第四章 旋涡理论和势流理论

1、 主编：孙文策 教师：马庆芬第四章 旋涡理论和势流理论海南大学工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院第四章 旋涡理论和势流理论工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1 流体微团的运动分析流体的流动分类有旋运动无旋运动流体微团的运动：平移 转动 变形转动平移变形角变形线变形工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.1 平移如图：在流场中取一四边形流体a、b、c、d ，经过dt时间后该四边形移到 a、b、c d，形状、大小没有变化，仅是平移了一段距离。各点的速度大小和方向没有变化，即没有变形和转动。xabcddxdxdydybacdy工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.2 线变形速度

2、 流体具有流动性，因此即使在一个很小的力的作用下，只要时间流体具有流动性，因此即使在一个很小的力的作用下，只要时间足够长，流体微团均可发生很大的变形。足够长，流体微团均可发生很大的变形。 分析流体微团变形运动时，是看变形速度的大小，而不是看变形量分析流体微团变形运动时，是看变形速度的大小，而不是看变形量的大小。的大小。分析流体微团运动的基本量：线变形速度、剪变形角速度和平均旋分析流体微团运动的基本量：线变形速度、剪变形角速度和平均旋转角速度转角速度工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.2 线变形速度在t时刻a、b、c、d各点的速度如图，由于各点的速度不同，经过t时刻后由b点的 和d点 的

3、作用下，会产生线变形。 udxxvdyyxabcdyuvu+ udx xv+ vdx xdy uudx+u xy+u+ udy ydx vvdy+v yx+v+vdyybacd udxdt x vdydt y工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院 线变形速度：单位长度、单位时间内线变形称为线变形率，用 表示。xudxdtuxdxdtxyvyzwz三个方向的线变形1.2 线变形速度对于不可压缩流体：0zyx0zwyvxu工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.3 剪变形角速度讨论b点的 和d点的 作用 ，经时间dt后，由于这两个速度增量，使原图形发生角变形。 vdxxudyyxabcdyu

4、vu+ udx xv+ vdx xdy uudx+u xy+u+ udy ydx vvdy+v yx+v+vdyybacdudydtyvdxdtx工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.3 剪变形角速度剪变形角速度：单位时间内ab、ad转过的平均角度称剪变形角速度，用 表示。三个平面内的剪变形角速度()()1()222zuvdtuvyxdtdtyx1()21()2yxuwzxwvyzzyxdtyudydtdyyutandtxvdxdtdxxvtan工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.4 转动及平均旋转角速度 假设d点和c点的速度增量在x方向是负的，则经过dt时间后，a、b、c、d绕

5、a点转过一个角度dbacvdxdtxudydtyabcduvu+ udx xv + vdx xdy uudx+u xy-u-udyydx vvdy+v yx+v+vdyy工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.4 转动及平均旋转角速度udydtuydtdyyvdxdtvxdtdxx 平均旋转角速度：单位时间内转过的平均角度为旋转角速度，以表示。()2zdt1()21()21()2zyxvuxyuwzxwvyzxyzijk矢量表达工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院第四章 旋涡理论和势流理论工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院2.1 有旋及无旋运动定义1()21()21()2zyxv

6、uxyuwzxwvyz平均旋转角速度定义式wvuzyxkjivrot 速度矢量旋度定义式vrot 21作为判断流体是无旋还是有旋运动的标准有旋流或涡流无旋流或势流00表示曲线、流体等旋转程度的量 工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院2.1 有旋及无旋运动定义 流体运动是否有旋不能只看其运动轨迹，而要看它是否绕自身轴转动。例：工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院2.2 有旋及无旋运动举例 台风内流体运动（1）强制涡区域：速度与矢径r成正比台风速度分布直角坐标系下的速度分布圆周运动角速度流体微团运动时不发生变形运动有旋工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院2.2 有旋及无旋运动举例 台风

7、内流体运动（2）自由涡区域：速度与矢径r成反比台风速度分布直角坐标系下的速度分布旋涡强度流体微团运动时发生变形运动无旋工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院2.2 有旋及无旋运动举例 直线运动（1）抛物线型速度分布流体在两平板之间的层流最大速度流体微团运动时发生剪切变形并且运动有旋vmaxt1t21工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院2.2 有旋及无旋运动举例 直线运动（2）均匀速度分布直角系下速度分布流体微团像刚体一样运动，无变形，运动无旋v0t1t2工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院第四章 旋涡理论和势流理论工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.1 旋涡的基本概念一一.

8、.涡线、涡管涡线、涡管1.涡线： 与流线概念相似，涡线也是一条曲线，在给定瞬时 t，这条曲线每一点的切线与该点流体微团的角速度 的方向重合。由涡线定义得涡线方程：xyzdxdydz工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.1 旋涡的基本概念一一. .涡线、涡管涡线、涡管2.涡管 在给定瞬时，在涡量场中取一不是涡线的封闭曲线，通过曲线上每点做涡线，这些涡线形成一个管状表面，称为涡管，涡管中充满着做旋转运动的流体。沿涡管长度方向旋转角速度 是变化的。工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.1 旋涡的基本概念二二. . 旋涡强度旋涡强度( (涡通量涡通量) ) 在涡量场中任取一微元面积 ， 上

