数理金融初步教学资料

1、数理金融初步精品资料(1章)6从52张扑克随机抽出两张牌。如果已知两张的花色不同，则他们都是A的条件概率是多少？解：设第一次取出A的事件为A1,第二次取出不同花色A的事件为A2,则p(A1A2)=P(A1)p(A2/A1)因为p(A1)=4/52=1/13p(A2/A1)=3/52-13=3/39=1/13,所以p(A1A2)=1/1697若A,B独立，证明下列事件也独立：a)A和BAcb)AAc和BAc证明：a)因为p(B)+p(BAc)=1,p(B/A)+P(BAc/A)=1,所以p(BAcA)=p(A)xp(BAc/A)=p(A)1-p(B/A)=p(A)-p(A)p(B)=p(A)1-

2、p(B)=p(A)p(BAc),所以A和BAc独立b)p(AAc)p(BAc)=p(BAc)p(AAc/BAc)=p(BAc)1-p(A/BAc)=p(BAc)-p(BAc)p(A/BAc)=p(BAc)-p(AAcBAc)=p(BAc)-p(A)P(BAc)=p(BAc)1-p(A)=p(BAc)p(AAc),所以Zc和BAc独立。9四辆公共汽车载着152位学生从同一学校出发去足球场。四辆车分别载乘39,33,46,34位学生。如果从152位学生中任意选取一位，记X为被选中的学生所乘坐的汽车里的学生数。四辆公共汽车的司机也随机选取一位，令Y为那位司机驾驶的汽车里的乘坐学生人数。a)你认为E(

3、X)和E(Y)哪一个大？b)求出E(X)和E(Y)解：a)E(X)大。b)由题意知X可取39,33,46,34。Y可取39,33,46,34所以X=39,p(x)=39/152,x=33,p(x)=33/152,x=46,p(x)=46/152,x=34,p(x)=34/152,同理p(Y=39)=1/4P(Y=33)=1/4,P(Y=46)=1/4,P(Y=34)=1/4,所以E(X)=39x39/152+33x33/152+46x46/152+34x34/152=5882/152=38.697E(Y)=39x1/4+33x1/4+46x1/4+34x1/4=3810两位选手比赛兵兵球，当一

4、个选手赢了两局时比赛结束。设每位选手赢每一局概率相等，且每一局的结果都是独立的。求比赛总局数的期望值和方差。解：设x为比赛的总局数，则x可取2,3,则p(x=2)=1/2x1/2x2=1/2,p(x=)=1/2x1/2+1/2x1/2=1/2E(X)=2x1/2+3x1/2=5/2,xA2=4,9,p(xA2=4)=1/2,p(xA2=9)=1/2,E(xA2)=4x1/2+9x1/2=13/2所以var(x)=E(xA2)-E(x)A2=13/2-(5/2)A2=1/4.11.证明Var(X)EX2(EX)2证明：2-2一一2一2一2222Var(X)E(XEX)EX2XEX(EX)EX2(

5、EX)(EX)EX(EX)12一位律师要决定收取固定费用5000美元，还是收取胜诉酬金25000美元(输掉则一无所获)。他估计打赢的概率为0.3,求他收取的费用的土MS和方差，如果a)收取固定费用b)收取胜诉酬金费用。解：a)由题意知x=5000,p(x=5000)=1,E(x)=5000x1=5000,E(xA2)=5000A2x1=25000000,var(x)=E(xA2)-E(x)A2=0,所以s=0.b)由题意知x=0,25000，则p(x=0)=1-0.3=0.7,p(x=25000)=0.3,E(x)=0.7x0+25000x0.3=7500,E(xA2)=0x0.7+(2500

6、0)A2x0.3=187500000,var(x)=E(xA2)-E(x)A2=131250000S=根号下var(x)=11456.43914.证明：Cov(x,y)ExyExEy仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2精品资料证明：Cov(x,y)E(xE(x)(yE(y)ExyxE(y)yE(x)E(x)E(y)ExyExEyExEyExEyExyExEy18设任意给定的时间内，某股票价格只能等概率的增加1或减少1,且不同时期股票变化是独立的。记X为股票在第一时间段内增加1或减少1的数量，Y为前三段时间内累计上升的数量，求X,Y相关性。解：E(X)=0,E(XA2)=1,var(x)

7、=E(XA2)-E(X)A2=1E(Y)=0,E(YA2)=3,var(y)=E(YA2)-E(Y)A2=3E(XY)=1,Cov(X,Y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)=1,(X,Y)C0V(X，Y)工虫0所以.Var(x)Var(y)33X,Y呈正相关。(2章)4设x为正态随机变量，均值为u,方差为&A2,y=a+bx,如果y和x服从相同的分布，求a和b的值(a不等于0),并求出Cov(x,y).解：因为E(X)=u,var(x)=&A2,y=a+bx,所以E(Y)=a+bu,var(y)=bA2uA2,又因为x和y月艮从相同的分布，所以a+bu=u,&A2=bA

8、2&A2,因为a不等于0,所以b=-1,a=2u,即y=2u-x,Cov(x,y)=cov(x,a+bx)=cov(x,a)+bCov(x,x)=-&A2.5成年男子的血液收缩压服从均值为127.7,标准差为19.2的正态分布，求：a)68%的成年男子血液收缩压的取值范围。b)95%的成年男子血液收缩压的取值范围。c)99.9%成年男子血液收缩压的取值范围。解：a)设陈年男子血液收缩压为X,E为对应的正态随机变量，即E=(X-127)/19.2u=127.7,&=19.2，所以|&|<=19=0.682，所以-1<=(E-127.7)/19.2<

9、;=1,即108.5<=£所以取值范围为108.5,146.9b)由表可得p|E|<=2=0.9544，即-2<=(E-127.7)/19.2<=2,89.3<=E<=166.1，所以取值范围89.3,166.1c)p|E|<=3=0.9974，即-3<=(E-127.7)/19.2<=3,解得70.1<=E<=185.3所以取值范围70.1,185.3.第4章1若10%的名义利率分别为：a)半年计息一次的复利b)每季度计息一次的复利c)连续复利其对应的有效利率分别是多少？解：a)reff=(1+r/2)A2-1=10

10、.25%b)reff=(1+r/4)A4-1=10.38%c)eAr-1=10.522将钱存入银行，银行支付的名义利率为10%。如果利率是连续复利利率，多久存入的钱是原来的两倍？解：peArt=2peA10%t=2t=6.93需要7年才能变为原来的两倍3如果利率为5%,每年计息一次，那么大约要多少年才能使你的钱变为原来的4倍？如果利率变为4%又要多少年？解：p(1+r)An=4p当r=5%时，(1+0.05)An=4,n=28.41。当然r=4%,(1+0.04)An=4,n=35.354如果利率为年复利利率r,请给出一个公式，用它来估计多少年使你的钱变为原来的3倍。仅供学习与交流，如有侵权请

11、联系网站删除谢谢3精品资料解：由limp(1+r/n)Ant=peArtpeArt=3p,eArt=3t=lin3/r5假设年名义利率固定在6%,每月计息一次。在未来60个月中，每月需要投资多少钱，才能在60个月后得到100000美元？解：p(1+r/12)+(1+r/12)A2+(1+/12卜60=100000pX1+r/121-(1+r/12)A60/1-(1+r/12)=100000pX1.005(1-1.35)/-0.05=100000p=100000/70.37=1421.4硼以每月需要投资1421.46美元。6一个投资的年现金流：-1000,-1200,800,900,800年利率

12、为6%。对于一个既可以借款也可以存款的的人，这是否是一个值得的投资？解：现值=-1000+-1200/(1+60%)+800/(1+60%r2+900/(1+60%r3+800/(1+60%r4=-1000+(-1132.08)+712+755.66+633.67=-30.75<0所以不值得投资。8一个五年期、面值为10000美元、具有10%票息率的债权，价值为10000美元。在今后五年中，每六个月支付给持有者500美元，并且将在这十次支付末再支付本金10000美元。如果每月计息一次的利率为：a)6%b)10%c)12%求出其现值。解：(1)当r=6%时，B=1/(1+0.6)=0.94

13、pv(a)=500x(0.94)A6+500x(0.94)A12+500x(0.94)A18+500x(0.94)A60+500x(0.94)A100=1085+244=1329(2)当r=10%时，B=1/(1+0.1)=0.91PV(a)=500x0.91A6+500x0.91A12+500x0.91A60+10000x0.91A60=653+34=687(3)当r=12%,B=1/(1+0.12)=0.89pv(a)=500x0.89A6+500x0.89A12+500x0.89A60+10000x0.89A60=493+9=5029一个朋友购买了一套新的价值4200美元的音响系统。他同

14、意预付定金1000美元，并在一个月后开始每月支付160美元，共支付24个月。那么所支付的有效利率是多少？解：设每个月支付的利率为r,所以B=1/(1+r)所以160(B+BA2+BA24)+1000=4200160XB(1-BA24)/(1-B)=3200B(1-BA24)/(1-B)=20因为r=1-B/B所以1/1+r1-(1/1+r)A24/(1-1/1+r)=20所以reff=1+r-1=r=1.5%12假设向银行贷款120000美元，银行收取两个百分点的费用。报价利率为每月0.5%,仅需要在随后的36个月中，每月支付累计利息，并在最后支付本金120000美元。那么这个贷款的有效利率是

15、多少？解：每月支付利息120000x0.5%=600美元，贝U600/(1+)+600/(1+卜2+600/(1+卜3+600/(1+r)A36+120000/(1+r)A36=120000x98%得r=0.6%13以下面两张方式偿还贷款：一种是现在一次还清所有的欠款6000美元，另一种是现在还10000美元，并在十年后还10000对于下面的名义连续复利利率，哪一种还款方式更可取：a)2%b)5%c)10%解：r=2%时，10000eA-2%x10=10000eA0.2=8187.3>6000,r=5%寸,10000eA-rt=10000eA-5%x10=6065.3>6000,r

