放缩法在导数压轴题中的应用郑州第四十四中学

1、恰当采用放缩法巧证导数不等式市第四十四中学苏明亮放缩法是高中数学中一种重要的数学方法，尤其在证明不等式中经常用到.由于近几年数列在高考中的难度要求降低，放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴题中，尤其是在导数不等式证明中更是大放异彩.下面试举几例，以供大家参考.一、利用基本不等式放缩，化曲为直例1(2012年高考卷理科第21题(n)设f(x)ln(x1)Vxl1.证明：当0x2时，f(x)9xx6证明：由基本不等式，当x0时，2j(x1)1x2,故1.f(x)记h(x)ln(x1)ln(x1)x,x11ln(x1)-x9x,2x6则h'(x)1154x(x215x36)x

2、12(x6)22(x1)(x6)2当0x2时，h'(x)0,所以h(x)在(0,2)是减函数.故又由h(x)h(0)0,所x9x一以ln(x1)-即ln(x1)Vx12x6.9x故当0x2时，f(x).x6评注：本题第(n)问若直接构造函数h(x)9xx69xf(x),对h(x)进行求导，由于x6h'(x)中既有根式又有分式，因此h'(x)的零点及相应区间上的符号很难确定，而通过对进行放缩处理，使问题得到解决.上面的解法中，难点在用基本不等式证明Jx7x1,亦即是将抛物线弧y7x-7放大化简为直线段y-1,而该线段正是22抛物线弧yjx=在左端点(0,1)处的切线，这种

3、“化曲为直”的方法是我们用放缩法处理函数问题的常用方法.二、利用单调性放缩，化动为静例2(2013年新课标全国n卷第21题(n)已知函数f(x)exln(xm).当m2时，证明f(x)0.证法1：函数f(x)的定义域为(m,)，则f'(x)ex(xm)ex1xm设g(x)(xm)ex1,因为g'(x)(xm1)ex0,所以g(x)在(m,)上单调递增.又g(m)10,g(2m)2e2m12110,故g(x)0在(m,)上有唯一实根x0.)时,g(x)0,f'(x)0,当x(m,xO)时，g(x)0,f'(x)0;当x(x0,从而当xx0时，f(x)取得最小值为f

4、(%).x1由方程g(x)0的根为x0,得e",ln(x0m)x0,x0m一11故f(x0)x0(x0m)m2m(当且仅当x0m1取等号)，x0mx0m又因为m2时，所以f(x0)0.1取等号的f(x0)0条件是x0m1,ex0及m2同时成立，这是不可能xm的，所以f(x0)0,故f(x)0.证法2：因ylnx在定义域上是增函数，而m2,所以ln(x2)ln(xm),故只需证明当m2时，f(x)0即可.1当m2时，f'(x)ex在(2,)上单调递增.x2又f'(1)0,f'(0)0,故f'(x)0在(2,)上有唯一实根x0,且x0(1,0).当x(2,

5、xO)时，f'(x)0;当x(x0,)时，f'(x)0,从而当xx0时，f(x)取得最小值.1由f(x)0得e",ln(x02)x0,x021(1)2故f(x)f(x0)x0(x0-0.x02x02综上，当m2时，f(x)0.评注：借助导数取值研究函数单调性是证明初等不等式的重要方法.证法1直接求导证明，由于其含有参数m,因而在判断g(x)的零点和求f(x)取得最小值f(x0)显得较为麻烦；证法2利用对数函数ylnx的单调性化动为静，证法显得简单明了.此外，本题也是处理函数隐零点问题的一个经典例.三、活用函数不等式放缩，化繁为简两个常用的函数不等式：exx1(xR)I

6、nxx1(x0)两个常用的函数不等式源于高中教材(人教A版选修2-2,P32)的一组习题，曾多次出现在高考试题中，笔者曾就此问题写过专题文章.bex1例3(2014年高考新课标I卷理科第21题)设函数f(x)aexlnxb,曲线xyf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(I)求a,b(II)证明：f(x)1.分析：本题以曲线的切线为背景，考查导数的几何意义，用导数作工具研究函数的单调性，求函数最值以及不等式的证明.第(I)问较容易，一般学生都能做出来，只需求出函数f(x)的导数，易得a1,b2.第(II)问难度较大，主要考查考生运用导数知识证明不等式的能力及运算求解能力，是近

7、年来高考压轴题的热点问题.本题第(II)问证法较多，下面笔者利用函数不等式来进行证明.证明：由exx1,得ex1x,即exex,1x一故一e(当且仅当x1时取等号)ex,x111x,1Z1又由ex,得一e，故eex,两边取自然对数得ln(ex)1xex1_.1一.一-即lnx0(当且仅当x一时取等号)exe2丫.由于、式等号不能同时成立，两式相加得lnxe，两边同乘以ex,得f(x)1.ex评注：本题证明中利用函数不等式exx1,并进行适当变形，结合不等式性质进行证明，从而避免了繁杂的计算，过程简洁自然，易于理解例4(2016年高考卷理科第20题(n)已知f(x)axlnx2x21,aR.x3