9、流体质点的旋转角速度向量为 ， 为 的法线方向，微元面积上的旋涡强度用 表示dAdAdAdIn定义：ndAnA2cos()2ndIn dAdA 对整个表面积A积分,总的旋涡强度为：2nAIdAn在A上均布2nIAnA称为涡通量旋涡强度 等于涡通量。I2通过截面的涡通量称为AdAvrot 工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.1 旋涡的基本概念三三. . 速度环量速度环量定义： 假定某一瞬时，流场中每一点的速度是已知的，AB曲线上任一点的速度为 ，在该曲线上取一微元段 ， 与 之间的夹角为，则微元线段上速度环量的定义式为：V ds cosdVdsVdsds ds ABcosVV V ds

10、曲线AB上的环量为： cosBBABAAVdsVds工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.1 旋涡的基本概念三三. . 速度环量速度环量 若曲线AB是封闭曲线，则环量为：LV LLdsVdsV cos将矢量 、 分别表示：V ds Vuiv jwkdsdxidy jdzk 故对封闭周线 L的环量为：环量是一个标量，它的正负取决于速度方与线积分的方向。LLwdzvdyudxdsV当速度方向与线积分方向同向时取正，反向时取负。若是封闭周线，逆时针为正，顺时针为负。工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.2 斯托克斯定理斯托克斯定理：任意面积A上的旋涡强度 ，等于该面积的边界L上的速度环量

11、。I斯托克斯定理将对涡量的研究转化为对速度环量的研究。线积分比面积分要简单，且速度场比涡量场容易测得。斯托克斯定理简化了旋涡流动的研究LAnwdzvdyudxdAI2一一. . 定理内容定理内容工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.2 斯托克斯定理二二. . 定理证明定理证明 1.微元矩形上的斯托克斯定理证明：BCDdxdyAAuAvABuudxuxAABvvdxvxAcuuudxdyuxyAAAcvvvdxdyvxyADuudyuyAADvvdyvyxy取一微元矩形的封闭周线，各点速度大小如图：工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.2 斯托克斯定理二二. . 定理证明定理证明 沿

12、A、B、C、D的速度环量为 ABCDABBCCDDAddddd 由于微元很小，故采用A、B、D各点速度近似表示AB、BC、CD、DA边上的速度来计算环量：整理，得：斯托克斯定理得证()AAABCDvuddxdyxy2zdA2zddAdI dAdIn2vdydxdyyuudydxxvvudxwdzvdyudxdLABCD工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.2 斯托克斯定理二二. . 定理证明定理证明 2.空间任意平面上的斯托克斯定理证明：以ABCA为周线的微元面积为dA,其周线上的速度环流为BCOAn(l,m,n)xyzndAmdAldAdAdAdAdddwdzvdyudxwdzvdyu

13、dxdzyxzzyyxxABOACAOCCOBCABOACAOCCOBCABCA2 2 dAdn2斯托克斯定理得证工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.2 斯托克斯定理二二. . 定理证明定理证明3.有限单连通域的斯托克斯定理证明： 将微元面积的结果推广到有限大面积中。把有限大面积划分成无数个微元面积求出每条边 ，然后再求和，内周线上的环量相互抵消，只剩下沿外周界线 L的环量。d工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.2 斯托克斯定理二二. . 定理证明定理证明3.有限单连通域的斯托克斯定理证明： 2LinAddA 2LnALdAIudxvdywdz 即：斯托克斯定理得证L工程流体力

14、学工程流体力学海南大学机电学院3.2 斯托克斯定理三三. . 定理应用定理应用 L1L2A122LLnAdA复连通域上的应用工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院第四章 旋涡理论和势流理论工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.1 速度势1. 速度势存在的条件对于无旋运动（1 1）对于空间区域内的任意曲线）对于空间区域内的任意曲线C C，向量场在，向量场在C C上面的线积分与路径无关；上面的线积分与路径无关；（2 2）存在函数，形式如下）存在函数，形式如下速度势条件无旋无旋运动无旋运动势流运动势流运动工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.1 速度势用势函数表示速度矢量： Vuivj

15、wkijkxyz用势函数表示连续性方程：对于不可压缩流体或拉普拉斯算子工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.1 速度势2.速度势的性质(1) 流线与等势面垂直证：令 为等势面，在其上任取一微元线段 ， 上的速度为 ,求两者点积( , , )x y zconst dsVV dsc() ()V dsuiv jwkdxidy jdzkudxvdywdzdxdydzxyzd ds在等势面上， 故 即 ,速度与等势面垂直。由于速度矢量与流线相切，故流线与等势面垂直。c0d0V ds 工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.1 速度势2.速度势的性质(2) 势函数对任意方向L的偏导数，等于速度矢

16、量在该方向的的分量。lVl(3) 速度势与线积分 的关系 ldv 在势流场中，沿任一曲线AB的速度的线积分等于终点B和起点A的速度势之差。工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.1 速度势(3) 速度势与线积分 的关系 ldv 在势流场中，沿任一曲线AB的速度的线积分等于终点B和起点A的速度势之差。证明：当曲线为封闭曲线时在势流（无旋）场中，沿任一封闭曲线的速度环量均为0工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.2 流函数1. 流函数的定义对于不可压缩流体平面流动（1 1）对于平面区域内的任意曲线）对于平面区域内的任意曲线C C，向量场在，向量场在C C上面的线积分与路径无关；上面的线积分与路径无关；（2 2）存在函数，形式如下）存在函数，形式如下流函数条件不可压缩平面流 0uvuvxyxy工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院 0d3.2 流函数2. 流函数的性质(1) 流函数的等值线与流线重合证明：由流线方程： 0dxdyvdxudyuv uyvx而即0dxdyxy 0dc注意：有流动就有流线存在，而流函数仅存在于平面流动中。工程流体力学工