16、=10%M,10000eA-rt=10000eA-10%x10=3678.8<600023考虑下面两个现金流，其中每一个现金流都是在i年后得到第i次支付：100,140,131和90,160,120如果不知道利率，能够说出哪一个现金流更可取？解：设利率为r,贝U100/(1+r)+140/(1+r)A2+131/(1+r)A3-90/(1+r)+160/(1+r)A2+120/(1+r)A3=11/(1+r)A3-20/(1+r)A2+10/(1+r),令t=1/(1+r),0<t<1,贝U原式=t(11tA2-20t+10)=f(t),=400-4x11x10<0,所

17、以f(t)>0即第一种更可取。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4精品资料24a)一个初始成本为100的投资，两年后收益110,求该投资的年收益率。b)一个初始成本为100的投资，两年后或收益120,或U益100,且两种结果是等可能的，求年收益率的期望值。解a)100(1+r)A2=110则r=0.05b)100(1+r1)A2=120,r1=0.095,100(1+r2)A2=100,r2=0,E(r)=1/2r1+1/2r2=0.0526一个初始成本为100的投资，第一年末回报40,第二年末回报70,求该投资的收益率，如果第一年末回报70,第二年末回报40,收益率又是多少？解

18、：设第一种投资的收益率为r1,第二种投资的收益率为r2,则40/(1+r1)+70/(1+r1)A2=100,r1=0.06=6%70/(1+r2)+40/(1+r2)A2=100,r2=0.75=75%.28一个初始成本为100的投资，在第i个周期末收到的回报为Xi(i=1,2),其中X1,X2是相互独立的正态随机变量，均值为60,方差为25。该投资回报率大于10%的概率是多少？解：E(X1+X2)=120,Var(X1+X2)=50,P(X1+X2>110)=P(E>(110-120)/5)=p(x1+x2>-10/5)=1-o(-10/5)=0.9207g率是0.920

19、7.5.5 令C是一个看涨期权的价格，这个期权可以在t时刻以价格K买入一个证券，S是这个证券现在的价格，r是利率。请写出一个包含C、S和Ke代的不等式，并给出证明。证明：S-C<Ke代，在0时刻购买一个证券，同时买入一个看涨期权，这个初始的投入S-C,是从银行存款，并将在t时刻偿还。在t时刻时，S(t)>K,看涨期权将被执行，K-(S-C)>0,所以S-C<Kert5.8 令P是一个执行价格为K和现价为S的证券的看跌期权的价格。试证明P»Kert-So其中t期权到期日，r是利率。证明：在0时刻买入一个证券，同时买入一个看跌期权，从初始的投入为P+S,在t时刻时

20、，S(t)>K时，看跌期权毫无价值，则以K的价格卖出证券，当S(t)<K,则执行看跌期权，则(P+S)Kert»K,所以P»Kert-S5.10 请使用一价律证明看跌-看涨期权平价公式。证明：构造两个投资组合，(1)0时刻买入一份股票及一个看跌期权，成本S+P。(2)0时刻买入一份看涨期权并加上金额为Kert,现金成本C+Kert,在时刻t,假定股票价格为S(t),当S(t)»K,对投资(1)来说价值S(t),投资(2)价值以Kert?ert=K买入一份股票，价值为S(t),当S(t)<K时，投资(1)价值为K,综上所述由一价律值：S+P=C+K

21、ert。5.5 令C是一个看涨期权的价格，这个期权可以在t时刻以价格K买入一个证券，S是这个证券现在的价格，r是利率。请写出一个包含C、S和Ke代的不等式，并给出证明证明：S-C<Ke1在0时刻购买一个证券，同时买入一个看涨期权，这个初始的投入S-C,是从银行存款并将在t时刻偿还。在t时刻时，S(t)>K,看涨期权将被执行，k(sc)"0,所以S-C<Kert。5.8 令P是一个执行价格为K和现价为S的证券的看跌期权的价格，试证明P»Kert-S,其中t期权到期日，r是利率。证明：在0时刻买入一个证券，同时买入一个看跌期权，从初始的投入为P+S,在t时刻里

22、，S(t)>K时，看跌期权毫无价值，则以K的仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5精品资料价格卖出证券，当S(t)<K,则执行看跌期权，则(P+S)KertK,所以PKert-So5.9 证明：如果S+P-C>Ke1那么以下的投资策略总可以得到正的收益：卖出一股股票，卖出一个看跌期权，并买入一个看涨期权。证明：如果S+P-C>Kert,那么我们通过在0时刻购买一份股票，同时买入一个看涨期权，并卖出一个看跌期权，这个初始的投入S+P-C,在t时刻卖出如果S6<=k,那么买入的看涨期权无价值，可以执行看跌期权，以价格K卖出。如果S6>=k,那么卖出的看跌期权无价值，则执行看涨期权，迫使以K卖出，由于S<(S+P-C)ert,我们都有正的利润，所以S+P-C>