8、当a1时，证明f(x)f(x)对于任意的x1,2成立.2证明：f(x)的定义域为(0,)，f'(x)(ax22)(x1)2a1时,xf(x)f'(x)xInxxInx2x1i122、(1-)xxxx3121,x1,2,xxx由lnxx1得f(x)f'(x)xInx312,一二飞1xxx3x1,22,312即只需证-4233x22x64xxxx人312令h(x)-,x1,2,则h'(x)xxx设(x)3x22x6,则(x)在x1,2单调递减,因为(1)1,(2)10,所以在1,2上存在x0使得x(1,x0)时，(x)0,x(x0,2)时，(x)0,所以函数h(x)

9、在(1,x0)上单调递增，在(比,2)上单调递减，一3一一3一由于h(1)2,h(2)一,因此当x1,2时，h(x)h(2)一,当且仅当x2时取得等号,223所以f(x)f'(x)h(2)3,2r-3.即f(x)f'(x)一对于任意的x1,2恒成立.23123评汪：要证明f(x)f'(x)xlnx-1一,比较麻烦的是式子中有xxx2lnx,如果能让它消失，问题势必会简单些，所以自然就想到了利用比较熟悉的函数不等式lnxx1进行放缩，方法自然，水到渠成.上述两个常用函数不等式的变式:ex1x(xR)x1,ln1xInxeKx1)11(x0)xx1(x0)四、巧用已证不等式

10、放缩，借水行舟例5（2016年高考新课标出卷文科21题)设函数f(x)lnxx1.x1(I)证明当x(1,)时，1x；Inx(II)设c1,证明当x(0,1)时，1(c1)x证明：（I）易证当x1,1时，Inxx1,in-x1x1一1,即1x.xinx(II)由题设c1,设g(x)1c1xcx,则g(x)0,inUincinc%时，gx0,gx单调递增；当x%时，gx单调递减.由（I）知，1c1incc,故0x1,又g(0)g(1)0,故当00,gxx1时,gx0.所以当x0,1时，1,c11in评注：本题第（II）问利用第（I）中已证明的不等式1-x及L或巧妙inxinc地求出0x01进而利

11、用gx在0x1单调性及端点值g（0）g（1）0证明出gx0.利用已证不等式（或结论）服务后面问题的情况，在高考和模考试题中屡屡出现，这种解题中的“服务意识”不仅可以避开复杂的计算，往往也为解题思路指明了方向.下面再看一例：例6（2013年高考卷理科21题）已知函数3fx1xe2x,gxax12xcosx.当x0,1时，（I）证明：1xfx；1x(II)确定a的所有可能取值，使得fxgx恒成立证明：(I)证明：要证x0,1时，1xe2x1x,只需证明1xex(1x)ex.记h(x)1xex(1x)ex,则h(x)x(exex),当x(0,1)时,h(x)0,因此h(x)在0,1上是增函数，故h(

12、x)h(0)=0.所以f0,1时，1x2xe只需证明exx综上,(II)解:2xe(ax12xcosx)1ax3x12xcosx2x(1a2cosx).22设G(x)2cosx,2则G(x)x2sin2sint-tr'»贝UH(x)12cosx.当x(0,1)时,H(x)0,于是G(x)在0,1上是减函数,从而当x(0,1)时，G'(x)_1G(0)0,故G(x)在0,1上是减函数.于是G(x)G(0)2,从而1G(x)a3.所以，当a3时，fx在0,1上恒成立.卜面证明，当a3时,gx在0,1上不恒成立.axxax1x1x(；一1x3x2xcosx23x-2xcos

13、x22x2cosx)，记I(x)2x2cosx211aG(x)，则I(x)21x(1x)2G'(x),当x(0,1)irJ，、_时，I(x)0,故I(x)在0,1上是减函数，于是I(x)在0,1上的值域a12cos1,a3.因为当a3时，a30,所以存在x0(0,1),使彳#I(Xo)0,此日fXogx0,即fxgx在0,1上不恒成立.综上，实数a的取值围是(,3.评注：本题第二问是一道典型的恒成立求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决(笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“9型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则)；0若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大.本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决.上述几道导数不等式都不是考查某个单一的初等函数，而是综合考查指数函数、对数函数(尤其与“ex”和“lnx”有关)、三角函数以及带根号的哥函数和其它函数综合在一起，如果