义定义).(, zfwzwivuwGzfiyxzG 记记作作）的的函函数数（简简称称复复变变函函数数是

22、是复复变变数数则则称称复复变变数数与与之之对对应应就就有有一一个个或或几几个个使使得得存存在在法法则则的的非非空空集集合合是是一一个个复复数数设设A 是是多多值值函函数数. .值值，称称多多个个是是单单值值函函数数; ;值值，称称一一个个若若)( )(zfwzzfwz.论的函数均为单值函数论的函数均为单值函数今后无特别声明，所讨今后无特别声明，所讨38 2009, Henan Polytechnic University38面面区区域域（定定义义域域）的的定定义义集集合合，常常常常是是平平)(zfG函函数数值值集集合合,)(*GzzfwwG ),(),( )()(),();,(yxivyxui

23、yxfzfwvuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故),(),()(yxvvyxuuivuzfw 39 2009, Henan Polytechnic University39xyiyxiyxivuwivuwiyxzzw2)()(2222 则则令令例例1xyvyxuzw2222 例例2 22221111)(yxiyyxxzf若已知若已知.)(的的函函数数表表示示成成将将zzfzzzf1)( )(21),(21,zziyzzxiyxz 则则设设40 2009, Henan Polytechnic University40 2. 映射的概念映射的概念复变函数的几何意义复变函数的

24、几何意义).() (*)(变换变换平面）的映射平面）的映射平面平面wGwzGzzfw .)(的的原原象象称称为为，而而映映象象的的象象点点为为称称wzzw 定义域定义域函数值集合函数值集合在几何上，在几何上， w=f(z)可以看作：可以看作：oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)zw=f(z)w41 2009, Henan Polytechnic University41A 以下不再区分函数与映射（变换）以下不再区分函数与映射（变换）. .A 在复变函数中用两个复平面上点集之间的在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量对应关系来表达两对变量 u，v 与与 x，y 之间

25、的对应关系，以便在研究和理解复变之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观. .复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）42 2009, Henan Polytechnic University42oxy(z)x、uy、v(z)、(w)o 图图1-1图图1-2图图2x、uy、v(z)、(w)ouv(w)o43 2009, Henan Polytechnic University43ouv(w) 2 oxy(z)ouv(w)R=2R=46 3 422 yx2zw 2zw 2zw 2zw .2所所构构成成的的映映射

26、射研研究究zw 例例3oxy(z)44 2009, Henan Polytechnic University44 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射例例 设设 z=w2 则称则称 为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射zw )1 , 0(22 kezzwik 为多值函数为多值函数,2支支.定义定义 设设 w =f (z) 的定义集合为的定义集合为G,函数值集合为函数值集合为G*Gz *)(Gwzfw *Gw )()(wzGz 或或几几个个一一个个则称则称z=(w)为为w=f(z)的反函数（的反函数（逆映射逆映射）.GzzfzGwwfw)()(*当反函数单值时显然有)(zfz 一般一般45

27、 2009, Henan Polytechnic University45.)()()()()()(是是一一一一对对应应的的与与集集合合也也称称集集合合是是一一一一的的映映射射都都是是单单值值的的，则则称称函函数数逆逆映映射射和和其其反反函函数数映映射射当当函函数数 GGzfwwzzfw 例例5?1:,1 22平平面面上上怎怎样样的的曲曲线线映映射射成成被被平平面面上上的的曲曲线线判判断断已已知知映映射射wyxzzw 例例4 已知映射已知映射w= z3 ，求区域，求区域 0argz 在平面在平面w上的象上的象.3 46 2009, Henan Polytechnic University466

28、 6 复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性& 1. 1. 函数的极限函数的极限& 3.3.函数的连续性函数的连续性& 2. 2. 运算性质运算性质47 2009, Henan Polytechnic University471. 函数的极限函数的极限AzfzzAzfzzzfAAzfzzAzUzzfwzz )()(lim)(,)(,0, 0),(),( 000)000时时，或或当当时时的的极极限限，记记作作当当为为则则称称有有时时当当）（，若若存存在在数数设设（定义定义uv(w)oA xy(z)o 0z)(zfw 几何意义几何意义: 当变点当变点z一旦进一旦进入入

29、z0 的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定的邻域中邻域中48 2009, Henan Polytechnic University48A (1)(1) 意义中意义中 的方式是任意的的方式是任意的. . 与一元实变函数相比较要求更高与一元实变函数相比较要求更高. .0zz (2) A是复数是复数. .(3) 若若f(z)在在 处有极限处有极限,其极限其极限是唯一的是唯一的. .0z49 2009, Henan Polytechnic University49 2. 运算性质运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：复变函数

30、极限与其实部和虚部极限的关系：000 ),(),()(iyxziyxzyxivyxuzf 设设定理定理10),(),(0),(),(00),(lim),(lim)(lim00000vyxvuyxuivuAzfyxyxyxyxzz 则则50 2009, Henan Polytechnic University50 BAzgzgzfzgzfABzgzfzgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz )0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim)(lim0000000000

31、00则则若若定理定理2A 以上定理用极限定义证以上定理用极限定义证! !51 2009, Henan Polytechnic University51例例1.)(22在在平平面面上上处处处处有有极极限限证证明明yxiyxw 例例2.0)(时时的的极极限限在在求求 zzzzzzf例例3.0Re)(时时的的极极限限不不存存在在在在证证明明 zzzzf在在平平面面上上处处处处有有极极限限22,yxyx .)0 , 0()(2)(2222处处极极限限不不存存在在在在yxyxzf 52 2009, Henan Polytechnic University523.函数的连续性函数的连续性定义定义.)()(

32、)(lim,;)(;)()()(lim0000000处处连连续续上上点点在在曲曲线线，则则称称且且、若若内内连连续续在在内内处处处处连连续续，则则称称若若在在区区域域处处连连续续在在，则则称称若若zCzfzfzfCzzDzfDzzfzfzfzzzz .),(),(lim),(),(lim),(),()(00),(),(00),(),(0000000yxvyxvyxuyxuiyxzyxivyxuzfyxyxyxyx 处处连连续续在在设设定理定理353 2009, Henan Polytechnic University53例例4 证明证明f (z)=arg z 在原点及负实轴上不连续在原点及负实

33、轴上不连续. argarglim arglim)0)(0 ,( )2(00上上不不连连续续在在负负实实轴轴在在负负实实轴轴上上zzzxxPyy . arg)()1(故故不不连连续续在在原原点点没没有有定定义义，zzf 证明证明xy(z)ozz)0 ,(xP 54 2009, Henan Polytechnic University54 定理定理4 连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商 (分母不为分母不为0) 仍为连续函数仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数连续函数的复合函数仍为连续函数.0)()()()(10点点外外处处处处连连续续在在复复平平面面内内除除分分母母为为的的；在在整整个个复复平平面面内内是是连连续续由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn